二阶常系数线性微分方程的解法ppt课件

1、二阶常系数线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第五节 第十章 11yCp 11yCq0证毕)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0 qyypy的两个解,也是该方程的解.证证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边, 得 11 yC22yC 22yC22yC1111qyypyC 2222qyypyC (叠加原理) )()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 一、二阶常系数齐次线性微分方程解的构造:)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0 qyypy的两个解,是该方程的通解.)()(2211xyCxyC

2、y则),(21为任意常数CC定理定理2.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )()(21xyxy且 不为常数，二阶常系数齐次线性微分方程:),(0为常数qpyqypy xrey 和它的导数只差常数因子,代入得0)(2xre qprr02qrpr称为微分方程的特征方程,1. 当042qp时, 有两个相异实根,21r ,r方程有两个线性无关的特解:,11xrey ,22xrey 因而方程的通解为xrxreCeCy2121( r 为待定常数 ),xrer函数为常数时因为,所以令的解为 那么微分其根称为特征根.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 当042qp时, 特征方程有两个相等实根21rr

3、那么微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 那么得,12xrexy 因而原方程的通解为xrexCCy1)(21,2p.11xrey )(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru机动 目录 上页 下页 返回 完毕 3. 当042qp时, 特征方程有一对共轭复根irir21,这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)

4、(21212yyyixexcosxexsin因而原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 小结小结:),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1.032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因而原方程的通解为xxeCeCy321例例2. 求解初值问题求解初值问

5、题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程特征方程0122rr有重根,121 rr因而原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得, 41C于是所求初值问题的解为tets)24(22C机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、线性非齐次方程解的构造二、线性非齐次方程解的构造 )(* xy设是二阶非齐次方程的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)(xfqyypy 那么是非齐次方程的通解 .证证: 将将)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*(yYp)*(yqpyy )(YqYpY )(0)(xfxf)*(yYq

6、复习 目录 上页 下页 返回 完毕 )(*)(xyxYy故是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如, 方程方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21对应齐次方程0 yy有通解因而该方程的通解为xxCxCysincos21证毕因而 也是通解 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的构造定理 , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )

7、(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx1、 型)()(xPexfmx 为实数 ,)(xPm其特解形如(1) 假设 不是特征方程的根, 取)(xQm. )(*xQexymxk为 m 次多项式 .为 m 次多项式机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ; 0k(2) 假设 是特征方程的单根 , (3) 假设 是特征方程的重根 , 取取; 1k. 2k例例3.1332 xyyy求方程的一个特解.解解: 此题此题而特征方程为,0322 rr不是特征方程的根 .设所求特解为,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比较系数, 得330 b13210bb31,110bb于是

8、所求特解为.31*xy0,0机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 此题此题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为xebxbxy210)(*比较系数, 得120 b0210bb1,2110bb因而特解为.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxeCeCy3221.)(2221xexx ,2机动 目录 上页 下页 返回 完毕 其特解形如xRxRexymmxksincos*)2()1(其中 和 为 次多项式， 不是特征方程的根，取ilnm,max机动

9、目录 上页 下页 返回 完毕 型xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(2、)()1(xRm)()2(xRmm而 的取值如下：ki 是特征方程的根，取; 0k. 1k例例5. xxyy2cos 求方程的一个特解 .解解: 此题此题 特征方程, 2, 0故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn比较系数 , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例6. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程为, 092r其根为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数, 得,5a,3b因而特解为)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因而设非齐次方程特解为机动 目