角平分线的性质与判定教学设计北京版〔优秀篇〕

1、角平分线的性质与判定教案授课教师：北京工业大学附属中学尚爱军教材：北京市实验教材几何第二册 砧.6 .2（两课时）【教学目标】1 .使学生掌握角平分线的性质定理和判定定理，并会用两个定理解决有关简 单问题.2 .通过引导学生参与实验、观察、比较、猜想、论证的过程，使学生体验定 理的发现及证明的过程，提高思维能力.3 .通过师生互动以及交互性多媒体教学课件的使用， 培养学生学习的自觉性, 丰富想象力，激发学生探究新知的热情.【教学重点】角平分线的性质定理和判定定理的探索与应用.【教学难点】理解运用在角平分线上任意选取一点的方法证明角平分线性质 定理以及两个定理的区别与联系.【教学方法】启发探究式

2、.【教学手段】 多媒体（投影仪，TI92图形计算器，计算机）【教学过程】一、复习引入：1 .角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线 叫这个角的平分线.表达方式：如图1, = OC是/AOB的平分线，/1 = /2 (或 / AOB=2/1=2/2 或 / 1 = /2=1/AOB).22 .角平分线的画法：TI图形计算器.使这个图形中出现角平分线,你能用什么方法作出/ AOB的平分线OC?（可由学生任选方法画出 OC） .可以用尺规作图，可以用折纸的方法，可以用3 .创设探究角平分线性质的情境：用两个全等的30o的直角三角板拼出一个图形,并且平分出的两个角都是30o.学生可

3、能拼出的图形是:（拼法1）（拼法2）选择第三种拼法（如图2）提出问题：（1） P是/ DOE平分线上一点，PD、PE与/DOE 的边有怎样的位置关系？（2）点P到/DOE两边的距离可以用哪些线段来表示?（3） PD、PE有怎样的数量关系？二、探究新知：（一）探索并证明角平分线的性质定理：1 .实验与猜想：引导学生任意画出一个角的平分线，并在角平分线上任取一点，作出到角两 边的距离.通过度量、观察并比较，猜想它们有怎样的数量关系？用TI图形计算器实验的结果：（教师用计算机演示：点P在角平分线上运动及改变/ AOB大小，引导学生观察PD与PE的数量关系）.引导学生用语言阐述自己的观点，得出猜想：命

4、题1在角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.2.证明与应用：（学生写在笔记本上）已知：如图3, OC是/AOB的平分线，P为OC上任意一点PE±OB 于 E.求证：PD=PE.,PDXOA 于 D,又丁OC是/ AOB的平分线， /1 = /2.PDXOA 于 D, PEXOB 于 E, /ODP=/OEP=90qOP=OP, ODPAOEP(AAS).PD=PE.由此得到：定理1在角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. （角平分线的性质定理）表达方式：如图4, ; P是/ AOB的平分线OC上一点， PDXOA 于 D, PEXOB 于 E, PD=PE.图4练习（1）判断

5、正误，并说明理由:如图5,VP是/AOB的平分线OC上任意一点，PD=PE.如图6,PDLOA 于 D, PEXOBT E, PD=PE.图6(2)填空：如图 7, ZXABC 中，/ C = 90°,BD平分/ ABC , CD = 3cm,则点D到AB的距离为cm.定理1说明：在角平分线上的点”都具有到角的两边距离相等”的性质，即角平分线上没有不具备此性质的点.那么，反过来会怎么样呢？（二）探索并证明角平分线的判定定理：提出问题，创设情境：一个新的开发区，有两条新修的交叉公路，中间离交叉口1000米的地方要建应建在何处才能满足要求呢？（如图 8）1 .实验与猜想：（1）引导学生把

6、实际问题抽象为数学问题： 就是在/ AOB内确定一点P;（2）分析超市的位置应满足的两个条件： OP=1000 米；到两条公路OA、OB的距离相等即：PD=PE.（如图9（3）用现有的工具进行实验：实验结果：公路超市图8图9一个超市，使这个超市到两条公路的距离相等，假如你是设计师，你认为超市第一个图满足条件1,点p在以。为圆心，以1000米为半径的一段弧上.第二个图同时满足两个条件，到/ AOB两边的距离相等，点P唯一确定.第三个图研究点P与/AOB的关系，发现点P在/AOB的平分线上.引导学生：到角的两边距离相等的点是否都在这个角的平分线上？学生实验：在角的内部任选一点 P,向角的两边作垂线

7、段PD、PE,当PD=PE时，测量/ DOP和/ EOP有怎样的关系？ 利用TI图形计算器的同学拖动点 P,组内同学观察，发现只要 PD=PE,就有/ DOP=/EOP.改变/ AOB的大小，仍然 有若PD=PE,贝IJ/DOP=/EOP,即点P在/AOB的平分线上.（教师用计算机演示上述实验）.从而得到猜想：命题2到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.PDXOA 于 D, PE±OB 于 E,PD=PE.E2 .证明与应用：（学生自己完成） 已知：如图10,求证：点P在/AOB的平分线上.证明：作射线OP.图10PDLOA 于 D, PELOB 于 E, /ODP=/OE

8、P=90q 又= OP=OP, PD= PE, .ODPWzXOEP（HL）./DOP=/POE, 点P在/AOB的平分线上. 由此得到：定理2到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.图12（角平分线的判定定理）表达方式：如图 11, PDLOA 于 D, PELOB 于 E, PD=PE, 点P在/ AOB的平分线上.练习如图 12,已知/B=/C=90o, M 是 BC 中点，MN XAD , 若/1 = /2,则/3/4.师生共同小结两个定理的区别与联系：两个定理互为逆定理.它们的应用不同，定理1用于证明两条线段相等，定 理2用于证明两个角相等.定理2说明：具有 到角的两边距离相

9、等”性质的点，无一例外都在 诧的平分线上”（不会漏 掉一个具有这样性质的点）.（三）对角平分线的再认识：问题：通过定理1、2的学习你对角平分线有进一步的认识吗？还可以怎样描 述角平分线？它是具有怎样性质的点所组成的集合呢？引导学生归纳得出：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合.（教师用计算机演示）三、综合应用：图13例题 已知：如图13, /1 = /2, CDXAB于D, BELAC 于 E, BE、CD 交于点 O.求证：OC=OB.（课本P82例题）证明：（学生写在笔记本上）v CD LAB, BEX AC, ./CEO=/BDO=90o （垂直定义）.又: /1 = /2, . O

10、E=OD （角平分线上的点到角两边的距离相等）在AEOC和ADOB中，/3=/4 （对顶角相等），OE=OD （已证）,/CEO=/BDO (已证)， . AEOCADOB (ASA), . OC=OB (全等三角形对应边相等)进一步提出：(1)不改变已知条件：图中还有哪些线段相等？若连结ED,则AO与ED有怎样的位置关系？D(2)部分条件与结论互换：/若/ 1 = / 2与OC=OB互换，怎么证明？TBf、F练习/已知：如图14,在4ABC中，外角/ CBD和/ BCEaC-E的平分线BF, CF相交于点F.求证：点F在/DAE的平分线上.图14引中：三角形的三条角平分线一定交于一点吗？若交

11、于一点，请证明；若不 交于一点，请说明理由.思考题1:如图15,在河中有座水文观测台O,它位于到平行的河两岸以及河上大桥 AB 的距离相等的地点.水文数据记录员站在台上，发现桥上有辆漂亮的彩车，从桥 这头驶过桥那头，问记录员的视线转过多大角度？思考题2:在直角三角形中画出一个锐角的平分线，除前面的方法外，你还有其他方法吗？(探索画角平分线的新方法)四、师生共同总结:1 .通过本节课的实验、观察、比较、猜想、论证，得出了角平分线的性质定 理和判定定理.并学会了运用在角平分线上任意选取一点的方法证明角平分线性 质定理.2 .我们知道了能够运用角平分线的性质定理和判定定理证明两条线段相等或 两个角相

12、等.3 .通过把实际问题转化为数学问题，可以培养我们应用数学的意识.五、作业：1 .看书：P7983.2 .做课本P83, 1、2题.3 .选做：三个不在同一条直线上的村庄 A、B、C,每两个村庄之间都有笔直 的道路相通.三个村庄计划共同投资打一眼机井，希望机井的位置到三条道路的距离相等.如何确定机井的位置？这样的位置是唯一的吗?【教学设计说明】本节课研究的是角平分线的性质定理和判定定理.在新的教学理念的指导下， 我采用 瑁导一一发现”的教学模式，让学生自主探索、发现定理、应用拓展.整个教学过程分为四个阶段：首先是复习引入阶段，让学生在知识上和心理上都有一个自然的过渡，并且 尽可能地让学生的思维活跃起来.其次是探究新知阶段，在这个阶段中又分了三个步骤：1.探索并证明角平分线的性质定理；2.探索并证明角平分线的判定定理；3.对角平分线的再认识.前 两个步骤学生经历了两次探索发现新知的过程，每个探索过程均为两个环节：（1）实验与猜想；（2）证明