ch24高斯型求积公式

1、第二章 数值积分 高斯型求积公式高斯型求积公式：一一个个求求积积代代数数精精度度的的概概念念公公式式的的准准确确程程=0( )()d1nbkkakkkkAxxnxnfxxAf ：对对于于一一般般的的插插值值求求积积公公式式来来说说，不不管管在在积积分分区区间间上上的的个个插插值值结结点点如如何何选选取取，其其至至少少为为；而而只只要要选选取取合合适适的的与与，此此插插值值求求积积公公注注代代数数精精度度代代数数式式的的达达精精度度到到最最大大。问题问题: : 是否有比等距节点的是否有比等距节点的Newton-CotesNewton-Cotes型求积公式型求积公式 更高代数精度的求积公式更高代数

2、精度的求积公式? ? 最高能达到多大最高能达到多大? ?度度对对于于给给定定的的求求积积节节点点, , 代代数数精精度度最最高高的的求求积积公公式式是是插插值值型型求求积积公公式式. . 事事实实上上, , 插插值值型型求求积积公公式式的的代代数数精精度度完完全全由由求求积积节节点点的的分分布布所所决决定定. . 节节点点数数目目固固定定后后, , 节节点点分分布布不不同同, , 所所达达到到的的代代数数精精度度也也不不同同. .问问题题: : 寻寻找找最最高高代代数数精精度度的的求求积积公公式式010,( )()22!对对于于任任意意的的求求积积节节点点a a及及求求积积系系数数求求积积公公

3、式式的的代代数数精精度度必必小小于于nnbkkakxxxbf x dxA f xn 220112100( )()()()( )( )0,I()()0nnbannkkknkkkf xxxxxxxxf x dxA f xAx n n这这是是因因为为 对 对于于2n+2次2n+2次代代数数多多项项式式 有有 I= 而 I= 而数数值值积积分分 故故最最高高可可能能代代数数精精度度为为2n+1.2n+1.5为具有一般性，研究带权积分为具有一般性，研究带权积分,d)()(baxxxfI求积公式为求积公式为, )(d)()(0nkkkbaxfAxxxf为不依赖于为不依赖于 的求积系数的求积系数.),1 ,

4、0(nkAk)( xf(1),1 ,0(nkxk为求积节点为求积节点，kkAx及可适当选取可适当选取, ),1 ,0(nk使（使（1）具有）具有 次代数精度次代数精度.12n问题问题如果求积公式如果求积公式(1) (1) 具有具有 次代数精度次代数精度，12n则称其节点则称其节点 为为高斯点高斯点，相应公式，相应公式(1)(1)称为称为高斯求积公式高斯求积公式. .),1 ,0(nkxk 定义定义如何构造高斯求积公式？如何构造高斯求积公式？ 根据定义要使根据定义要使(1) (1) 具有具有 次代数精度，只要对次代数精度，只要对12n),12,1 ,0()(nmxxfm令令(1)(1)精确成立，

5、精确成立，. 12 , 1 , 0,d)(0nmxxxxAnkbammkk可以由上式求出可以由上式求出).,1 ,0(nkAxkk及试构造下列积分的高斯求积公式试构造下列积分的高斯求积公式： 例例).()(d)(110010 xfAxfAxxfx令公式令公式(1)(1)对于对于 准确成立准确成立，32, 1)(xxxxf.92131030AxAx;3210AA;520000AxAx;72121020AxAx 由于非线性方程组，通常由于非线性方程组，通常 就很难求解就很难求解. 2n而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式. 尽管高斯点的确定原则上可以化为代数

6、问题，尽管高斯点的确定原则上可以化为代数问题，但是由于所归结的方程组但是由于所归结的方程组是非线性的是非线性的，而它的，而它的求解存在实质性的困难，所以我们要从研究高求解存在实质性的困难，所以我们要从研究高斯点的斯点的基本特性基本特性着手解决高斯公式的构造问题。着手解决高斯公式的构造问题。高斯点与正交多项式的零点高斯点与正交多项式的零点=0( )()( )( )dd110=( )( )()= 0bkkkankknnknbaxxf xfP xP xAxxxxxnx ：插插值值求求积积公公式式其其节节点点为为的的充充要要条条件件是是以以这这些些点点为为零零点点的的多多项项式式与与任任何何次次数数不

7、不超超过过的的多多项项式式定定理理7-7-在在积积分分区区间间上上1 1高高斯斯点点正正 交交均均， 即即1a,bn+1)(knxPx高斯点 是上的次多项即式的根=0d( )()( )( )d110=( )( )( )( )(0)=nkbkkaknkbnnnkanxxf xfxAxxxnxxxxxxPxP ：带带权权插插值值求求积积公公式式其其结结点点为为的的充充要要条条件件是是以以这这些些点点为为零零点点的的多多项项式式与与任任何何次次数数不不超超过过的的多多项项定定理理7-27-2带带权权式式在在积积分分区区间间上上关关于于权权函函数数均均正正交交， 即即高高斯斯点点。( )( )1a,b

8、n +1( )knxxPx 高高斯斯点点是是上上关关于于权权函函数数的的次次多多项项式式的的根根 即即（2）11.d)()(d)()(babaxxxqxxxfnxxx,10是高斯点，是高斯点，因此，如果因此，如果. )()()()()(011nkknkkbanxxPAdxxxxP因因),1 ,0(0)(1nkxkn即有即有故故(2)(2)成立成立. 精确成立精确成立，)()()(1xxPxfn 则求积公式则求积公式(1)(1)对于对于 充分性充分性. 用 除除 ，)(1xn )( xf记商为记商为),( xP余式为余式为),( xq即即 , )()()()(1xqxxPxfn其中其中 . nH

9、xqxP)(),(,)(12nHxf对于对于由由(2)(2)可得可得 证明证明必要性必要性. ,)(nHxP设设,)()(121nnHxxP则则（3）12由于求积公式由于求积公式(1)(1)是插值型的，它对于是插值型的，它对于 是精确的，是精确的，nHxq)(即 再注意到再注意到),1 ,0(0)(1nkxkn), 1 ,0()()(nkxfxqkk知知从而由从而由(3)(3)有有babaxxxqxxxfd)()(d)()(. )(0nkkkxfA. )(d)()(0nkkkbaxqAxxxq13 可见求积公式可见求积公式(1)(1)对一切次数不超过对一切次数不超过 的多项式均精的多项式均精确

10、成立确成立. . 因此，因此， 为高斯点为高斯点. . 12n),1 ,0(nkxk 定理表明在定理表明在 上带权上带权 的的 次正交多项式的次正交多项式的零点就是求积公式零点就是求积公式(1)(1)的高斯点的高斯点. . ,ba)( x1n 有了求积节点有了求积节点 ，再利用，再利用),1 ,0(nkxknkbammkkxxxxA0d)(对对 成立成立，nm,1 ,0).,1 ,0(nkAk解此方程则得解此方程则得 的线性方程的线性方程.nAAA,10则得到一组关于求积系数则得到一组关于求积系数14GaussGauss型求积公式的构造方法型求积公式的构造方法(1)(1)求出区间求出区间a,b

11、a,b上权函数为上权函数为 正交多项式正交多项式p pn+1n+1(x)(x) . .)(x(2)(2)求出求出p pn+1n+1(x)(x)的的n n个零点个零点x x0 0 , x, x1 1 , , x xn n 即为即为GaussGauss点点. . (3)(3)计算积分系数计算积分系数 。 常见的正交多项式及高斯求积公式常见的正交多项式及高斯求积公式勒让德多项式勒让德多项式(Legendre)(Legendre)切比雪夫多项式切比雪夫多项式(Chebyshev)(Chebyshev)拉盖尔多项式拉盖尔多项式(Laguerre)(Laguerre)埃尔米特多项式埃尔米特多项式 (Her

12、mite ) (Hermite )高斯高斯- -勒让德求积公式勒让德求积公式( ) ( )d( )( )( )111012=, 11d(1) 2! d1LegendreLegendre1 11,2,0nnnnnnnPPxxxPxnxnPxxP xPxnnn ： 定 定义义在在区区间间上上阶阶是是正正交交的的函函数数系系，其其阶阶与与任任何何次次数数不不超超过过的的多多项项式式在在区区间间-1,-1,1. 勒1. 勒让让德德()多()多项项式式勒勒让让德德()多()多项项式式勒勒让让德德多多项项1 上1 上，即即式式均均正正交交2. Legendre2. Legendre多项式的性质多项式的性质

13、: :011(1): 1,1,0,(,)( )( )2,21nnnmnmPmnP PP x Px dxmnn 正正交交性性是是上上的的正正交交多多项项式式序序列列 即即0111(2)( )1,( )(1)( )(21)( )( )1,2,nnnP xP xxnPxnxP xnPxn 递递推推公公式式(3)()( 1)( )nnnPxP x (4),( 1,1) 所所有有根根都都是是单单根根 并并在在上上关关于于原原点点对对称称分分布布. .=0( )(d)( )1113Legendre, Gauss11 121 .nkkkkkknxxxf xfxGaussLegennArndPxAe 以 以多

14、多项项式式的的个个零零点点作作为为区区间间 上 上的的高高斯斯点点 ， ， 则 则其其插插值值求求积积公公式式称称为为求求积积公公式式高高斯斯-勒-勒让让德德求求积积公公式式，具具有有次次。其其中中点点, 及, 及代代数数精精度度求求积积系系数数可可查查表表求求得得. .19，)0(d)(011fAxxf令它对令它对 准确成立，即可定出准确成立，即可定出 1)(xf.20A 这样构造出的一点高斯这样构造出的一点高斯- -勒让德求积公式勒让德求积公式)0(2d)(11fxxf是中矩形公式是中矩形公式. 若取若取 的零点的零点 作为节点构造求积公式作为节点构造求积公式 xx )(P100 x 再取

15、再取 的两个零点的两个零点 构造求积公式构造求积公式 )13(21)(P22xx31),31()31(d)(1011fAfAxxf20令它对令它对 都准确成立，有都准确成立，有 xxf, 1)(.03131;21010AAAA由此解出由此解出, 110 AA).31()31(d)(11ffxxf三点高斯三点高斯- -勒让德公式的形式是勒让德公式的形式是 ).515(95)0(98)515(95d)(11fffxxf列出了高斯列出了高斯- -勒让德求积公式的节点和系数勒让德求积公式的节点和系数. . 从而得到两点高斯从而得到两点高斯- -勒让德求积公式勒让德求积公式 高斯高斯- -切比雪夫求积公

16、式切比雪夫求积公式( )d( )( )( )2211111111=, cos()cos( arccos )1 1( )1( )( )0nxxnnPxTxxTxnnnxnnxTxPxx ： 定 定义义在在区区间间上上阶阶是是关关于于权权函函数数正正交交的的函函数数系系，其其阶阶与与任任何何次次数数不不超超过过的的多多项项式式在在区区间间上上关关于于权权函函数数均均1. 切1. 切比比雪雪夫夫(C hebyshev)多(C hebyshev)多项项式式切切比比雪雪夫夫多多项项式式切切正正比比雪雪夫夫多多项项式式交交，即即2. Chebyshev2. Chebyshev多项式的性质多项式的性质: :

17、2101121(1) 1,1( ),0,( )( )(,),021,0nnxmnmnChebyshevTxmnTx T xTTdxmnxmn 多多项项式式是是上上带带权权 的的正正交交多多项项式式组组 即即0111(2)( )1,( ),( )( )2( )nnnT xT xxTxTxxTx 递递推推公公式式31 1211 22( ), )( )()cos,(, , )kxkxknn n n所所有有根根都都是是单单根根 在在( (上上与与原原点点对对称称分分布布, , 且且T T的的n n个个根根为为22111=11110111( )()( )dd3. Gauss-C21221hebyshev

18、(11 121), ()cos,kkknxkxnkknf xflxxxxxnkTnnxAnTA 以 以的的个个零零点点作作为为区区间间上上的的带带权权高高斯斯点点，其其带带权权插插值值求求积积公公式式为为的的零零求求积积公公式式高高斯斯-切-切比比雪雪夫夫求求积积公公点点称称为为带带权权，具具有有次次式式代代数数精精度度。一般积分区间一般积分区间a,ba,b的处理的处理22,tbabax 先先令令 , a b 1,1a,b 再再利利用用标标准准区区间间 上上的的求求积积公公式式: :1=011111ddt22)2222()()(),( )()bkkankknkknnnkkkbtxabaxxbafAAx