liu复合函数的导数学习教案

1、会计学1liu复合函数复合函数(hnsh)的导数的导数第一页，共33页。复习复习(fx(fx) )1. 微分微分(wi fn)定义定义:2. 重要重要(zhngyo)关系关系:函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续定义定义能能第1页/共32页第二页，共33页。3.多元函数多元函数(hnsh)全微分的求法；全微分的求法；4. 判定判定(pndng)函数可微的方法函数可微的方法:定义法定义法偏导连续偏导连续是是第2页/共32页第三页，共33页。回顾：一元复合回顾：一元复合(fh)(fh)函数的求导函数的求导法则法则（链式法则）（链式法则）问题问题(wnt(wnt):)

2、:dydy dudxdu dx则则复合复合(fh)(fh)而成的函数而成的函数则则? xy即即?dd xy),(),(),(. 2yxvyxuvufz 复合而成的函数复合而成的函数? ?zzxy 则则第3页/共32页第四页，共33页。第四节第四节一元一元(y yun)复合函数复合函数求导法则求导法则(fz)本节内容本节内容(nirng):一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分微分法则微分法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 第九章 第4页/共32页第五页，共33页。定理定理(dngl). 若函数若函数处偏导连续处

3、偏导连续(linx), 在点在点 t 可导可导, 则复合函数则复合函数且有链式法则且有链式法则vutt则有则有I.I.复合函数的中间变量均为复合函数的中间变量均为一元函数一元函数的情形：的情形：证证: 由已知由已知 可微可微),(vu在点),(vufz 又有又有 在点在点 t 处可导处可导 ( ),( )utvt 则有则有代入：代入：第5页/共32页第六页，共33页。代入：代入：利用一元函数的一阶微分形式不变性利用一元函数的一阶微分形式不变性( )yf u 对于函数对于函数 不论不论 u 是自变量还是因变量是自变量还是因变量,d( )dyfuu 都都有有d( )dyfuu ( 全导数全导数(d

4、o sh)公式公式 )zvutt若定理若定理(dngl)中中 说明(shumng): 偏导数连续偏导数连续减弱为减弱为可微可微, 则定理结论则定理结论仍成立仍成立.特点特点: :中间变量是中间变量是一元函数一元函数. .第6页/共32页第七页，共33页。解解?dd0 xxz第7页/共32页第八页，共33页。1) 中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形(qng xing). 例如例如,设下面所涉及设下面所涉及(shj)的函数都可微的函数都可微 .z2) 中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形.例如例如,z口诀口诀 : :2 中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形.第8页

5、/共32页第九页，共33页。类似地还可以类似地还可以(ky)推广：推广：设设),(wvufz 具有连续偏导数具有连续偏导数,而而),(),(),(yxwyxvyxu 都具有偏导数，都具有偏导数，则则复合函数复合函数),(),(),(yxyxyxfz 有对自变量有对自变量x、y的偏导数的偏导数(do sh)，且且zvuyxyxwxy第9页/共32页第十页，共33页。注意注意(zh y)：1.这里这里v与与x无关，无关，且在一元函数求导时，且在一元函数求导时，将记号将记号”“ 改为改为“d”.zvuxyy2.2.注意各个符号的含义注意各个符号的含义. .3.3.弄清变量间的关系弄清变量间的关系.

6、.第10页/共32页第十一页，共33页。其中其中(qzhng)即即令令zvu xyxwyzuxxyy第11页/共32页第十二页，共33页。第12页/共32页第十三页，共33页。两者的区别两者的区别(qbi)区别区别(qbi)类似类似zuxxyy第13页/共32页第十四页，共33页。当它们当它们(t men)都可微时都可微时,有有 这样一来，我们就可以对各类多元复合函数求偏导数这样一来，我们就可以对各类多元复合函数求偏导数. .只要弄清它们只要弄清它们(t men)(t men)的复合结构，及变量之间的关系，用锁链法则和正确的符号表示即可的复合结构，及变量之间的关系，用锁链法则和正确的符号表示即

7、可. .口诀口诀 : :有几个有几个(j )(j )中间变量就有几项中间变量就有几项, ,有几层复合就有几层乘积有几层复合就有几层乘积. .第14页/共32页第十五页，共33页。解解xzyzveusinxvvzyvvzveucos第15页/共32页第十六页，共33页。解解xf第16页/共32页第十七页，共33页。求多元复合函数的导数求多元复合函数的导数(do sh)的步骤：的步骤：画出变量画出变量(binling)关系图；关系图；由关系图得出由关系图得出(d ch)求导公式求导公式;求出求出所需的偏导数所需的偏导数(或导数或导数);代入公式代入公式,化简即可化简即可.x例例4 设解解求求恰当的

8、利用求导的四则法则，会使计算简单恰当的利用求导的四则法则，会使计算简单. .第17页/共32页第十八页，共33页。为简便(jinbin)起见 , 引入记号f 具有(jyu)二阶连续偏导数,求解解 令zyx则则第18页/共32页第十九页，共33页。由题意由题意(t y)知知:混合偏导数混合偏导数(do sh)相等，相等，1998二阶连续二阶连续(linx)偏导数，偏导数，第19页/共32页第二十页，共33页。设函数设函数(hnsh)具有具有(jyu)连续偏导数，连续偏导数，则全微分则全微分当当),(),(yxvyxu 时，时，有有全微分形式不变性的实质：全微分形式不变性的实质：无论无论z是自变量

9、是自变量u、v的函数或是中间变量的函数或是中间变量u、v的函数，的函数，它的全微分形式是一它的全微分形式是一 样的样的.第20页/共32页第二十一页，共33页。第21页/共32页第二十二页，共33页。例例2 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求利用利用(lyng)全微分形式不变性再解例全微分形式不变性再解例2 解解所以(suy)第22页/共32页第二十三页，共33页。例例8 8解解dzzudyyudxxudu 第23页/共32页第二十四页，共33页。1. 复合复合(fh)函数求导的链式法则函数求导的链式法则例如例如(lr), 3f2. 全微分形式不变性全微分形式不变性不论不论 u ,

10、v 是自变量还是因变量是自变量还是因变量,第24页/共32页第二十五页，共33页。.uvuxzzvx .uvuyzzvy zvuttzvuyxyxzvyxyx牢记求导的公式牢记求导的公式和方法和方法(fngf)、符号、符号求抽象求抽象(chuxing)(chuxing)的复合函数的偏导数的复合函数的偏导数-链式法则链式法则有几个中间有几个中间(zhngjin)(zhngjin)变量就有几项变量就有几项, ,有几层复合就有几层乘积有几层复合就有几层乘积. .第25页/共32页第二十六页，共33页。P82 题8(2)1f 1f 2f 第26页/共32页第二十七页，共33页。1. 已知求解解: 由两

11、边(lingbin)对 x 求导, 得第27页/共32页第二十八页，共33页。求),(yxfz 在点)1 , 1(处可微 , 且设函数解解: 由题设(2001考研考研(ko yn)第28页/共32页第二十九页，共33页。2.zx y 求求20002zx y 第29页/共32页第三十页，共33页。2zx y 121112212222(),(),ffxxxffxffyyyy 第30页/共32页第三十一页，共33页。纠正(jizhng)作业,arcsin) 1(),(yxyxyxf ).1 ,(xfx . 1) 1 ,( xfx第31页/共32页第三十二页，共33页。NoImage内容(nirng)总结会计学。定理. 若函数。在点 t 可导,。I.复合函数的中间变量均为一元函数的情形：。( 全导数公式 )