高等数学-2-7不定积分ppt课件

1、2-7 不定积分不定积分 我们知道，在微分学中，求导数的问题，就是已 知一个函数，求出这个函数的导数，那末与之相反的 问 题是：知一个函数的导数，求出这个函数.例如： ,cos)(xxF?F(x) 求sinx)F(x)( ?G(x) ,x11(x)G2求arctanx)G(x)(?F(x) f(x),(x)F ,求已知一般地 知定义定义假设函数假设函数 F x的导函数的导函数 ,Fxf xxa b ,F xf xa b则称是在上的一个原函数上的一个原函数. ,F xfxa b若是在上的一个原函数上的一个原函数,那么对恣意常那么对恣意常数数C, F xCf x也是的一个原函数的一个原函数. f

2、x反之: 的恣意一个原函数都可表成的恣意一个原函数都可表成 .F xC可见原函数有无穷多个可见原函数有无穷多个.现实上现实上, :),()()上的一个原函数在是（若baxfxG),()xfxG（)()() )()(xFxGxFxG（, 0)()(xfxf那么,)()CxFxG（.)()CxFxG（ 知在区间知在区间(a,b)上上F(x) 是是f(x)的一个原函数，那么的一个原函数，那么f(x)一切原函数刚好组成函数族一切原函数刚好组成函数族F(x)+C(C为恣意常数为恣意常数)的形的形式式.那么将那么将F(x)+C称为称为f(x)的不定积分的不定积分.函数函数f(x) 的全体原函数构成的函数族

3、称为的全体原函数构成的函数族称为f(x)的的记作记作定义定义不定积分不定积分.dxxf)( 积分号;)(xf 被积函数;xxfd)( 被积表达式.x 积分变量;假设, )()(xfxF那么CxFxxf)(d)( C 为恣意常数 )C 称为积分常数不可丢 !例如,xexdCexxx d2Cx 331xxdsinCx cosxdd) 1 (xxfd)()(xf从不定积分定义可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf(2)( )Cf x dx ( ) .C f x dx dxxfxfn)()(1 dxx

4、fdxxfn)()(1容易验证容易验证: C是常数，是常数，)0 C 例如例如xx11.11Cxdxx) 1( 根本积分表根本积分表 求不定积分，要熟记一些初等函数的不定积分，积求不定积分，要熟记一些初等函数的不定积分，积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式出积分公式.(2)cosxdx ;sinCx sin xdx ;cosCx 1(1)(1);1aaxx dxCaa kdxkxC特别地特别地211dxxarctan xC21(3)1dxxarcsin xC2sindxx xdx2csc;cotCx arccos.xC或

5、-arccot.xC或 xe dx .xec(4)xa dx 0,1lnxaCaaa 5ln.dxxcx 2cosdxx xdx2sec;tanCx xe dx .xec(4)xa dx 0,1lnxaCaaa 以上公式是求不定积分以上公式是求不定积分的根底，称为根本积分的根底，称为根本积分表，必需熟练掌握。表，必需熟练掌握。 5ln.dxxcx 例例1 求求.d3xxx解解 原式原式 =xxd34134Cx313例例2 求求.dcossin22xxx解解 原式原式=xxdsin21Cx cos21134xC例例 3 求求.dtan2xx解解 原式原式 =xxd) 1(sec2xxxddsec

6、2Cxx tan补例补例 求求.d)1 (122xxxxx解解 原式原式 =xxxxxd)1 ()1 (22xxd112xxd1xarctanCx ln例例 4,22gdtsd满足下列方程设)(tss .)(,)0(,)0(0000的表达式为已知常数，求及为常数，且其中tssvhvshsg解解os)0(0sh )(tss 设时辰t位置函数为, )(tss )(ddtvts(运动速度)tvtsdddd22g(加速度) 先由此求)(tv 再由此求)(ts那那么么先求).( )(dtdstv,ddgtv由知ttvd)()(g1Ct g,)0(0vs由,01vC 得0)(vttv g再求. )(tst

7、vttsd)()(0g20221Ctvtg,)0(0hs由,02hC 得于是有.)(00221htvttsg由)(ddtvts,0vt g知故os)0(0sh )(tss 解解 根据题意根据题意, 有有)0()(ddktmktm00mmt(初始条件)成中,铀含量 m(t) 随时间 t 的变化规律. 例例 5 含量 m 成正比,0m求在衰变过知 t = 0 时铀的含量为知放射性元素铀的衰变率与当时未衰变原子的).(ln)(tmty令于是，于是，dtdy)()(tmtm. kdtkty)()(,1Ckt )()(tyetm1CktektCee100mmt将初始值 代入上式，得.)(0ktemtm,

8、ktCe内容小结内容小结1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 根本积分表2. 直接积分法:利用恒等变形, 及 根本积分公式进展积分 .常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质积分性质3. 假假设设)(xf是xe的原函数 , 那么xxxfd)(ln提示提示: 知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln104. 假假设设)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为,sin x那么)(xf的一个原函数是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx5. 求以下积分求以下积分:.cossind)2(;)1 (d