大学物理 动能定理 功能原理

1、 第 4 章 动能定理 功能原理 4. 动能定理动能定理 功能原理功能原理 4.1 动能定理动能定理 4.2 保守力和非保守力保守力和非保守力 势能势能 4.3 功能原理和机械能守恒功能原理和机械能守恒 4.4 三种宇宙速度三种宇宙速度 4.5 能量守恒定律能量守恒定律 研究力在空间的积累效应。研究力在空间的积累效应。 注意注意: 1. 提高对提高对 “功、动能、动能定理、势能功、动能、动能定理、势能、 功能原理、机械能守恒定律功能原理、机械能守恒定律”的理解。的理解。 2. 搞清规律的内容、来源、搞清规律的内容、来源、 对象、成立条件。对象、成立条件。3. 搞清它们与参考系的关系。搞清它们与

2、参考系的关系。 功的计算是否依赖参考系？功的计算是否依赖参考系？例如：例如： 如何理解重力势能属于如何理解重力势能属于“物体与地球物体与地球”系统？系统？ 某一惯性系中机械能守恒，是否在某一惯性系中机械能守恒，是否在 其它惯性系也守恒？其它惯性系也守恒？4.1 动能定理动能定理 功功: 力和它所作用的质元（质点）的位移的点积。力和它所作用的质元（质点）的位移的点积。称为称为“力沿路径力沿路径 L 的线积分的线积分”ddbbabaaAAFr(L)(1)功是过程量；功是过程量；(2)功是标量（有正负）；功是标量（有正负）； ddAFr对微小过程，可当成恒力、直线运动对微小过程，可当成恒力、直线运动

3、4.1.1 功和功率功和功率ddddAFrPF vtt由动力机械驱动时，马达的输出功率是一定的，速度由动力机械驱动时，马达的输出功率是一定的，速度小、力大，速度大、力小。小、力大，速度大、力小。-“牛马关系牛马关系”（瞬时）功率（瞬时）功率: 若在若在 t t + dt 内，力内，力 的元功为的元功为 dA，则则 t 时刻的功率时刻的功率F直角坐标系：直角坐标系：ddydzbbbaaaxyzxyzxyzAF xFF合力的功：合力的功：() ddbbiiiaaiiiAFrFrAddbbabaaAAFrdbpaAmgrd()bayabymgymg yy().(dd)bamgjxiyj例例1. 重力

4、的功重力的功 地面附近质量为地面附近质量为 m 的物体从的物体从 a 到到 b，求重力的功。求重力的功。蚂蚁在作功蚂蚁在作功例例2. 一人从一人从10m深的井中提水，起始深的井中提水，起始时桶和水共重时桶和水共重10kg，由于水桶漏水，由于水桶漏水，每升高每升高1m要漏去要漏去0.2kg的水。求将水的水。求将水桶匀速地从井中提到井口，人所作的桶匀速地从井中提到井口，人所作的功。功。附附1. 一质量为一质量为2kg的物体，在变力的物体，在变力的作用下作直线运动，如果物体从静止开始运动，的作用下作直线运动，如果物体从静止开始运动，求前两秒此力所作的功。求前两秒此力所作的功。6Fti4.1.2 动能

5、定理动能定理 一一. . 质点的动能定理质点的动能定理2211ddddtvmarmv tt“合力对质点作的功等于质点动能的增量合力对质点作的功等于质点动能的增量”122122212121KKdEEvmvmvvmvv 221211ddtAFrFr设合力为设合力为 ，由牛，由牛II，F 一个过程量一个过程量=始末两个状态量之差。始末两个状态量之差。动能定理只适用于惯性系。动能定理只适用于惯性系。 说明说明:二二 . . 质点系的动能定理：质点系的动能定理： 对第对第 i个质点：合外力的功个质点：合外力的功 合内力的功合内力的功 对质点系：对质点系：K2K1iiiiiiiiAAEE外内iA外iA内K

6、2K1iiiiAAEE外内 简记为简记为 A外外 + A内内 = Ek2 - Ek1 所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的增量。之和等于质点系总动能的增量。 -质点系的动能定理质点系的动能定理注意：注意：1. 内力是成对出现的，但内力功之和不一定为零。内力是成对出现的，但内力功之和不一定为零。 2. 内力不能改变系统的总动量，但能改变系统的总内力不能改变系统的总动量，但能改变系统的总 动能。动能。三、三、一对力的功一对力的功1221rrr 设一对力分别作用在两设一对力分别作用在两个物体上个物体上12,ff 一对力的元功一对力

7、的元功1122221ddd(dd )Afrfrfrr对212rfd )d(122rrf 初位形（初位形（A）: m1-A1，m2-A2末位形（末位形（B）: m1-B1，m2-B2(B)(B)AB221112(A )(A )d(d)Afrfr对或 .一对力的功等于一对力的功等于其中一个质点受的力其中一个质点受的力沿着它沿着它相对相对于另一质点移动的路径于另一质点移动的路径所作的功。所作的功。说明说明:.由于一对力的功只与由于一对力的功只与“相对路径相对路径”有关，所以有关，所以与与参考系的选取无关参考系的选取无关。一对力的功一对力的功, ,可认为一个质点静止可认为一个质点静止, ,例如，重力做

8、功例如，重力做功21d0()r 相对位置不变 ，AB221d,BAAfr对3.212d0rfA对或 时，无论大物体怎么运动，这一对无论大物体怎么运动，这一对力的功总是零，力的功总是零，没有相对运动没有相对运动。一对静摩擦力的功恒为零！一对静摩擦力的功恒为零！例、一对静摩擦力的功是多大？例、一对静摩擦力的功是多大？ 例、小物体下滑大物体后退，一对正压力的例、小物体下滑大物体后退，一对正压力的 功是多大？功是多大？12,00NNNvANvA不垂直于不垂直于，一对正压力的功恒为零！一对正压力的功恒为零！一对滑动摩擦力之功恒小于零！一对滑动摩擦力之功恒小于零！ 在地面系看：在地面系看：摩擦力摩擦力 f

9、 作负功，作负功，A = -f s 物体动能减少，动能转化为热能，温度升高。物体动能减少，动能转化为热能，温度升高。 在物体参考系看：在物体参考系看：摩擦力摩擦力 f 不作功不作功，A=0. f 到底作不作功到底作不作功？若若 f 不作功，热能从何而来不作功，热能从何而来? 讨论讨论一个物体在地面上滑行，一个物体在地面上滑行，受摩擦受摩擦 f 作用，经过距离作用，经过距离 s 停了下来。停了下来。vfvf（矛盾？）（矛盾？） 这个问题从这个问题从一对摩擦力一对摩擦力之功来分析就无矛盾之功来分析就无矛盾: 地面系：地面系：Af sfs 对物体系：物体系：Afsf s 对sffs 两者相等两者相等

10、,而且都是负值。而且都是负值。(动能转化为热能！动能转化为热能！)AA对对vff sABs 例例3. 在光滑水平面上停放一个砂箱，长度为在光滑水平面上停放一个砂箱，长度为 l， 质量为质量为M。一质量为。一质量为 m的子弹以水平初速的子弹以水平初速 v0 穿透砂箱，射出时速度减为穿透砂箱，射出时速度减为 v，方向仍为水平。，方向仍为水平。 试求砂箱对子弹的平均阻力。试求砂箱对子弹的平均阻力。【解】【解】由题给的条件，由题给的条件，根据动量的规律，根据动量的规律，可先求出子弹射出时砂箱的速度。可先求出子弹射出时砂箱的速度。再根据能量的规律，再根据能量的规律，由计算一对力的功由计算一对力的功的办法

11、，求出子弹受的平均阻力。的办法，求出子弹受的平均阻力。（直接用冲量定理？）（直接用冲量定理？）mMlvv0 x系统：砂箱和子弹系统：砂箱和子弹水平外力为零，水平外力为零，水平动量守恒，水平动量守恒，设子弹射出时砂箱的速度为设子弹射出时砂箱的速度为V，如图，如图，0mvmvMV )vv(MmV 0（0）mMlvv0 x设设V则有则有由动能定理：由动能定理： 现在外力的功为零；现在外力的功为零； 内力的功内力的功 就是一对阻力的功，就是一对阻力的功，A外外 + A内内 = Ek2 - Ek1我们以砂箱为参照系来计算这一对阻力的功：我们以砂箱为参照系来计算这一对阻力的功：设子弹受的平均阻力为设子弹受

12、的平均阻力为 （即看作常数）（即看作常数） ,而子弹相对砂箱的位移即为而子弹相对砂箱的位移即为l ，rf2022212121mvmvMVlfr 所以，所以，将将V代入代入， 可得可得 20222021211vvMmvvmlfr)(0vvMmV 讨论：讨论：1. 量纲对量纲对0M2. 特例对（当特例对（当 时）时）2022212121mvmvMVlfr 4.2 保守力与非保守力保守力与非保守力 势能势能 一对万有引力的功：一对万有引力的功：rrGMmf2 以以 M为参考系的原点为参考系的原点,计算起来就非常方便，计算起来就非常方便，只要算一个力的功只要算一个力的功 即可。即可。rrrdd 212

13、1dAfr对rrrGMmd 221fr rrdMm211r2r一对万有引力的一对万有引力的功功“与质点的始末位置有关与质点的始末位置有关,与路径无关，这种性质的力称为保守力与路径无关，这种性质的力称为保守力”。21212d()()rrGMmrrGMmGMmrr 21221 dGMmArrr对fr rrdMm21rd1r2r(1)(2)xkfrd 2121dAfr注意注意功的数值依赖于参考系的选择。功的数值依赖于参考系的选择。 例如，上题中，在桌面参照系例如，上题中，在桌面参照系 f 作负功作负功; 在小球参照系在小球参照系弹性力对小球弹性力对小球 f 并不作功！并不作功！22212121kxk

14、x 2121xxxxki xikxdd例例4.一水平桌面上放置的一水平桌面上放置的弹簧振子弹簧振子,小球从小球从A点运动点运动 到到B点的过程中点的过程中,求弹性力对小球作的功。求弹性力对小球作的功。(0) Lrf0d 211122LLrfrfrfddd 2212110LLrfrfdd保守力的另一定义（重要性质）：一质点相对保守力的另一定义（重要性质）：一质点相对于另一质点沿闭合路径运动一周时，它们之间于另一质点沿闭合路径运动一周时，它们之间的保守力做的功必然是零。的保守力做的功必然是零。mM1L12frd2L若若 是保守力，必有是保守力，必有f 常见的保守力常见的保守力: 万有引力万有引力

15、( 或有心力）或有心力）rrff)( 弹力弹力 （或位置的单值函数）（或位置的单值函数）xkf 重力重力 （或恒力）（或恒力）gmf 常见的非保守力（耗散力）：常见的非保守力（耗散力）： 摩擦力摩擦力 爆炸力爆炸力4.2.2 势能和势能曲线势能和势能曲线 一对保守力的功只与系统的始末相对位形一对保守力的功只与系统的始末相对位形有关有关, 说明系统存在一种只与相对位形有关的能说明系统存在一种只与相对位形有关的能量。量。 一对保守力的功（过程量）都可以写成两一对保守力的功（过程量）都可以写成两个状态量之差个状态量之差,这两个状态量称为系统的势能这两个状态量称为系统的势能, 表示表示pE一对保守力的

16、功等于系统势能的减量。一对保守力的功等于系统势能的减量。 (或势能增量的负值或势能增量的负值) 12p1p2p2p1pAEEEEE 若选定势能零点为若选定势能零点为 =0 2PE )()(Pd.零零点点保保11rfE则则 对万有引力势能对万有引力势能:通常选两质点相距通常选两质点相距 无限远时的势能为零无限远时的势能为零, 重力势能：重力势能：实质上是地球表面附近物体的实质上是地球表面附近物体的 万有引力势能的一个简化。万有引力势能的一个简化。 （选地球表面为势能零点）（选地球表面为势能零点）rGmMRGmM 地地万万RrrrGmMEdp2Rrh rrGmMrrGmMEdp2万万则则令令 若若

17、 h r0 ： 斜率斜率 0 ， fr 0,趋向势能小处，是引力。趋向势能小处，是引力。r r0 ： 斜率斜率 0, 趋向势能小处，是斥力。趋向势能小处，是斥力。是平衡位置，不受力。是平衡位置，不受力。rEp r0Or斜率斜率 = 0斜率斜率 0斜率斜率 v）l gv 2cos12 )cos1(212 lmgvm4-5：上摆过程上摆过程所以能越所以能越摆越高。摆越高。4 m O l 13 l 5l2v v 右端变大了右端变大了 ：分母变小了，：分母变小了， 分子变大了，分子变大了，左端也变大了左端也变大了 ： 变小了，变小了， 变大了。变大了。 cos 4.4 4.4 三种宇宙速度（自学）三种

18、宇宙速度（自学）这是在美国这是在美国 加州的加州的一组排成阵列的镜子，一组排成阵列的镜子，它们将太阳光会聚到它们将太阳光会聚到塔顶处的锅炉上。塔顶处的锅炉上。 太阳能太阳能热能热能大量事实表明大量事实表明: 一个孤立系统无论经历何种变化一个孤立系统无论经历何种变化,系统各种形式能量的总和是不变的。系统各种形式能量的总和是不变的。 这称为这称为普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律。4.5 4.5 能量守恒定律能量守恒定律第第10题题. 水平面上有一质量为水平面上有一质量为 M 、倾角为、倾角为 的的 斜面体，一质量为斜面体，一质量为 m 的物体从高为的物体从高为 h 处由静止下滑（忽略所有摩擦）

19、。处由静止下滑（忽略所有摩擦）。求：物体滑到底面的过程中，斜面体后退的求：物体滑到底面的过程中，斜面体后退的 距离及对斜面体作的功。距离及对斜面体作的功。【解】【解】“动量守恒动量守恒+ +机械能守恒机械能守恒 + +相对运动相对运动”方法一方法一. .利用利用ShxV mM对对M：2112AMV （）m M 之间的一对正压力功之间的一对正压力功 之和为零之和为零,又无摩擦，又无摩擦，只有保守力作功，所以机械能守恒只有保守力作功，所以机械能守恒利用相对运动利用相对运动 速度关系：速度关系：Vvv ）（4 tg)v(Vvxyhx MmvV v V yxvyv对对 “m+M”系统：系统： Fx=0

20、 所以所以Px守恒守恒)2(0 xmvMV)()vv(32121222mghMVmyx 对对 “ “m+M+ +地球地球”系统：系统：由式（由式（1）( 4 ) 联立，可得联立，可得0 xmvMV000 tvmtVMxTTdd设下滑时间为设下滑时间为T，下滑是变速的，下滑是变速的，000 SSsmSMdd所以所以22cos(1)(sin)MghAMMmmSShxvV 位移关系：位移关系：)6(tg SSh)5(0 mSMS222cos()(sin)Mm ghAMm Mm功功 sin)(cosmMmhS 后退距离后退距离解（解（5 5）、）、 （6 6 ）联立，可得）联立，可得S tg)1(mM

21、hS 结果结果方法二方法二.“.“动量守恒动量守恒+ +牛顿定律牛顿定律+ +相对运动相对运动”SShxvV Mm)2(0 SmMS)3(tg SSh)1(0 xmvMV同前可得同前可得 tg)1(mMhS （同前）（同前）得得应用牛顿定律可解得应用牛顿定律可解得楔块的加速度楔块的加速度（书书P78例例2. 3）：）：.constsincossin2 gmMaM 所以楔块受的水平力是恒力：所以楔块受的水平力是恒力：MxMaF hx MmaMa a Ma2sincossin(1)tgxMghAF SMMmm)sin)(1(cos22 mMmMMgh（同前）（同前）第第11题题. 设地球可看作半径设地球可看作半径 R =6400km 的球体。的球体。 一颗人造地球卫星在地面上空一颗人造地球卫星在地面上空 h=800 km 的的 圆形轨道上以圆形轨道上以 v1=7.5 km/s 的速度绕地球的速度绕地球 运动。今在卫星外侧，点燃一个小火箭运动。今在卫星外侧，点燃一个小火箭,给给 卫星附加一个指向地心的分速度卫星附加一个指向地心的分速度 v2=0.2 km/s.求：此后卫星的椭圆轨道求：此后卫星的椭圆轨道 的近地点和远地点离的近地点和远地点离 地面多少公里？地面多少公里？R地地o1v2v使卫星