2011届高考数学 基本初等函数（I）总复习课件

1、数学直通车数学直通车-基本初等函数基本初等函数（I I）知识体系知识体系yy12xx12第一节第一节 一次函数、二次函数一次函数、二次函数基础梳理基础梳理1. 一次函数的性质与图象(1)函数 叫做一次函数.它的定义域为R,值域为R.(2)一次函数具有如下一些主要性质:函数值的改变量 与自变量的改变量 的比值等于常数k;当k0时,一次函数是 ;当k0时,抛物线开口向上,函数在 处取 ;在区间 上是减函数,在 上是增函数;当a0时,与x轴两交点的横坐标 分别是方程a 的 的两根;当=0时,与x轴切于一点 ;当0)在m,n上的最值问题.(1)hm,n时, =k, =maxf(m),f(n)；(2)h

2、 m,n 时,当hn时,f(x)在m,n上单调递减, = , = .hx2yminymaxyminymaxymaxymin递增f(m)f(m)f(n)f(n)典例分析典例分析题型一题型一 一次函数性质的应用一次函数性质的应用【例1】一次函数y=(m+2)x+2m-1是增函数,且它的图象与y轴的交点在x轴的下方,求实数m的取值范围.分析 当k0时，y=kx+b(k0)为增函数,其图象与y轴的交点为(0,b).解 y=(m+2)x+2m-1是增函数,m+20. 又函数y=(m+2)x+2m-1的图象与y轴的交点在x轴下方,2m-10. 由、解得-2m0时,函数图象是上升的;k0时,交于x轴上方;b

3、=0时,交于原点;b0时,交于x轴下方.b又叫做直线y=kx+b在y轴上的截距.举一反三举一反三1. 已知函数y=(2m-1)x+1-3m,m为何值时：(1)这个函数为一次函数?(2)函数值y随x的增大而减小?(3)这个函数图象与直线y=x+1的交点在x轴上?解析: (1)当m 时,这个函数为一次函数.(2)根据一次函数的性质,可知当2m-10,即mc B. bc与bc中至少有一个正确C. bc D. 不能确定2x2( )xf解析:令f(x)=t,由 +bf(x)+c=0, 得 +bt+c=0. 要使有7个解，则必须有两解，即f(x)=| +2x|与f(x)=t有7个交点（如图），所以方程必有

4、两个解，而f(x)=t中的一条直线必过f(x)=| +2x|折上去的顶点，故式有一解为 ，另一直线与f(x)=| +2x|的图象有4个交点，故式的另一解 必在（0,1)上，所以 ，所以bc.答案:C121 200,0bbct ttt 2( )xf2t2x2x11t2x2t题型四题型四 二次函数在特定区间上的最值问题二次函数在特定区间上的最值问题【例4】已知函数f(x)=- +2ax+1-a在0 x1时有最大值2,求a的值.x2分析 作出函数图象,因对称轴x=a位置不定,故分类讨论对称轴位置以确定f(x)在0,1上的单调情况.解 当对称轴x=a0时,如图1所示.当x=0时,y有最大值, =f(0

5、)=1-a.1-a=2,即a=-1，且满足a1,如图3所示.由图可知，当x=1时y有最大值, =f(1)=2a-a=2,a=2,且满足a1,a=2.综上可知，a的值为-1或2.ymaxa2a2a2251251ymaxymaxa2学后反思 二次函数y=a +bx+c(a0)在区间m,n上求最值的方法:先判断 是否在区间m,n内.(1)若 m,n,则最小值为f( )= ,最大值为f(m)、f(n)中较大者(m,n)中与 距离较远的一个为最大值);x2abx20 x0 x0abac442ab2(2)若 m,n,当 n时,f(x)在m,n上是单调递减函数,则最小值为f(n),最大值为f(m).x0ab

6、2ab2举一反三举一反三4. （2010唐山综测)已知函数f(x)= -2ax+3 -1(a0,0 x1)，求函数f(x)的最大值和最小值.解析：f(x)= -2ax+3 -1= +2 -1,由a0知，当a1时，由于f(x)在0,1上是减函数，故f(x)的最大值为f(0)=3 -1,最小值为f(1)=3 -2a;当0a1时，f(x)的最小值为f(a)=2 -1,f(x)的最大值为f(0),f(1)中的较大者.若f(0)f(1)，则3 -13 -2a,解得a ，所以当0a 时，f(x)的最大值为f(1)=3 -2a;当 a1时，f(x)的最大值为f(0)=3 -1. 2a2x2()x a2a2a

7、2a2a2a2a12122a122a题型五题型五 二次方程根的分布问题二次方程根的分布问题【例5】（12分）已知函数f(x)=m +(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧,求实数m的取值范围.x2分析 本题涉及二次方程根的分布问题,很容易联想到根与系数的关系，可根据韦达定理去解决.解 (1)当m=0时,f(x)=-3x+1,直线与x轴的交点为 ,在原点右侧,符合题意.2(2)当m0时,因为f(0)=1,所以抛物线过点(0,1).3若m0,f(x)的开口向上,如图2所示.图1图2要使交点在原点右侧,当且仅当 8 解得 m1或m9, 0m3, 即0m1. 10综上所述,所求m的取值

8、范围是(-,1.120023432mmmmm举一反三举一反三5. 方程2 -3x=k,（1）若方程在x-1,1的范围内有实根,求实数k的取值范围.（2）若在（-，-1）和（1，3）上各有一实根，求实数k的取值范围.x2学后反思 (1)对于“二次”型函数,若 的系数不确定,要分系数等于零与不等于零两种情况讨论.(2)对于二次方程根的分布,一般借助二次函数的图象比较容易解决.2x解析 (1)设f(x)=2 -3x-k,对称轴为x= . 方程f(x)=0在-1x1的范围内有两实根时,有 即解得 k-1. 方程f(x)=0在-1x1的范围内有且仅有一个解时,有 即解得-1k5.综上所述,k的取值范围是

9、x243 01010ff0105089kkk89 01010ff010589kkk5 ,89（2）由题意知，函数f(x)=2 -3x-k与x轴有两个交点.如图所示得 f(-1)0， 0， f(1)0, f(3)0，即 2+3-k0， 9+8k0， 2-3-k0, 18-9-k0，解得5k9.所以方程在（-，-1）和（1，3）上各有一根时，k的取值范围是(5，9).2x易错警示易错警示【例】求函数y= -2ax-1在0,2上的值域.x2错解 当x=0时, =-1; 当x=2时, =4-4a-1=3-4a.yminymax错解分析 因为函数y= -2ax-1的对称轴为x=a,而a的值不确定,对称轴

10、是变化的,需讨论a的大小与0,2的关系,结合二次函数的单调性来解决问题.x2正解 当a0时, =f(0)=-1, =f(2)=4-4a-1=3-4a,此时,函数值域为-1,3-4a;当0a1时, =f(a)=- -1, =f(2)=3-4a,此时,函数值域为- -1,3-4a;当12时, =f(2)=3-4a, =f(0)=-1,此时,函数值域为3-4a,-1.yminymina2a2ymina2yminymaxymaxymaxymaxa210.（原创题）已知函数f(x)=| -2ax+b|(xR)，给出下列命题：f(x)必是偶函数；当f(0)=f(2)时，f(x)的图象必关于直线x=1对称；

11、若 -b0，则 f(x)在区间a，+上是增函数；f(x)有最大值 -b.其中正确命题的序号是 .2a2a2x解析:f(x)= ，对称轴为x=a，由于a不一定为0，故错；显然也不正确.只有是正确的.22()()xaab答案：考点演练考点演练2x12x11. 设函数f(x)= -2x+2,xt,t+1，f(x)在此区间上有最小值为g(t),求g(t)的解析式.解析:f(x)= -2x+2= +1.当t+11，即t0时，f(x)在t,t+1上为减函数,g(t)=f(t+1)= +1；2xt2当0t1时，g(t)=f(1)=1；当t1时，f(x)在t,t+1上为增函数,g(t)=f(t)= -2t+2

12、.综上所述， t2 1, 2210 , 10, 122tttttttg12. 设二次函数f(x)= +ax+a，方程f(x)-x=0的两根 和 满足 .(1)求实数a的取值范围;(2)试比较f(0)f(1)-f(0)与 的大小，并说明理由.解析：方法一：（1）令g(x)=f(x)-x= +(a-1)x+a,则由题意可得2x2x1201x x1x2x11600101112(1)0322322(0)00322aaagaaga 或故所求实数a的取值范围是(0, ).(2)f(0)f(1)-f(0)=f(0)g(1)=2 ,令h(a)=2 .当a0时，h(a)单调增加，当0a 时， 即f(0)f(1)

13、-f(0) .方法二:(1)同方法一.(2)f(0)f(1)-f(0)=f(0)g(1)=2 ,由(1)知0a , .又 ,于是 即 ，f(0)f(1)-f(0) .32 22a2a3222110( )(32 2)22(1712 2)2161712 2(3 2 2)h ah1162a32211622111(1)(4 21)(4 21)161616232aaa4210a 4 2112 2170a 210162a方法三：(1)方程f(x)-x=0 +(a-1)x+a=0.由韦达定理得 , ,于是 故所求实数a的取值范围是 (0, ) (2)依题意可设 ，则由 得f(0)f(1)-f(0)=f(0)

14、 故f(0)f(1)-f(0)1,且nN*.当n是奇数时, ；当n是偶数时, (a0); (a0,m,nN*,且n1); (a0,m,nN*,且n1).xnnnaa13. 有理指数幂的运算性质设a0,b0,则 (r,sQ); (r,sQ); (rQ).4. 指数函数的定义形如 的函数叫做指数函数 axa的n次方根nnaanna0,0,aaaaanaamnmnmaanmanm1aasrasr arss raabrbarry= (a0,且a1)5. 指数函数的图象与性质 a0 0a0时, ;当x0时, ;当x10y10y1增函数减函数(0,1)典例分析典例分析题型一题型一 指数运算性质的应用指数运

15、算性质的应用【例1】化简或计算.(1)(2)(3)已知a,b是方程 -6x+4=0的两根,且ab0,求 的值.01.027102064.05325 .032310315383327aaaax2ba2121分析 有理指数幂的运算应注意“化小数为分数”、“化根式为分数指数幂”的原则.解 (1)原式=(2)原式=802431011692511013452121aaaaaaaaa2125343225342167213152138312367(3)由条件知a+b=6,ab=4,又ab0,所以104262212122121abbababa学后反思 (1)当条件给出小数或根式形式时,一般要化小数为分数,化根

16、式为分数指数幂.(2)对于计算结果,如果条件用分数指数幂给出,结果一般也用分数指数幂的形式给出;如果条件用根式形式给出,结果也往往采用根式形式.(3)结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.总之应符合化简结果的要求.举一反三举一反三1. 计算:(1)(2)(3)若 =3,求 的值. 62527125.025.0315 .0bababa33246521121231xx212123222323xxxx解析： (1)原式= (2)原式=(3)因为 =3,所以则所以所以105325315 . 011bababa2321323136545225xx212172212121xxxx47

17、21222xxxx18631121212323xxxxxx3124731823222323xxxx题型二题型二 指数函数的图象的应用指数函数的图象的应用【例2】已知函数y= ,(1)作出函数的图象;(2)指出该函数的单调递增区间;(3)求函数的值域.212x分析 本题要考虑去绝对值符号,把函数解析式写成分段函数的形式,再作出图象,然后根据图象寻求其单调递增区间和值域.解 (1)由函数解析式可得其图象分成两部分:一部分是y= (x-2)的图象,由下列变换可得到:另一部分y= (x-2)的图象,由下列变换可得到:如图为函数y= 的图象.(2)由图象观察知函数在(-,-2上是增函数.(3)由图象观察

18、知,x=-2时,函数y= 有最大值,最大值为1,没有最小值,故其值域为(0,1.2,22,2121222xxyxxx212x21212xxyy向左平移两个单位22x222xxyy向左平移两个单位212x212x学后反思 （1）本例也可以不考虑去掉绝对值符号,而是直接用图象变换（平移、伸缩、对称）作出,作法如下:(2)的部分轴翻折得部分，将它沿保留0 xy021xxy212122xxyy个单位向左平移 xfyxfy轴左边图像轴对称图像，去掉轴右边图像，并作关于保留yyy xfyxfy轴下方图像翻折上去轴上方图像，将保留xx举一反三举一反三2. 如图是指数函数：y= ;y= ;y= ;y= 的图象

19、，则a、b、c、d与1的关系是( )A. ab1cdB. ba1dcC. 1abcdD. ab1d0,a1)的定义域为R,所以y= 的定义域与f(x)定义域相同;值域则要应用其单调性来求,复合函数则要注意“同增异减”的原则.ax axf解析:方法一：在中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图象越靠近x轴，故有ba;在中底数大于1,在y轴右边，底数越大图象越靠近y轴，故有dd1ab.答案:B12x解 (1)x0，函数定义域为xR|x0，x0， 0，y= 1.故函数的值域为(0,1)(1,+).(2)因为 +10恒成立,所以定义域为R.又因为y= ,而0 1,所以-1 0,解得0y1,所以值

20、域为(0,1).(3)令- -3x+40，解得-4x1,所以函数y= 的定义域为-4,1.设u= (-4x1),易得u在x=- 时取最大值 ,在x=-4或1时取最小值0,即0u .所以函数y= 的值域为 ,即函数y= 的值域为1, .2x1211122xxx121x121xx22432xx432xx2325252u2,22502432xx24学后反思 (1)弄清复合函数的复合过程.(2)利用“同增异减”结论，准确判断其单调性. 举一反三举一反三3. 下列函数中值域为正实数集的是( )A. y= B. y=C. y= D. y=311 x12x511x211x1x12x解析： A中，y= 的值域

21、为正实数集,而1-xR,y= 的值域为正实数集;B中,当x=0时, -1=0;C中,y取不到1;D中，函数值域为0,1).答案： A311 x31x2x题型四题型四 指数函数性质的综合应用指数函数性质的综合应用【例4】(12分)已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x(0,1)时,f(x)=(1)求f(x)在-1,1上的解析式;(2)求证:f(x)在(0,1)上是减函数.142xx分析 求f(x)在-1,1上的解析式,可以先求f(x)在(-1,0)上的解析式,再去关注x=1,0时的函数值;函数的单调性可利用单调性定义来证明.解 (1)当x(-1,0)时,-x(0,1).f(x)是奇

22、函数,f(x)=-f(-x)= .2142142xxxx由f(0)=-f(0),且f(1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(-1)=0.4在区间-1,1上,有 .6(2)证明：当x(0,1)时,f(x)= .设0 1, 7则 90 0,即 , 11f(x)在(0,1)上是减函数. 12 1 , 0 , 1, 00 , 1,1421 , 0,142xxxxfxxxx142xxxx21 14141222142142212122211121xxxxxxxxxxxfxfxx21012, 0221212xxxx xfxf21 xfxf21学后反思 本题以指数运算、指数函

23、数的性质为基础进行整合,考查了指数函数及其性质的掌握情况.第(1)问求f(x)的解析式时,易漏掉对x=-1,0,1的讨论. 举一反三举一反三4. 设关于x的方程 -b=0(bR).（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解 142xx解析（1）原方程为b= +1， = -2 = -1-1，当b-1,+)时方程有实数解.（2）当b=-1时， =1，方程有唯一解x=0；当b-1时， =1+b 0,1+ 0， 的解为 ；令1- 0 1 -1b0,当-1b0时， =1- 的解为 ；综合、，得当-1b0时，原方程有两解： ；当b0或b=-1时，原

24、方程有唯一解： ；当b-1时，原方程无解.2x142xx142xx2(2 )x2x2(21)x2x2(21)x211.xb 2x1 b211xb 2log (11)xb2log (11)xb1 b1 b2log (11)xb2log (11)xb1 b【例】设a0且a1,如果函数f(x)= 在-1,1上的最大值为14,求a的值.122aaxx错解 当x=1时,f(x)有最大值,即 +2a-1=14, +2a-15=0,a=3(a=-5舍去).a2a2错解分析 错解中：(1)忽略了字母参数a1与0a1时, ,令t= , 则y= ,t ,易知y= 在 上单调递增.当t=a,即 =a时, = =14

25、,a=3(a=-5舍去).(2)当0a0,且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是.考点演练考点演练ax解析:函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax与函数y=x+a交点的个数.由函数的图象可知,当a1时两函数图象有两个交点;当0a1.答案:(1,+)11. （2009江西)设函数f(x)= .(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若k0,求不等式f(x)+k(1-x)f(x)0的解集.xxe解析：（1）f(x)=由f(x)=0，得x=1.因为当x0时，f(x)0;当0 x1时，f(x)1时，f(x)0;所以f(x)的单调增区间是1,+);单调减区间是(-,0),(0,1.22111xxxxx

26、eeexx(2)由f(x)+k(1-x)f(x)= 得(x-1)(kx-1)0.当0k1时，解集是 . 2221fxk 1x f x(1)(1)0 xxxkxkxkxxexex 1|1xxk1|1xxk12. 定义域为R的函数f(x)= 是奇函数.(1)求a,b的值;(2)若对任意的tR,不等式f( -2t)+f(2 -k)0恒成立,求k的取值范围. abxx221t2t2解析： (1)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即 =0，解得b=1，从而有f(x)= .又由f(1)=-f(-1)知解得a=2.所以a=2,b=1.(2)方法一:由(1)知由上式易知f(x)在(-,+)上为减函数.a

27、b21axx2121 1111221222xxxfx aa1121212又f(x)是奇函数,从而不等式f( -2t)+f(2 -k)0等价于f( -2t)-2 +k,即对一切tR有3 -2t-k0,从而判别式=4+12k0,解得k1.因为底数21,所以3 -2t-k0，即上式对一切tR均成立,从而判别式=4+12k0,解得k01, 01logaaaa且1, 0logaaNaNa且以10为底的对数lgNe=2.718 28为底的对数lnNNelogNlog101, 0aaNax且2. 对数的运算性质如果a0,且a1,M0,N0,那么(1) ;(2) ;(3) .NMaaloglogNMalogN

28、MalogNMaaloglogMNalogRnMnalog3. 换底公式及常见结论(1)换底公式:(2)常见结论(其中a,b,c0且a,b,c1): , , ,0, 1,0,logloglogNbababNNaab且1-1aa1logbalogablog1acbcbalogloglogbnamlogbmnalog4. 对数函数的定义:一般地,函数 叫做对数函数,它的定义域为 ,值域为 . (0,+)R10logaaxya且5. 对数函数的图象与性质 a0 0a0时, ;当x0时, ;当x0 y0 y0增函数减函数x轴6. 反函数指数函数y= (a0,a1)与对数函数y= (a0,a1,x0)

29、,它们的图象关于直线 对称.axxalog互为反函数y=x典例分析典例分析题型一题型一 对数的运算对数的运算【例1】求下列各式的值.(1) (2)已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求 的值. 421238432log9log2log3log3logyxlog2分析 关于对数运算的题目,往往需要利用对数的运算性质、对数恒等式、换底公式等进行变形和求解.解 (1)原式= = = (2)由题意可得x0,y0,且x2y.又lgx+lgy=2lg(x-2y), xy= ,即 -5xy+4 =0, 解得x=4y(或x=y舍去). =4, =4.2log2log2log3log3log45213322

30、232452log212log3log313log213322254545452log233log6532yx 22x2y2yx4loglog22yx学后反思 (1)熟练掌握对数的运算性质、换底公式、对数恒等式是进行化简、求值的关键,应用时务必要创造出适合公式或性质应用的条件.(2)解(2)时要注意隐含在题目中的条件:x2y0,否则将导致 的值出错.yx举一反三举一反三1. 计算,求值.(1) ;(2)已知 其中a0,a1,求 的值 .223log29log2log377712log5log1log4log22xyyxaaaaxylog8解析: (1)原式= =(2)根据对数的运算法则,原等式

31、可化成 整理得配方得 , xy=3, x=2y, ,223log9log2log27737092232log237125log14log22xyyxaa1251422xyyx091042222xyyxyx02322yxxy21xy3121loglog88xy题型二题型二 对数概念及运算性质的综合应用对数概念及运算性质的综合应用【例2】若a,b,c是均不为零的实数,且 .求证: .632236cbacba321分析 本题应利用对数与指数式的互化,将问题转化为对数的运算.证明 设 =k(k0,且k1), 632236cbacba321,2log,3log,6log632ckbkak6log2log

32、21, 3log3log31, 2log6log61632kkkkckbkacbakkkk36log236log63log62log621学后反思 本题主要考查了两点:(1)应用对数概念进行指数式与对数式的互化; .(2)换底公式的应用: (a0,a1,N0,N1).NbNaablogaNNalog1log举一反三举一反三2. 设x,y,zR+,且(1)比较3x,4y,6z的大小;(2)求证: .643zyxxzy1121解析： (1)令 =k,则k1, k1,同理,4y-6z0.3x4y6z.643zyxkzkykxlog,log,log6434log43log3log4log34343kk

33、kkyx4log3log3log4log4log3log3log44log343kkkkkkkk043 ,3log4log43yxkk(2)证明：由(1)得而 4log1, 3log1, 6log1kkkyxz2log3log6log11kkkxz2log4log2121kkyxzy1121题型三题型三 对数函数的图象与性质对数函数的图象与性质【例3】方程 的实数解的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3xx2log2分析 在同一坐标系中分别画出函数y= 与y= 的图象,然后观察交点的个数,交点个数即为方程解的个数.x2log2x解 设 , 分别画出两个函数的图象,如图.从图象上

34、观察 与 只有一个交点，所以实数解的个数为1.2log21xyxy2y1y2举一反三举一反三3. 方程 的实根的个数为( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 334log2xx解析： 在同一坐标系中作出函数 与 的图象(如图),观察得知共有两个不同交点.答案： C4log21xy32xy 【例4】设0 x0,a1,比较 与 的大小.xa1logxa1log分析 本题有作差法与作商法两种思路:（1）若m-n0,则mn;（2）对于m0,n0,若 1,则mn.nm解 方法一:0 x1,11+x2,01-x1.当0a0, 0,0 x1,01- 0, 当a1时, 0,综上可知, .方法二01- 1,0

35、(1+x)(1-x)1,01-x , log（1+x）(1-x)1.又 0, xa1logxxxxxxxaaaaaa21log11log1log1log1log1logx2xa21logxxaa1log1logxa1logxa1logxa1log01log1log1log1log1log2xxxxxaaaaaxxaa1log1logxxaa1log1logxxxxaa1log1log1log1x2x11xx1log1xx1log111log1log11xxxxxxaa1log1log学后反思 (1)作差法要注意讨论a1与0a1两种情况，依据 对数函数单调性，合理去掉绝对值符号，然后判断函数值与

36、0的关系.(2)作商法要注意比较的两式均同号，作商与1比较，本题是含有两绝对值的式子，先运用对数换底公式化简，然后去掉绝对值符号，根据对数函数的性质比较与1的关系. 举一反三举一反三解析：当1m10时，0lg m10时，lg m1， 1.92.1lglgmm1.92.1lglgmm1.92.1lglgmm4. 比较 与 (m1)的大小.1.9lgm2.1lg m【例【例5 5】( (12分)已知函数 （1）求 的定义域、值域；（2）判断 的单调性，并给予证明；（3）解不等式 题型四题型四 对数函数性质的综合运用对数函数性质的综合运用( )log (),(1),xaf xaaa( )f x( )

37、f x12(2)( ).fxf x分析 利用函数的性质,结合指数、对数函数知识进行求解.解（1）为使函数有意义,需满足a- 0，即 a，又a1，x1.故函数定义域为(-,1).2又由 ，f(x)1即函数的值域为(,1).4xaxalog ()log1,xaaaaa学后反思 (1)含参数的对数问题必须要注意对底数“1”还是“0,得-1x3,则 在(-1,1上单调递增,在(1,3)上单调递减 在(-1,1上单调递增,在(1,3)上单调递减.232uxx232uxx212(32)logyxx错解分析方法一忽视了函数 本身的定义域,导致出错;方法二忽略了求复合函数的单调区间及值域问题时,应从内层函数

38、与外层函数 两方面结合来考虑.212(32)logyxx232uxx12logyu正解 先求函数的定义域,由 ,解得函数 的定义域是(-1,3).设 (-1x3),又设-11,若仅有一个常数c使得对任意xa,2a都有ya, 满足方程 ,这时a的取值集合为 . 解析： , ,即y= .把 看成常数,则函数y= 在a,2a上单调递减,当x=a时,y= ;当x=2a时,y=a. 即 a=2.答案： 2 a2cyxaaloglogcyxaaloglogxyacxaca2aaaaaacc22aaaacc1122acxac11. 已知f(x)= (a0,a1)(1)求f(x)的定义域;(2)当a1时，求使

39、f(x)0的x的取值范围.11logaxx解析：（1）若使f(x)有意义，则 ,解得-1x1，故所求函数的定义域为x|-1x1, ,解得0 x1.故x的取值范围为(0,1)101xx101logaxx111loglogaaxx111xx12. 设a,bR,且a2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)= 是奇函数.(1)求b的取值范围;(2)讨论函数f(x)的单调性.1lg1 2axx解析：(1)f(x)= (-bxb)是奇函数等价于:对任意x(-b,b)都有 式即为 ,得 , 即 ,此式对任意x(-b,b)都成立相当于 .因为a2,所以a=-2,代入式,得 ,即 ,此式对任意x(-b,b)都

40、成立相当于- -bb ,所以b的取值范围为(0, ).1lg12axx()( ),10,12fxf xaxx 11lglg1 21 2axaxxx111 21 2axaxxx2224a xx24a12012xx1122x121212(2)设任意的 , (-b,b),且 ,由b(0, ),得- -b 0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间0,+)上是 .(3)g(x)?f(x)=g(x)?f(x)1或xg(x);当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);当-1x1且x0时,f(x)1,即 1,即|x|1,x1或xg(x);令 ,得 =1,即x=1时,f(x)=g(x);令 ,得 1,|x|1,即

41、-1x1且x0时,f(x)g(x).xa2 ,22 ,2xa2ax2xb41, 241, 2xb241bx2x2x2xx221x4x2xx221x4xx221x4学后反思 (1)求幂函数解析式的一般步骤:设出幂函数的一般形式y= (为常数);根据已知条件求出的值;写出幂函数的解析式.(2)本题的第(2)问方法一采用了数形结合的思想,借助图象求出不等式和方程的解.方法二用分类讨论的思想,解不等式求x的取值范围,但必须要注意g(x)的定义域为x|x0,故f(x)g(x)的解集为x|-1x1,0 1, 0,因此 (3)由于指数函数y= 在R上是减函数,所以又由于幂函数y= 在(0,+)上是增函数,所

42、以故有9913131x3198313198313191831311 . 4528 . 3529 . 1539 . 18 . 31 . 45352522 . 0 x2 . 02 . 03 . 05 . 0 x3 . 04 . 02 . 03 . 03 . 04 . 02 . 03 . 05 . 0学后反思 比较幂值的大小,常用以下几种类型:(1)同底不同指,可以利用指数函数单调性进行比较;(2)同指不同底,可以利用幂函数单调性进行比较;(3)既不同底又不同指,常常找到一个中间值,通过比较两个幂值与中间值的大小来确定两幂值的大小.举一反三举一反三3. 当0ab1时,下列不等式正确的是( )A. B

43、. C. D. aabb111baba11aabb112baba11解析： 由0ab1,可知ab,0a1,01-b1-a1, ,答案： Daaab11babb11baba11题型四题型四 幂函数的综合应用幂函数的综合应用【例4】(12分)已知对任意的 (0,+)且 ,幂函数 f(x)= (pZ)满足 ,并且对任意的xR,f(x)-f(-x)=0.(1)求p的值,并写出相应的函数f(x)的解析式;(2)对于(1)中求得的函数f(x),设函数g(x)=-qf(x)+(2q-1) +1,问是否存在实数q(q0,解得-1p3.2又pZ,则p=0或1或2.当p=0或2时,f(x)= 不是偶函数;当p=1

44、时,f(x)= 是偶函数,p=1,此时f(x)= .4xpp322322ppx3x4x4 xfxf21(2)g(x)=-q +(2q-1) +1.令t= ,设G(t)=g( )=-q +(2q-1)t+1(t0).6t= 在(-,0)上是减函数,当x(-,-4时,t16,+);当x(-4,0)时,t(0,16).8当G(t)在16,+)上是增函数,在(0,16)上是减函数时,g(x)在(-,-4上是减函数,在(-4,0)上是增函数,此时二次函数G(t)的对称轴方程为t=16,10即t= q= .存在符合题意的实数q,q= .12x4x2x2tt2x216211212qqq301301学后反思

45、幂函数的图象与性质是本题考查之一.对于存在性问题,一般先假设存在,再利用若存在则具备什么关系来建立求变量的方程,若求出则说明假设成立;若求不出则假设不成立,即不存在,具有开放性结论的命题是近年来高考命题的热点之一. 4. 已知函数f(x)= (kZ)满足f(2)f(3).(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式;(2)对于（1）中得到的函数f(x)，试判断是否存在正数q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间-1,2上的值域为 .若存在，求出q;若不存在，说明理由. 举一反三举一反三解析：(1)由f(2)0,-1k0满足题设.由（1）知g(x)=-q +(2q-1)x+1,x-

46、1,2.g(2)=-1,两个最值点只能在端点(-1,g(-1)和顶点 处取得.而 g(x)max= ,g(x)min=g(-1)=2-3q=-4，解得q=2.存在q=2满足题意.22211( 1)(23 )044444(41)gqqqqqqq2117484qq2121(,)244qqqq2x2x2k222232kkkk1 74 ,822kkx【例】已知幂函数y= (mN*)的图象关于y轴对称,且在(0,+)上是减函数,求满足 的实数a的取值范围.xmm322aamm23133正解： 函数在(0,+)上单调递减, 0,解得-1m3.m ,m=1,2.又函数图象关于y轴对称, 是偶数.而 为奇数,

47、 -21-3=-4为偶数,m=1.y= 在(-,0)和(0,+)上均为减函数,且当x0时, 0时, 0, 等价于a+13-2a0或3-2aa+10或a+103-2a,解得a-1或 a3-2a,解得a .231310. 给定一组函数解析式:y= ;y= ;y= ;y= y= ;y= ;y= ,如图所示为一组函数图象,请把图象对应的解析式的号码填在相应图象下面的横线上 x43x32x23x32x23x31x31考点演练考点演练解析：所给函数都是幂函数,都符合y= .A、C、E三个图象在第一象限是减函数,则0;而A图象为奇函数,C图象为偶函数,E图象在(-,0)上无意义,故A为y= ,C为y= ,E

48、为y= ,应分别填.由B、D、F三个图象知01,故为y=x32,填.答案： x13x23x32x13x23x34x11. (2010开封调研）已知函数f(x)= ，且f(4)=- .(1)求m的值;(2)判断f(x)在(0,+)上的单调性，并给予证明.2mxx72解析：（1）f(4)=- , ,m=1.(2)f(x)= -x在(0,+)上单调递减，证明如下：任取 ,则 . , . , ,即f(x)= -x在(0,+)上单调递减.7227424m 2x1212211212222()()()()()(1)ffxxxxxxxxx x120 xx120 xx210 xx12()()0ffxx12()(

49、)ffxx2x12. 若f(x)= (nZ)的图象在0,+)上单调递增,解不等式 . 32xfxxfxnn3212解析: 由已知得 0,解得-1nx+3,解得x3或x3或-3x3或x3或-3x-1.第五节第五节 函数与方程函数与方程基础热身基础热身1. 函数零点的定义:对于函数y=f(x)(xD),我们把使 j 叫做函数y=f(x)(xD)的零点.即:函数y=f(x)的零点就是 ,亦即f(x)=0成立的实数x方程f(x)=0的实数根函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标2. 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象 有交点函数y=f(x) .与x轴有零点3. 函数零点的求法:代数法:求

50、方程f(x)=0的实数根;几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.4. 函数零点的判断一般地,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得 ,这个c也就是f(x)=0的根.我们把这一结论称为零点存在性定理.f(a)f(b)0)的图象与零点的关系,a0)的图象 与x轴的交点零点个数000 x2无交点 0 ,0 ,21xx0 ,1x两个零点一个零点无零点6. 二分法的定义:对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通

51、过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ,使区间的两个端点 ,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法. 一分为二逐步逼近零点7. 给定精确度,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:(1)确定区间a,b,验证f(a)f(b) 0,给定精确度;(2)求区间(a,b)的中点c;(3)计算f(c),若f(c) 0,则c就是函数的零点;若f(a)f(c) 0,则令b=c(此时零点 (a,c);若f(c)f(b) 0,则令a=c(此时零点 (c,b);(4)判断是否达到精确度,即若|a-b|,则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)(4). =x0 x0典例分析典例分析题型一题型一 求函数的零点求函

52、数的零点【例1】求下列函数的零点.(1)f(x)=4x-3;(2)f(x)=- +2x+3;(3)f(x)= -3x+2;(4)f(x)=x- +2.x2x3x3分析 根据函数零点与方程根之间的关系,求函数的零点,就是求相应方程的实数根.解 (1)由4x-3=0,得x= ,即f(x)=4x-3的零点是 .(2)由- +2x+3=0,得 -2x-3=0,解得 =-1, =3,即f(x)=- +2x+3的零点为-1,3.(3)由 -3x+2= +2 -2 -4x+x+2= (x+2)-2x(x+2)+(x+2)= (x+2)=0,得 =1, =-2.所以f(x)= -3x+2有两个零点1,-2,其

53、中1是二重零点.(4)由x- +2= =0, =1, =-3,即函数f(x)=x- +2的两个零点分别为1,-3.4343x2x2x1x2x2x3x3x2x2x212xx2, 1x3x3x3xxxxxx31322x1x2x3学后反思 求函数的零点就是求相应方程的根,一般可用因式分解或求根公式等方法求出方程的根,即得到函数的零点.1. 求下列函数的零点.(1)f(x)= -1; (2)f(x)=x31122xxx解析： (1)由 -1=0,得x=1,所以f(x)= -1的零点是1.(2)由 ,得 =-1,所以f(x)= 的零点是-1,这是一个二重零点.x3x301111222xxxxxx2, 1

54、1122xxx题型二题型二 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解【例2】求函数f(x)= +2 -3x-6的一个为正数的零点(误差不超过0.1).x3x2分析 由于要求的是函数的一个正数零点,因此可以考虑确定一个包含正数的闭区间m,n,且f(m)f(n)0,如计算出f(0)=-60,f(1)=-60,所以可取区间1,2作为计算的初始区间(当然选取(0,2)也是可以的).解 f(1)=-60,存在x(1,2),使f(x)=0.用二分法逐次计算,列表如下:端点或重点坐标计算端点或中点的函数值取区间 a=1,b=2f(1)=-6,f(2)=4(1,2)f(1.5)=-2.6250(1.5,1

55、.75)f(1.625)=-1.30270(1.625,1.75)f(1.6875)=-0.56180(1.6875,1.75)f(1.71875)=-0.17070(1.71875,1.734375)5 . 12211x75. 1225 . 12x625. 1275. 15 . 13x6875. 1275. 1625. 14x71875. 1275. 16875. 15x61.718751.751.7343752x|1.734375-1.71875|0.1，所求的正数零点是1.734375或1.71875.学后反思 用二分法求函数零点的近似值,首先要选好计算的初始区间,这个区间既要包含所求的

56、根,又要使其长度尽量小;其次要依据给定的精确度,及时检验所得区间端点的近似值(精确到给定的精确度)是否相等,以决定是停止计算还是继续计算.举一反三举一反三2. 判断函数y= -x-1在区间1,1.5内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确到0.1).x3解析： 因为f(1)=-10,且函数y= -x-1的图象是连续的曲线,所以它在区间1,1.5内有零点.取区间1,1.5的中点 =1.25,由f(1.25)-0.30,得f(1.25)f(1.5)0,得f(1.25)f(1.375)0,所以零点在区间1.25,1.375内;同理可得，函数零点在区间1.3125,1.375内;函数零点在区间1.3

57、125,1.34375内.由于|1.3125-1.34375|0.1，所以函数y= -x-1在区间1,1.5内的一个近似零点为1.3125或1.34375.x1x3题型三题型三 根的存在性定理的应用根的存在性定理的应用【例3】若方程a -x-1=0在(0,1)内恰有一解,求a的取值范围.x2分析 方程在(0,1)内恰有一解,即函数f(x)=a -x-1在(0,1)内恰有一个零点.x2解 由题意,设f(x)=a -x-1,则f(x)在(0,1)内恰有一个零点,所以f(0)f(1)0,即-1(a-2)2.x2学后反思 (1)对于函数y=f(x),只要有f(a)f(b)0,则y=f(x)在区间(a,

58、b)内必有零点.(2)本题属于简单的方程根的分布问题.举一反三举一反三3. 若关于x的方程3 -5x+a=0的两根一个大于1,另一个小于1,则a的取值范围是 . x2解析： 设f(x)=3 -5x+a,则f(1)0,即-2+a0,a0,对任意bR恒成立,8所以 -4(4a)0,10即 -a0,所以0a0).(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;(2)试确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.x2xe2解析： (1)方法一:g(x)=等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是2e,+).因而只需m2e,则g(x)=m就有零点.方法二:作出g(x)=x+ (x0)的图象如

59、图.可知若使g(x)=m有零点,则只需m2e.方法三:解方程g(x)=m,得 -mx+ =0(x0).此方程有大于零的根,故等价于 ,故m2e.(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.作出g(x)=x+ (x0)的图象如图.eexex2222xe2x2e2040222emmememm220或xe2f(x)=- +2ex+m-1=- +m-1+ ,其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+ ,故当m-1+ 2e,即m- +2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.m的取值范围是(- +2e+1,+).x

60、2ex2e2e2e2e2e2易错警示易错警示【例】判断函数y= -2 +x零点的个数.x23x错解分析 函数的最高次数为n，函数的零点并不一定有n个.有的零点可能是二重零点，三重零点等等.正解 y=x ，这里有两个相等的零点1，而它们算一个零点，函数y= -2 +x有两个零点.3x2(1)xx2错解 从直观的角度判断函数最高次项为三次，所以有三个零点.考点演练考点演练10. 已知 是方程x+lg x=3的根, 是方程 的根,则 .123xx1x2x答案:3解析:整理两个方程为lg x=3-x, =3-x,则 为函数y=lg x与直线y=3-x的交点的横坐标, 为函数y= 与直线y=3-x的交点