过程控制及自动化仪表课件 第3章 被控过程的数学模型

1、 第第3 3章章 被控过程的数学模型被控过程的数学模型掌握被控过程机理建模的方法与步骤掌握被控过程机理建模的方法与步骤熟悉被控过程的自衡和非自衡特性熟悉被控过程的自衡和非自衡特性 熟悉单容过程和多容过程的阶跃响应曲线及解析表熟悉单容过程和多容过程的阶跃响应曲线及解析表 达式达式 重点掌握被控过程基于阶跃响应的建模步骤、作图方重点掌握被控过程基于阶跃响应的建模步骤、作图方法和数据处理法和数据处理 3.13.1 过程建模的基本概念过程建模的基本概念3.1.1 3.1.1 被控过程的数学模型及其作用被控过程的数学模型及其作用 被控过程的数学模型是指过程的输入变量与输被控过程的数学模型是指过程的输入变

2、量与输出变量之间定量关系的描述出变量之间定量关系的描述数学模型在过程控制中的重要性数学模型在过程控制中的重要性n良好数学模型的建立是控制器参数确定的重要依据。良好数学模型的建立是控制器参数确定的重要依据。n数学建模是仿真或研究、开发新型控制策略的必要条数学建模是仿真或研究、开发新型控制策略的必要条件件 。n通过对生产工艺过程及相关设备数学模型的分析或仿通过对生产工艺过程及相关设备数学模型的分析或仿真，可以为生产工艺及设备的设计与操作提供指导。真，可以为生产工艺及设备的设计与操作提供指导。n利用数学模型可以及时发现工业过程中控制系统的故利用数学模型可以及时发现工业过程中控制系统的故障及其原因，并

3、提供正确的解决途径。障及其原因，并提供正确的解决途径。 n全面、深入地掌握被控过程的数学模型是控制系统设全面、深入地掌握被控过程的数学模型是控制系统设计的基础。计的基础。3.1.2 3.1.2 被控过程的特性被控过程的特性依据过程特性的不同分为自衡特性与无自衡特性、依据过程特性的不同分为自衡特性与无自衡特性、单容特性与多容特性、振荡与非振荡特性等单容特性与多容特性、振荡与非振荡特性等 1 1有自衡特性和无自衡特性有自衡特性和无自衡特性 当原来处于平衡状态的过程出现干扰时，其输出量在当原来处于平衡状态的过程出现干扰时，其输出量在无人或无控制装置的干预下，能够自动恢复到原来或新的无人或无控制装置的

4、干预下，能够自动恢复到原来或新的平衡状态，则称该过程具有自衡特性，否则，该过程则被平衡状态，则称该过程具有自衡特性，否则，该过程则被认为无自衡特性。认为无自衡特性。 具有自衡特性的过程及其响应曲线具有自衡特性的过程及其响应曲线 h()0.982h()0.95h()0.865h()0.632h()t0T2T3T 4T 无自衡过程及其阶跃响应曲线无自衡过程及其阶跃响应曲线 自平衡特性其传递函数的典型形式有：自平衡特性其传递函数的典型形式有：()(1 )KGsT s一阶惯性环节一阶惯性环节 二阶惯性环节二阶惯性环节 12()(1)(1)KGsT sT s()(1 )sK eGsT s12( )(1)

5、(1)sK eGsT sT s二阶惯性二阶惯性+ +纯滞后环节纯滞后环节 一阶惯性一阶惯性+ +纯滞后环节纯滞后环节 一阶环节一阶环节 一阶一阶+纯滞后环节纯滞后环节二阶二阶+纯滞后环节纯滞后环节1()GsT s无平衡特性其传递函数的典型形式：无平衡特性其传递函数的典型形式：121( )(1)G sT s T s1()sGseT s121( )(1)sG seT s T s二阶环节二阶环节 3振荡与非振荡过程的特性振荡与非振荡过程的特性2 2( )(21)sKeG sT sTs(01)4 4具有反向特性的过程特性具有反向特性的过程特性3.1.3 3.1.3 过程建模方法过程建模方法 1 1机理

6、演绎法机理演绎法 根据被控过程的内部机理，运用已知的静态或动态根据被控过程的内部机理，运用已知的静态或动态平衡关系，用数学解析平衡关系，用数学解析的方法求取被控过程的数学模型。的方法求取被控过程的数学模型。 2 2试验辨识法试验辨识法3. 3. 混合法混合法 机理演绎法与试验辩识法的相互交替使用机理演绎法与试验辩识法的相互交替使用的一种的一种方法。方法。 先给被控过程人为地施加一个输入作用，然后记录先给被控过程人为地施加一个输入作用，然后记录过程的输出变化量，得到一系列实验数据或曲线，最过程的输出变化量，得到一系列实验数据或曲线，最后再根据实验数据确定数学模型的结构及其参数。后再根据实验数据确

7、定数学模型的结构及其参数。3.2 3.2 解析法建立过程的数学模型解析法建立过程的数学模型3.2.13.2.1解析法建模的一般步骤解析法建模的一般步骤1 1）明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量）明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量2 2）依据过程的内在机理和有关定理、定律以及公式）依据过程的内在机理和有关定理、定律以及公式列写静态方程或动态方程列写静态方程或动态方程3 3）消去中间变量，求取输入、输出变量的关系方程）消去中间变量，求取输入、输出变量的关系方程4 4） 将其简化成控制要求的某种形式，如高阶微分将其简化成控制要求的某种形式，如高阶微分（差分）方程或传递函数（脉冲传递函

8、数）等（差分）方程或传递函数（脉冲传递函数）等3.2.2 单容过程的解析法建模单容过程的解析法建模 某单容液位过程，贮罐中液位高度h为被控参数，流入贮罐的体积流量为q1过程的输入量并可通过阀门1的开度来改变；流出贮罐的体积流量q2为过程的干扰，其大小可以通过阀门2的开度来改变。试确定q1与h之间的数学关系?解解 12dhqqAdt12d hqqAdt 22hqR221d hR AhRqdt 212( )( )( )11H sRKG sQ sRCsTsCRT22RK AC 111( )*()1Th tKLss(1)tTKe0000()( )( )( )1sdhThKqtdtH sKG seQsT

9、s n单容热力过程dtdTCTTAKTTqcqccricpi)()(0dtTdCTTAKTTqcqccricpi)()(0p18RTTTKqTKdtTdCcipicpc)(0AKRqcKrpp1,iT1) 1() 1()()()(RKRCSRKRsQsTsGppic1) 1() 1()()()(RKRCSRKRKsTsTsGpppicqqi,2Q1Q图图4-10 无自衡特性水槽无自衡特性水槽12d hqqAdtqq2 2 =0 =0 1d hAqdt h h0 0阀门阀门1 1q q1010q q2020h h单容无自衡特性单容无自衡特性 若阀门若阀门1 1突然开大突然开大1 1 ， 则则q

10、q1 1增大，增大，q q2 2不变化。不变化。 1H(s)1W(s)(s)Tsq传递函数：传递函数：3.2.3 3.2.3 多容过程的解析法建模多容过程的解析法建模 以自衡特性的双容过程为例，如图设为q1过程输入量，第二个液位槽的液位h2为过程输出量，若不计第一个与第二个液位槽之间液体输送管道所形成的时间延迟，试求q1与h2之间的数学关系。 1121122=C (1) (2)dhqqdthqR 223233C (3) (4)2dhqqdthqR 11112=C (5)Rhdhqdt122223=C (6)RRhhdhdt(5)+(6)2121123=C+CRhdhdhqdtdt1221123

11、C=C 7Rdhhdhqdtdt（ ）21222223dd11=C (8)RdtRdthhdhdt（6）两边对）两边对t求导，得：求导，得：（7）代入（）代入（8），整理得：），整理得：222213221322312dR C R CR C +R C+=R (9)dtdhhhqdt（）或或22212122312 (10)dhd hTTTThR qdtdt （）两边取拉氏变换：两边取拉氏变换：2122122231( )( )( )( ) TT S HSTTSHSHSR Q S（）32211211232( )W(S)= ( ) 1(1)(1)HSQ STT STTST ST SRR（）传递函数：传递

12、函数：222213221322312dR C R CR C +R C+=R (9)dtdhhhqdt（） 当输入量是阶跃当输入量是阶跃增量增量q q1 1 时，被控变时，被控变量量h h2 2的反应（飞升）的反应（飞升）曲线呈曲线呈S S型。型。 所谓所谓滞后滞后是指被控变量的变化落后于输入变化是指被控变量的变化落后于输入变化的时间。的时间。 0 0t th h2 2（）h h2 2为简化数学模型，为简化数学模型，可以用可以用带滞后的单容过带滞后的单容过程程来近似。来近似。0 0t th h2 2（）h h2 20 0 0tc cT0h2（）cs30W(S)eTS 1R在在S S形曲线的拐点上

13、作一切线，若将它与时间形曲线的拐点上作一切线，若将它与时间轴的交点近似为反应曲线的起点，则曲线可表达为轴的交点近似为反应曲线的起点，则曲线可表达为带滞后的一阶特性带滞后的一阶特性：00120( )(1)(1)(1)(1)nnKKG sTsT sT sT s1312( )(1)(1)SRG seTsT s11( )(1)cG sT sT s 如果槽1和槽2之间管道长度形成的时间延迟为如果过程为n个容器依次分离串联，则传函为：1，则传函为： 若将阀门3改为定量泵，则传函为：三、如图所示为相互影响的双容对象三、如图所示为相互影响的双容对象3.3 3.3 实验法建立过程的数学模型实验法建立过程的数学模

14、型3.3.1 3.3.1 响应曲线法响应曲线法3.3.1.1 3.3.1.1 阶跃响应曲线法阶跃响应曲线法1 1）试验测试前，被控过程应处于相对稳定的工作状态）试验测试前，被控过程应处于相对稳定的工作状态 一、注意事项一、注意事项2 2）相同条件下重复多做几次试验）相同条件下重复多做几次试验 ，减少随机干扰的影响，减少随机干扰的影响3 3）对正、反方向的阶跃输入信号进行试验，以衡量过程的）对正、反方向的阶跃输入信号进行试验，以衡量过程的 非线性程度非线性程度4 4）一次试验后，应将被控过程恢复到原来的工况并稳定一）一次试验后，应将被控过程恢复到原来的工况并稳定一 段时间再做第二次试验段时间再做

15、第二次试验 5 5）输入的阶跃幅度不能过大，以免对生产的正常进行产生）输入的阶跃幅度不能过大，以免对生产的正常进行产生不利影响。但也不能过小，以防其它干扰影响的比重相对较不利影响。但也不能过小，以防其它干扰影响的比重相对较大而影响试验结果。大而影响试验结果。 二、模型结构的确二、模型结构的确定定- s00( )e1KG sT s012( )(1)(1)KG sTsT s- s012( )e(1)(1)KG sTsT s00()1KGsTs一阶惯性一阶惯性一阶惯性一阶惯性+ +纯滞后纯滞后 二阶惯性二阶惯性+ +纯滞后纯滞后 二阶惯性二阶惯性01()GsTs-s01()eGsT s121( )(

16、1)G sT s T s- s121( )e(1)G sTs T s三。模型参数的确定三。模型参数的确定（1 1）确定一阶环节的参数）确定一阶环节的参数 该响应曲线可近似为无时延的一阶环节该响应曲线可近似为无时延的一阶环节则其输入与输出的关系为：则其输入与输出的关系为：)e1 ()(0/00TtxKty0K0T为过程的放大系数，为过程的放大系数，为时间常数。为时间常数。 其中其中上式中，当上式中，当00)(| )(xKytyt时时00)(xyK0000/|ddTxKtyttTxK0000Tt 000000|()tTK xtK xyT以上式为斜率在以上式为斜率在t=0t=0处作切线，切线方程为处

17、作切线，切线方程为 当当则有：则有：和和时时 )e1 ()(0/00TtxKty00)(| )(xKytyt)e1)()(0/Ttyty)(%36)(0yTy)(%5 . 68)(20yTy0T（2 2）计算法）计算法)(39%/2)(0yTy2 2、确定一阶时延环节的参数确定一阶时延环节的参数 -s00()e1KGsT s)()/()(0ytytytttyTt0e10)(00201e1)(e1)(2010TtTttyty)(1ln)(1ln)(1ln)(1ln)(1ln)(1ln20102011022010120tytytyttyttytyttT3、确定二阶环节的参数确定二阶环节的参数 01

18、2( )(1)(1)KG sT sT s)ee1()(2121221100TtTtTTTTTTxKtyt t1 1=0.4 t=0.4 t2 2=0.8=0.82 . 0ee6 . 0ee22122111212211212211TtTtTtTtTTTTTTTTTTTT)55. 074. 1 ()()(16. 2121221212121ttTTTTttTT120.32tt时，应为一阶环节时，应为一阶环节 00(1)KT s 其中其中1202 .1 2ttT当当120.46tt时，应为二阶环节时，应为二阶环节 200)1(sTK其中其中12022.18ttT时，应为二阶以上环节。时，应为二阶以上环

19、节。 当当120.46tt对于对于n n阶环节传递函阶环节传递函数数nsTKsG) 1()(00nttT16.2210n12345678101214t1/t20.320.460.530.580.620.650.670.6850.710.7350.75高阶过程的高阶过程的n n与与12tt的关系的关系当当其中其中4 4、确定二阶时延环节的参数、确定二阶时延环节的参数 1)1)(e)(210sTsTKsGsOA0ABCBDTAEDTCC0 xxACxxTT1)1 (21TTx 12CTTT0.080.04TC/TAT1/TA0.75T2/TAABCcAT3.3.1.2 3.3.1.2 方波响应曲线

20、法方波响应曲线法 12110()()()()()yty ty ty ty t t12110( )( )( )( )()u tu tu tu tu t t110( )( )()y ty ty tt12110()()()()()yty ty ty ty t t12110( )( )( )( )()u tu tu tu tu t t100( )( )y ty t110( )( )()y ty ty tt00tt1001 0(2 )(2 )( )y ty ty t002t tt00(1)tntnt:10010()()(1)y nty nty nt如图，q1为过程的流入量，q2为过程的流出量，h为液位高

21、度，C为容量系数。若以q1为过程的输入量，h为输出量（被控量），R1、R2设为线性液阻，求过程的传函01( )( )/ ( )G sH s Q sR1q1hq2q3h1h2112d hqqCdt223d hqqCdt22hqR233hqR12hhh112d hhqCRdt2223hd hhCRRdt21232hhd hqCRRdt2132(2)d hhhCqRdtR代入223131322221(1)Rd qdhd hC RChqCRdtRdtRdt拉普拉斯变换3012233221( )( )/( )21(1)CR sG sH sQ sRC R sCsRR已知两个水箱串联工作，其输入量为 q1

22、，流出量为 q2、q3 ， h1、h2 分别为两个水箱的水位。 h2 为被控参数， C1、C2 为容量系数，假设 R1 , R2 , R12 , R3 为线性液阻。要求：1）列出该液位过程的微分方程组。 2）画出该过程的框图 3）求该液位过程的传递函数 021( )( )/( )G sH sQ sq1h1q2R2C1R12C2h2R3q3112121dhqqqCdt21232dhqqCdt122hqR121212hhqR233hqR解 微分方程组1( )Q s2( )Q s1( )H s12( )Q s3( )Q s2()H s-11CS21C S21R121R31R 过程框图 过程传函112

23、11121212hhhd hqCRRRdt1222212123hhhd hCRRRdt22312211221221212122123223()RRRdhCRC Rd hCC RCChqdtRRdtR R对上式进行拉氏变换202231211221211212123223( )1( )( )()H sG sRRRCRC RQ sCC R sCCsRRR R4.3.2 最小二乘法最小二乘法4.3.2.1 离散化模型与输入试验信号1离散化模型（1）离散时域模型 如果对被控过程的输入信号u(t) ，输出信号y(t)进行采样，采样周期为T，则相应得到差分方程为：11( )( 1 )()( 1 )()abn

24、anbyk ayka yk nbukbuk n （2）离散频域模型 ( )y k 离散频域模型可用脉冲传递函数表示。对输出离散序列 进行Z变换12111211111()()()()()()(1)bbaannnnzbzbzbY zB zG zU zAzzzaa1121211212()()()(1)bbaannnnB zb zb zbzA za za zaz 2 2输入试验信号输入试验信号 （1）输入试验信号的条件与要求 为了使被控过程是可辨识的，输入试验信号必须满足条件为了使被控过程是可辨识的，输入试验信号必须满足条件: : 1）在辨识时间内被控过程的模态必须被输入试验信号持续激励 ； 2） 输

25、入试验信号的选择应能使辨识模型的精度最高。 从工程的角度，输入试验信号的选取还要考虑如下一些要求：从工程的角度，输入试验信号的选取还要考虑如下一些要求： 3）工程上易于实现，成本低。 1）输入试验信号的功率或幅值不宜过大，也不能太小； 2）输入试验信号对过程的“净扰动”要小；（2）输入试验信号的选取 白色噪声作为输入试验信号可以保证获得较好的辨识效果，但白色噪声在工程上不易实现 研究表明，最长线性移位寄存器序列（简称M序列）具有近似白色噪声的性能 3M序列的产生 （1）移位寄存器产生 （2）软件实现 可以使用MATLAB语言编程实现产生M序列4.3.2.2 最小二乘法最小二乘法将待辨识的过程看作“黑箱” 如图所示 输入和输出y(t)是可以量测的；e(k)为量测噪