函数《对数与对数运算》

1、2.2.1对数与对数运算 第一节第一节对数及其运算对数及其运算(1,2课时课时)学学习习内内容容1.对数的定义对数的定义.2.对数的基本性质对数的基本性质.3.对数恒等式对数恒等式.4.常用对数、自然对数的概念常用对数、自然对数的概念.5.对数的基本运算对数的基本运算思考问题一：思考问题一： 假设假设2000年我国国民经济生产总年我国国民经济生产总值为值为a亿元亿元,如果如果平均每年增长率平均每年增长率为为8.2%,求求5年后国民经济生产总值是年后国民经济生产总值是2000年的年的多少多少倍？倍？答：答：y=a(1+8.2%)5 =1.0825a 是是2000年的年的1.0825倍倍思考问题二

2、：思考问题二： 假设假设2000年我国国民经济生产总值年我国国民经济生产总值为为a亿元亿元,如果如果平均每年增长率平均每年增长率为为8.2%,问经过问经过多少多少年后国民生产总值是年后国民生产总值是2000年年的的2倍？倍？答：答： a(1+8.2%)x=2ax=? 1.082x=2 22 = 4 25 = 32 2x = 3X=思考问题思考问题3：1.1.对数的定义：对数的定义： 一般地，如果一般地，如果a(a0,a1)的的b次次幂等于幂等于N，即，即ab=N,那么数那么数b就叫做以就叫做以a a为底为底N N的对数的对数bNlog：a 记作记作底数真数真数 ba = Nalog N = b

3、底数底数幂幂真数真数指数指数对数对数指数和对数的关系相互转化指数和对数的关系相互转化表达形表达形式式abN对应的运算对应的运算ab=NbN=alogaN=b底数底数方根方根底数底数指数指数根指数根指数对数对数幂幂被开方数被开方数真数真数乘方，乘方，由由a，b求求N开方，开方，由由N，b求求a对数，对数，由由a，N求求b比较指数式、根式、对数式：比较指数式、根式、对数式：（1）开方运算、对数运算都是指数运算的逆运算。）开方运算、对数运算都是指数运算的逆运算。1.1.常用对数与自然对数的定义常用对数与自然对数的定义:(1)以以10为底的对数叫做常用对数为底的对数叫做常用对数. 为了方便为了方便,N

4、的常用对数的常用对数log10N 简记为简记为:lgN.(2)以以e为底的对数叫做自然对数为底的对数叫做自然对数. 为了方便为了方便,N的自然对数的自然对数logeN 简记为简记为:lnN. (e=2.71828)练习练习1 1. .把下列把下列指数式指数式写成写成对数式对数式： 208. 1).4(3127).3(642).2(6255).1(x3164 4625log5 664log2 3131log27 x2log08. 1 322(5)1010001(6)ee练习练习1 1. .把下列把下列指数式指数式写成写成对数式对数式： 练习练习2 2. .把下列把下列对数式对数式写成写成指数式指

5、数式： 303. 210ln).4(3001. 0lg).3(3125log).2(381log).1 (52 8123 12553 001. 0103 10e303. 2 课堂练习 课本P64，T1，T2 指数中的特殊结论：指数中的特殊结论：能不能延伸到对数中来呢？能不能延伸到对数中来呢？思考思考探究新知探究新知x01a 0(a 0,a1)a =1;a = a.；且恒恒成成立立结论结论1.ax 0恒成立（恒成立（a0,且且a1）负数和零没有对数负数和零没有对数2.a0 = 1（a0,且且a1）loga1 = 03.a1 = a（a0,且且a1）logaa = 14.令令ax = N（a0,且

6、且a1）x=logaN所以：所以：alog Na= N(a 0,a1).2.2.对数的基本性质对数的基本性质: :零和负数没有对数零和负数没有对数.loga1=0 logaa=1）NaabNa0, 1, 0,log( 中中在在(4)lognaanlog(5)aNaN练习练习3 3. .求下列各式的值求下列各式的值：.001. 0lg)5(;1000lg)4(;125log)3(;27log)2(; 4log)1(5322 3 3 3 3 课堂练习2 课本P64，T3，T4练习练习4 4. .计算下列各式的值计算下列各式的值: :1125log10lg27log4log55325).4(10).

7、3(3).2(2).1(alog Na= N(a 0,a1).例例2 求下列各式中求下列各式中x的值的值: . xeln4; x100lg3; 68log2;32xlog12x64练习练习5 5. .填空填空9lg212log1321003. 2,3log,2log. 13：anmnmaa计算则设10815各位休息以下以下是第二节请在三秒内回答：(10)lg10000 3(2)log 27 0.2(5)log0.008 2(1)log 8 13(8)log 12(12)lne 5(3)log 125 31(4)log331(9)log92(7)log2 (11)lg0.000112(6)log

8、 2 请在四秒内回答：1(22)lg1003(14)log3 0.2(17)log5 21(13)log413(20)log ( 1)1(24)lne25(15)log 53(16)log31(21)logaa( 2 1)(19)log( 21)(23)lg0.01 122(18)log2请在五秒内回答：(23)(34)log(23)13(26)log 27 0.2(29)log0.2 2(25)log8 ( 2 1)(32)log(32 2)2ln(36)ee5(27)log125 31(28)log31271(33)log9(12)(31)log(12)(35)lg2lg53log 4(3

9、0)3._)39(log._3log._9log_)48(log._4log._8log333222 NMMNaaaloglog)(log325213你能发现什么规律吗？你能发现什么规律吗？你能利用对数的定义证明上面的结论吗？你能利用对数的定义证明上面的结论吗？探索研究探索研究0,1,0,0,aaMN如果且那么：MnMNMNManaaaalogloglogloglog 你能利用对数的定义得到以下的结论吗？你能利用对数的定义得到以下的结论吗？ 上述三条性质称为上述三条性质称为对数的运算性质对数的运算性质，其价值在，其价值在于将积、商、幂的运算分别转化为和、差、积的运于将积、商、幂的运算分别转化为

10、和、差、积的运算，完成了将高一级运算向第一级运算的转化算，完成了将高一级运算向第一级运算的转化.0,1,0,0,aaMN如果且那么：由法则导出的常见结论由法则导出的常见结论1logaMlogaMlognaM 1logaMnlognpaMlogapMnlognmab logambn 注意：上述性质成立的条件是使得等式注意：上述性质成立的条件是使得等式两边分别有意义两边分别有意义. .log)2(;log) 1 (:log,log,log132zyxazxyaaaazyx表示下列各式用例.100lg) 2();24(log) 1 (:25572求下列各式的值例典例分析典例分析31log3log)2

11、(3log6log) 1 (55228log3136. 0log2110log3log2log2)3(55555例例3、计算下列各式、计算下列各式课堂练习 课本P68 T1，T2，T33log393233558loglog2log2)2(51lg5lg32lg4)1 (达标检测达标检测计算下列各式的值计算下列各式的值答案：答案：（1）4；（2）-1；432log log (log)0.xx已知，求拓展练习拓展练习答案：答案： 8总结提炼总结提炼 1.对数的运算性质成立的条件是使得等式对数的运算性质成立的条件是使得等式两边分别有意义两边分别有意义. 2.要学会用文字语言叙述对数的运算性质要学会用

12、文字语言叙述对数的运算性质积的对数等于积的对数等于对数的和对数的和积的对数等于积的对数等于商的对数等于商的对数等于对数的差对数的差真数的真数的n次幂的对数等于次幂的对数等于对数的对数的n倍倍 3.利用对数的运算性质，可以将积、商、幂利用对数的运算性质，可以将积、商、幂的运算分别转化为和、差、积的运算，完成了将的运算分别转化为和、差、积的运算，完成了将高一级运算向第一级运算的转化高一级运算向第一级运算的转化.反之亦然反之亦然.3.3.对数的基本性质对数的基本性质: :零和负数没有对数零和负数没有对数.loga1=0 logaa=1）NaabNa0, 1, 0,log( 中中在在(4)lognaa

13、nlog(5)aNaNNMMNaaaloglog)(log对数运算法则对数运算法则0,1,0,0,aaMN如果且那么：log ()loglogaaaMMNNlog ()lognaaMnM1log ()lognaaMMnloglognmaambbn以下式子正确吗？以下式子正确吗？nanaaaaaaaaaaMMNMMNNMNMNMNM)(loglog).4(loglog)(log).3(logloglog).2(loglog)(log).1 (各位休息以下以下是第三节请在三秒内回答：1(2)lg10013(10)log3 5(5)log5 21(9)log413(7)log ( 1)21(11)l

14、ne125(3)log531(4)log31(8)logaa( 2 1)(1)log( 21)(12)lg0.01 22(6)log2请在五秒内回答：(23)(22)log(23)13(19)log9 33(17)log 0.2log 52(13)log8 ( 2 1)(20)log(32 2)ln(24)ee5(15)log125 33(16)log31271(21)log9(12)(14)log(12)(23)lg2lg531 log 4(18)3请在五秒内回答：52(34)2log 253log 641(26)lglg25433(29)log 18log 22(25)log (8 32)

15、(32)lg3lg2lg3,?xx55(27)2log 10log 0.2532(28)log (log 8) 31(33)log27(31)lg2,lg5?a2(35)lg2,lg3,lg12?log 12?ab已知12(30)log1,?xx 想一想？想一想？数学用表里只有常用对数的值，其他没有，现在数学用表里只有常用对数的值，其他没有，现在241lg20.3010,lg30.4771,log 3?log?9那么对数换底公式对数换底公式 aNNmmalogloglog( a 0 ,a 1 ，m 0 ,m 1,N0) 如何证明呢?推论推论: : 1loglogabba设设 a, b 0a,

16、b 0且均不为且均不为1,1,则则 你能证明吗你能证明吗? ?ab：balog1log即例例1、计算：计算： 82 7lo g9lo g3 21)3log12 . 05)24219432log2log3log)3典例分析典例分析答案：答案：10(1)9(2)153(3)2.45log,518,9log.21818的值表示用已知例baab答案：答案：ab例例3 生物机体内碳生物机体内碳1414的半衰期为的半衰期为 57305730年年, ,湖南长沙马王堆汉墓湖南长沙马王堆汉墓 女尸出土时碳女尸出土时碳1414的残余量约的残余量约 占原始含量的占原始含量的76.7%,76.7%,试推算试推算 马王堆汉墓的年代马王堆汉墓的年代. . 2 2已知已知 用用a, b a, b 表示表示ba7log,3log3256log429158132512logloglog.1计算达标检测达标检测答案：答案： 1. -1232.1abaab对数的基本性质对数的基本性质: :零和负数没有对数零和负数没有对数.loga1=0 logaa=1）NaabNa0,