2012综合题二（四边形综合）

1、2012综合题（四边形综合）1、已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；当点C在以AB为直径的P上时，求抛物线的解析式；坐标平面内是否存在点，使得以点M和中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：对称轴是直线：，点B的坐标是(3,0) 2分说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分如图，连接PC，点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，AB4在RtPOC中，OPPAOA211，b 3分当时， 4分 5分存在6分理由：如图，连接AC、BC设

2、点M的坐标为当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CMAB，且CMAB由知，AB4，|x|4，x±4点M的坐标为9分说明：少求一个点的坐标扣1分当以AB为对角线时，点M在x轴下方过M作MNAB于N，则MNBAOC90°四边形AMBC是平行四边形，ACMB，且ACMBCAOMBNAOCBNMBNAO1，MNCOOB3，0N312点M的坐标为 12分说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形其坐标为2、如图，在直角坐标系中，点为函数在第

3、一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于（1）求证：点为线段的中点；（2）求证：四边形为平行四边形；平行四边形为菱形；（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由答案（1）法一：由题可知，（1分），即为的中点（2分）法二：，（1分）又轴，（2分）（2）由（1）可知，（3分），又，四边形为平行四边形（4分）设，轴，则，则过作轴，垂足为，在中，平行四边形为菱形（6分）（3）设直线为，由，得，代入得： 直线为（7分）设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：，解得得公共点为所以直线与抛物线只有一个公共点（8分）3.如图，在平

4、面直角坐标系中，抛物线=+经过A（0，4）、B（，0）、 C（，0）三点，且-=5（1）求、的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由（3分）解： （解析）解：（1）解法一：抛物线=+经过点A（0，4）， =4 1分又由题意可知，、是方程+=0的两个根，+=， =62分由已知得（-）=25又（-）=（+）4=24 24=25 解得=± 3分当=时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去

5、= 4分解法二：、是方程+c=0的两个根， 即方程23+12=0的两个根=，2分=5， 解得 =±3分 （以下与解法一相同） （2）四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 5分 又=4=（+）+ 6分 抛物线的顶点（，）即为所求的点D7分 （3）四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（6，0），根据菱形的性质，点P必是直线=-3与抛物线=-4的交点， 8分 当=3时，=×（3）×（3）4=4， 在抛物线上存在一点P（3，4），使得四边形BPOH为菱形 9分 四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为

6、正方形，点P的坐标只能是（3，3），但这一点不在抛物线上10分4、已知，在RtOAB中，OAB900，BOA300，AB2。若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将RtOAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。（1）求点C的坐标；（2）若抛物线（0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。注：抛物线（0）的顶点坐标为，对称轴公式为解: （1）过点C作

7、CH轴，垂足为H在RtOAB中，OAB900，BOA300，ABOB4，OA由折叠知，COB300，OCOACOH600，OH，CH3C点坐标为（，3）（2）抛物线（0）经过C（，3）、A（，0）两点 解得： 此抛物线的解析式为： （3）存在。因为的顶点坐标为（，3）即为点C MP轴，设垂足为N，PN，因为BOA300，所以ON P（，） 作PQCD，垂足为Q，MECD，垂足为E把代入得： M（，），E（，） 同理：Q（，），D（，1） 要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CEQD 即，解得：，（舍） P点坐标为（，） 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）5、如

8、图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点、和点.（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；（3）有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线 按的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按的路线运动，当、两点相遇时，它们都停止运动.设、同时从点出发秒时，的面积为S .请问、两点在运动过程中，是否存在，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；请求出S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；设是中函数S的最大值，那么 = .解：（1）令，则；令则二次函数的图象过点，可设二次函数的关系式为又该函数图象过点解之，得，所求二次函数

9、的关系式为 （2）=顶点M的坐标为 过点M作MF轴于F=四边形AOCM的面积为10 （3）不存在DEOC 若DEOC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时，在中，设点E的坐标为， ， >2，不满足不存在根据题意得D，E两点相遇的时间为（秒）现分情况讨论如下：）当时，；）当时，设点E的坐标为， ）当2 <<时，设点E的坐标为，类似可得设点D的坐标为，= 6、.如图，已知抛物线ya(x1)2(a0)经过点A(2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OMAD过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C，B在轴正半轴上，连结BC（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1

10、个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长解：（1）把A(2，0)代入ya(x1)2，得0a(21)2a1分该抛物线的解析式为y(x1)2即yx 2x3分（2）设点D的坐标为(xD，yD)，由于D为抛物线的顶点xD1，yD×1 2

11、15;1点D的坐标为(1，)如图，过点D作DNx轴于N，则DN，AN3，AD6DAO60°4分OMAD当ADOP时，四边形DAOP为平行四边形OP6t6（s）5分当DPOM时，四边形DAOP为直角梯形过点O作OEAD轴于E在RtAOE中，AO2，EAO60°，AE1（注：也可通过RtAOERtAND求出AE1）四边形DEOP为矩形，OPDE615t5（s）6分当PDOA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OPAD2AE624t4（s）综上所述，当t6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形7分（3）DAO60°，OMAD，COB60

12、76;又OCOB，COB是等边三角形，OBOCAD6BQ2t，OQ62t（0t3）过点P作PFx轴于F，则PFt8分S四边形BCPQ SCOB SPOQ×6××(62t)×t(t)29分当t（s）时，S四边形BCPQ的最小值为10分此时OQ62t62×3，OP，OF，QF3，PFPQ11分7、已知：抛物线yx 22xa（a 0）与y轴相交于点A，顶点为M直线yxa分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N（1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（ ， ），N（ ， ）；（2）如图，将NAC沿轴翻折，若点N的对应点

13、N 恰好落在抛物线上，AN 与轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线yx 22xa（a 0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由解：（1）M(1，a1)，N(a，a)4分（2）点N 是NAC沿轴翻折后点N的对应点点N 与点N关于y轴对称，N (a，a)将N (a，a)代入yx 22xa，得a(a)22×(a)a整理得4a 29a0，解得a10（不合题意，舍去），a26分N (3，)，点N到轴的距离为3a，抛物线yx 22xa与y轴相交于点A，A(0，)直线AN 的解析式为yx ，将

14、y0代入，得x D(，0)，点D到轴的距离为S四边形ADCN SACN SACN ××3××8分（3）如图，当点P在y轴的左侧时，若四边形ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC将点N向上平移2a个单位可得到点P，其坐标为(a，a)，代入抛物线的解析式，得：a(a)22×aa，整理得8a 23a0解得a10（不合题意，舍去），a2P(，)10分当点P在y轴的右侧时，若四边形APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分OAOC，OPON，点P与点N关于原点对称P(a，a)，代入yx 22xa，得a(a)22×(a)a，整理得8a 215

15、a0解得a10（不合题意，舍去），a2P(，)12分存在这样的点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为(，)或(，)8、.如图，抛物线yx 22x3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PFDE交抛物线于点F，设点P的横坐标为mxyDCAOB用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？设BCF的面积为S，求S与m的函数关系式解：（1）A（1，0），B（3，0），C（0，3）

16、2分抛物线的对称轴是：x13分（2）设直线BC的解析式为：ykxb将B（3，0），C（0，3）分别代入得：xyDCAOBFMPE 解得直线BC的解析式为yx3当x1时，y132，E（1，2）当xm时，ym3，P（m，m3）4分将x1代入yx 22x3，得y4，D（1，4）将xm代入yx 22x3，得ym 22m3F（m，m 22m3）5分线段DE422，线段PFm 22m3(m3)m 23m6分PFDE，当PFDE时，四边形PEDF为平行四边形由m 23m2，解得：m12，m21（不合题意，舍去）当m2时，四边形PEDF为平行四边形7分设直线PF与x轴交于点M由B（3，0），O（0，0），可得

17、：OBOMMB3则SSBPF SCPF8分PF·BMPF·OMPF·OB(m 23m)×3m 2m（0m3）即S与m的函数关系式为：Sm 2m（0m3）9分9、如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD2，AB3（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0t3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所

18、示）当t时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由解：（1）因所求抛物线的顶点M的坐标为（2，4）可设其对应的函数关系式为ya(x 2)241分又抛物线经过坐标原点O（0，0），a(02)2402分解得a13分所求函数关系式为y(x 2)24，即yx 24x4分（2）点P不在直线ME上，理由如下：5分根据抛物线的对称性可知E点的坐标为（4，0）设直线ME的解析式为ykxb，将M（2，4），E（4，0）代入，得 解得直线ME的解析式为y2x86分当t时，OAAP，P（，）7分点P的坐标不满

19、足直线ME的解析式y2x8当t时，点P不在直线ME上8分S存在最大值，理由如下：9分点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，OAAPtP（t，t），N（t，t 24t），ANt 24t（03）PNANAPt 24ttt 23tt(3t)010分（）当PN0，即t0或t3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为ADSDC·AD×3×2311分（）当PN0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形PNCD，ADCDS(CDPN)·AD(3t 23t)×2t 23t3(t)2（0t3）当t时，S最大12分综上所述，当t时，以点P

20、，N，C，D为顶点的多边形面积S有最大值，最大值为13分说明：（）中的关系式，当t0和t3时也适合10、.已知：t1，t2是方程t 22t240，的两个实数根，且t1t2，抛物线yx 2bxc的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）（1）求这个抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求OPAQ的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在（2）的条件下，当OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使OPAQ为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由解：（1）由t 22t240，解得t16，t

21、241分t1t2，A（6，0），B（0，4）2分抛物线yx 2bxc的图象经过点A，B两点 解得这个抛物线的解析式为yx 2x44分（2）点P（x，y）在抛物线上，且位于第三象限，y0，即y0又S2SAPO2××| OA|·| y | OA|·| y |6| y |S6y6分6(x 2x4)4(x 27x6)4(x)2257分令y0，则x 2x40，解得x16，x21抛物线与x轴的交点坐标为（6，0）、（1，0）x的取值范围为6x18分（3）当S24时，得4(x)22524，解得：x14，x239分代入抛物线的解析式得：y1y24点P的坐标为（3，4）、

22、（4，4）当点P为（3，4）时，满足POPA，此时，OPAQ是菱形当点P为（4，4）时，不满足POPA，此时，OPAQ不是菱形10分要使OPAQ为正方形，那么，一定有OAPQ，OAPQ，此时，点的坐标为（3，3），而（3，3）不在抛物线yx 2x4上，故不存在这样的点P，使OPAQ为正方形12分11、.如图，RtABC的顶点坐标分别为A（0，），B（，），C（1，0），ABC90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，），以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B（1）求该抛物线的解析式；（2）将ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B，求证：四边形AOCB是矩形，并判断点B是否在（1）

23、的抛物线上；（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由解：（1）抛物线的顶点为D（0，）可设抛物线的解析式为yax 21分B（，）在抛物线上a()2，a3分抛物线的解析式为yx 25分（2）B（，），C（1，0）BC又BCBC，OA，BCOA6分AC2AB1又ABAB，OC1，ABOC7分四边形AOCB是矩形8分BC，OC1点B 的坐标为（1，）9分将x1代入yx 2得y点B 在抛物线上10分（3）存在11分理由如下：设直线AB的解析式为ykxb，则 解得直线AB的解析式为y12分P、F分别在直线AB和抛物线上，且PFAD设P（m，），F（m，m