第四章有限元法

1、 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用1 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用教学目标：教学目标：理解有限元的特点、基本作用及分类；理解有限元的特点、基本作用及分类； 掌握有限元法的基本概念和有限元法的掌握有限元法的基本概念和有限元法的 求解步骤。求解步骤。重点、难点：重点、难点：重点是有限元法的基本概念以及有限重点是有限元法的基本概念以及有限 元法的求解步骤；难点是单元刚度矩元法的求解步骤；难点是单元刚度矩 阵和总体刚度矩阵的

2、求解。阵和总体刚度矩阵的求解。2 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用主要内容主要内容q 有限元法的基本概念有限元法的基本概念( (概述概述) )q 有限元法的分类有限元法的分类q 有限元法的求解步骤（重点）有限元法的求解步骤（重点）q 常用有限元软件简介常用有限元软件简介3 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用第一节第一节 概概 述述为什么需要有限元？为什么需要有限元？F随着生产的发展，不断要求设计高质量、高水平的随着生产的发

3、展，不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械和工程结构。在实践中人们大型、复杂和精密的机械和工程结构。在实践中人们也逐渐认识到要达到正确的、高水平的设计，就必须也逐渐认识到要达到正确的、高水平的设计，就必须预先通过有效的计算手段预先通过有效的计算手段确切的了解即将诞生的机械确切的了解即将诞生的机械和工程结构在和工程结构在未来工作未来工作时的应力、应变及位移等情况，时的应力、应变及位移等情况，从多种可能的方案中去选择合乎要求的方案。从多种可能的方案中去选择合乎要求的方案。4 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元

4、法及应用F但是，传统的一些方法往往难于完成对工程实际问题但是，传统的一些方法往往难于完成对工程实际问题的有效分析。的有效分析。F如弹性力学的经典理论对于几何上复杂、不规则边界、如弹性力学的经典理论对于几何上复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变以及几何非线性、材料非线性等问有裂缝或厚度突变以及几何非线性、材料非线性等问题往往解决很困难；优化设计、可靠性设计等也难或题往往解决很困难；优化设计、可靠性设计等也难或根本无法解决。根本无法解决。5 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用蓄水后大坝蓄水后大坝的位移与应的位移与应

5、变情况、地变情况、地震时大坝的震时大坝的位移与应变位移与应变情况等情况等三峡大坝的受力情况三峡大坝的受力情况 6 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用航天飞机飞行航天飞机飞行中的受热分析中的受热分析温度场分布温度场分布 7 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用导弹、飞机飞导弹、飞机飞行的流体动力行的流体动力学分析学分析流场分布流场分布 8 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章

6、 有限元法及应用有限元法及应用磁场分布磁场分布 分析分析卫星、飞船在轨运行时磁场的影响卫星、飞船在轨运行时磁场的影响 9 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用 传统方法在处理这类问题时，往往要对一个实际的传统方法在处理这类问题时，往往要对一个实际的物理系统作出多种假设，比如形状假设、连续性假设、物理系统作出多种假设，比如形状假设、连续性假设、物体的各项同性假设，然后通过经典理论方法得出问题物体的各项同性假设，然后通过经典理论方法得出问题的解析解，这种解析解从形式上看，可以得出关于实际的解析解，这种解析解从形式上

7、看，可以得出关于实际问题的连续解。问题的连续解。 比如用方程描述三峡大坝某一点的位移和应变，但比如用方程描述三峡大坝某一点的位移和应变，但这样的解析解往往和实际情况有比较大的偏差。这样的解析解往往和实际情况有比较大的偏差。这对于这对于精度要求不高的领域是可以的，但对于有些领域，就不精度要求不高的领域是可以的，但对于有些领域，就不能满足实际的需要了。能满足实际的需要了。 10 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用 同时，实际中常常要遇到一些几何上复杂、不规则同时，实际中常常要遇到一些几何上复杂、不规则边界、有裂缝

8、或厚度突变以及几何非线性、材料非线性边界、有裂缝或厚度突变以及几何非线性、材料非线性的物理系统，对这些系统经典理论解决起来相当困难，的物理系统，对这些系统经典理论解决起来相当困难，有时甚至无法解决，也就是无法求得解析解。因此，寻有时甚至无法解决，也就是无法求得解析解。因此，寻求离散数值分析法就成了必由之路。求离散数值分析法就成了必由之路。 常用的数值分析法有两种常用的数值分析法有两种：差分法和有限元法。差分法和有限元法。 11 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用 差分法差分法是在传统方法的基础上，将传统方法建

9、立的是在传统方法的基础上，将传统方法建立的微分方程中的微分微分方程中的微分dxdx、dydy、dzdz变成差分变成差分xx，yy，zz，从而把微分方程变成代数方程，用一步步迭代的方法，从而把微分方程变成代数方程，用一步步迭代的方法，逐步求出物理系统中各个离散点的物理量，用差分离散逐步求出物理系统中各个离散点的物理量，用差分离散解代替连续解。解代替连续解。 这种方法要求能建立微分方程，并能给出边界条件这种方法要求能建立微分方程，并能给出边界条件的数学表达式，因此，对于一些不规则的几何形状和不的数学表达式，因此，对于一些不规则的几何形状和不规则的特殊边界条件难以应用。规则的特殊边界条件难以应用。

10、12 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用一、有限元法的基本概念一、有限元法的基本概念1. 1.什么是有限元法什么是有限元法 我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设计思我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建立一组偏维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出在连续体上任微分方程及其相应的边界条件，从而求出在连续体上任一点上未知量的值。一点上未知量的值。 因为点是无限多的，存在无限自由度的问题，很难因为点是无限多的，存在无限自

11、由度的问题，很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问题，因此直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问题，因此需要采用近似方法来处理。需要采用近似方法来处理。 13 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用 其中最主要的是离散化方法，把问题归结为只求有限其中最主要的是离散化方法，把问题归结为只求有限个离散点的数值，把无限自由度问题变成有限个自由度。个离散点的数值，把无限自由度问题变成有限个自由度。 什么是有限元法？什么是有限元法？ 把一个连续体分割成有限个单元，即把一个复杂的结把一个连续体分割成有限个单元，即把一

12、个复杂的结构看成由有限个通过节点相连的单元组成的整体，先进行构看成由有限个通过节点相连的单元组成的整体，先进行单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结构，单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结构，以得到复杂问题的近似数值解。这种方法称为有限元法以得到复杂问题的近似数值解。这种方法称为有限元法（The Finite Element Method ）。 14 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用 有限元法是一种以计算机为手段，通过有限元法是一种以计算机为手段，通过离散化离散化将研究将研究对象变换成一个

13、与原始结构近似的数学模型，再经过一系对象变换成一个与原始结构近似的数学模型，再经过一系列规范化的步骤以求解列规范化的步骤以求解应力、应变、位移应力、应变、位移等参数的数值计等参数的数值计算方法。算方法。 所谓所谓离散化离散化就就是将一个连续体分割成若干个通过是将一个连续体分割成若干个通过节点节点相连的相连的单元单元，这样一个有无限个自由度的结构就变换成一，这样一个有无限个自由度的结构就变换成一个具有有限个自由度的近似结构。个具有有限个自由度的近似结构。 该过程还包括对单元和节点进行该过程还包括对单元和节点进行编码编码以及以及局部坐标系局部坐标系和和整体坐标系整体坐标系的确定。的确定。 15 工

14、学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用载荷载荷载荷载荷物理系统举例物理系统举例16 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用17 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用2. 2.几个基本概念几个基本概念1 1）单元）单元（element） 将求解的工程结构看成是将求解的工程结构看成是由许多小的、彼此用点联结的由许多小的、彼此用点联结的基本构件如杆、梁、板和

15、壳组基本构件如杆、梁、板和壳组成的，这些基本构件称为成的，这些基本构件称为单元单元。 在有限元法中，单元用一在有限元法中，单元用一组节点间相互作用的组节点间相互作用的数值数值和和矩矩阵（刚度系数矩阵）阵（刚度系数矩阵）来描述。来描述。18 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用单元具有以下特征：单元具有以下特征： 每一个单元都有确定的方程来描述在一定载荷每一个单元都有确定的方程来描述在一定载荷下的响应；下的响应；模型中所有单元响应的模型中所有单元响应的“和和”给出了设计的总给出了设计的总体响应；体响应； 单元中未

16、知量的个数是有限的，因此称为单元中未知量的个数是有限的，因此称为“有有限单元限单元”。 19 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用2 2）节点）节点（node） 单元与单元之间的联结点，称为单元与单元之间的联结点，称为节点节点。在有限元法中，。在有限元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有物理特性，且存在相互节点就是空间中的坐标位置，它具有物理特性，且存在相互物理作用。物理作用。3 3）有限元模型）有限元模型（model） 有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由一些形状简有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由一

17、些形状简单的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。单的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。 每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。作为每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。作为一个整体，所有单元的组合就形成了整体结构的数学模型。一个整体，所有单元的组合就形成了整体结构的数学模型。 20 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用节点节点: 空间中的坐标位置，具有一空间中的坐标位置，具有一定相应，相互之间存在物理作用。定相应，相互之间存在物理作用。单元单元: 节点间相互作用的媒介，用节

18、点间相互作用的媒介，用一组节点相互作用的数值矩阵描一组节点相互作用的数值矩阵描述（称为刚度或系数矩阵述（称为刚度或系数矩阵)。载荷载荷载荷载荷有限元模型由一些简单形状的单元组成，单有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。元之间通过节点连接，并承受一定载荷。21 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用 对于一个具体的工程结构，单元的划分越小，求对于一个具体的工程结构，单元的划分越小，求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越大。解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越大。 梯子

19、的有限元模型不到梯子的有限元模型不到100100个方程；个方程； 在在ANSYSANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几分析中，一个小的有限元模型可能有几千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算结单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算结果精确性的要求。果精确性的要求。22 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用4 4）有限元分析）有限元分析 有限元分析就是利用数学近似的方法对真实物有限元分析就是利用数学近似的方法对真实物理

20、系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素而又相互作用的元素（即单元即单元），用有限数量的未，用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。知量去逼近无限未知量的真实系统。 有限元分析是一种模拟设计载荷条件，并且确有限元分析是一种模拟设计载荷条件，并且确定在载荷条件下的设计响应的方法。它是用被称之定在载荷条件下的设计响应的方法。它是用被称之为为“单元单元”的离散的块体来模拟设计的离散的块体来模拟设计的的。 23 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用

21、几何体几何体 载荷载荷 物理系统物理系统力力电磁电磁热热24 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用二、有限元法的特点与作用二、有限元法的特点与作用1. 1.有限元法的特点有限元法的特点1 1）把连续体划分成有限个单元，把单元间的连接点（节点）把连续体划分成有限个单元，把单元间的连接点（节点）作为离散点；作为离散点；2 2）不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究；）不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究； 研究未知量在单元内部及在单元节点上值的关系，从而研究未知量在单元内部及在单元节点上值的关系，从而导出单元

22、节点响应和对应的载荷之间的关系，然后把它们组导出单元节点响应和对应的载荷之间的关系，然后把它们组集起来集起来, ,以求解一个以各节点响应为未知量的代数方程组。以求解一个以各节点响应为未知量的代数方程组。3 3）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起对该法的理解；立起对该法的理解；25 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用4 4）具有灵活性和适用性，适应性强）具有灵活性和适用性，适应性强 它可以把形状不同、性质不同的单元组集起来求解，故它可以把形状不

23、同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为广泛。特别适用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均匀材料、各向异性它不仅能成功地处理如应力分析中的非均匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复杂的边界条件等问题，且随着材料、非线性应力应变以及复杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法的逐步完善，还能成功地用来求解如热传其理论基础和方法的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流体力学及电磁场领域的许多问题。导、流体力学及电磁场领域的许多问题。5 5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。）在具体推导运算过程中，

24、广泛采用了矩阵方法。26 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用2. 2.有限元法的作用有限元法的作用1 1）减少模型试验的数量）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量的计算机模拟允许对大量的假设情况进行快速而有效的试验假设情况进行快速而有效的试验）；）；2 2）模拟不适合在原型上试验的设计）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官移例如：器官移植植、人造膝盖人造膝盖）；）；3 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本；）节省费用，降低设计与制造、开发的成本；4 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期；）节省时间

25、，缩短产品开发时间和周期； 5 5）创造出高可靠性、高品质的产品。）创造出高可靠性、高品质的产品。 27 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用三、有限元法的发展三、有限元法的发展1. 1.有限元法的产生有限元法的产生有限元法分析的概念可以追溯到有限元法分析的概念可以追溯到2020世纪世纪4040年代。年代。 19431943年，柯朗特（年，柯朗特（CourantCourant）第一次在他的论文）第一次在他的论文中，取定义在三角形域上的分片连续函数，利用中，取定义在三角形域上的分片连续函数，利用最小势能原理研究了

26、圣维南（最小势能原理研究了圣维南（St.VenantSt.Venant）的扭）的扭转问题。然而，此方法发展很慢，几乎过了十年转问题。然而，此方法发展很慢，几乎过了十年才再次有人用这些离散化的概念。才再次有人用这些离散化的概念。28 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用19561956年年Turner,Clough,MartinTurner,Clough,Martin和和ToppTopp等人，在他等人，在他们的经典论文中第一次给出了用三角形单元求得们的经典论文中第一次给出了用三角形单元求得的平面应力问题的真正解答

27、，他们利用弹性理论的平面应力问题的真正解答，他们利用弹性理论的方程求出了三角形单元的特性，并第一次介绍的方程求出了三角形单元的特性，并第一次介绍了今天人们熟知的确定单元特性的了今天人们熟知的确定单元特性的直接刚度法直接刚度法，其研究工作随同当时出现的数值计算机一起打开其研究工作随同当时出现的数值计算机一起打开了求解复杂平面弹性问题的新局面。了求解复杂平面弹性问题的新局面。 29 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用19601960年美国的克劳夫年美国的克劳夫(W.Clough)(W.Clough)采用此方法进行

28、飞采用此方法进行飞机结构分析时首次将这种方法起名为机结构分析时首次将这种方法起名为“有限单元有限单元法法”，简称，简称“有限元法有限元法”。此后有限元法在工程界。此后有限元法在工程界获得了广泛的应用。到获得了广泛的应用。到2020世纪世纪7070年代以后，随着计年代以后，随着计算机和软件技术的发展，有限元法也随之迅速的发算机和软件技术的发展，有限元法也随之迅速的发展起来，发表的论文犹如雨后春笋，学术交流频繁，展起来，发表的论文犹如雨后春笋，学术交流频繁，期刊、专著不断出现，可以说进入了有限元法的鼎期刊、专著不断出现，可以说进入了有限元法的鼎盛时期，对有限元法进行了全面而深入地研究。盛时期，对有

29、限元法进行了全面而深入地研究。 30 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用2. 2.有限元法的应用有限元法的应用 目前，有限元法广泛应用于固体力学、流体力学、目前，有限元法广泛应用于固体力学、流体力学、热传导、电磁学、声学、生物力学等各个领域。热传导、电磁学、声学、生物力学等各个领域。 1 1）可求解由杆、梁、板、壳、块体等各类单元构成）可求解由杆、梁、板、壳、块体等各类单元构成的弹性（线性和非线性）、弹塑性或塑性问题（包括静的弹性（线性和非线性）、弹塑性或塑性问题（包括静力和动力问题）；力和动力问题）； 2

30、2）可求解各类场分布问题的稳态和瞬态问题；）可求解各类场分布问题的稳态和瞬态问题；31 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用 当前，有限元法已经成为结构分析的有当前，有限元法已经成为结构分析的有效方法和手段，它几乎效方法和手段，它几乎被被用于所有连续介质用于所有连续介质和场的问题。和场的问题。 3 3）可求解水流管路、电路、润滑、噪声以及固体、）可求解水流管路、电路、润滑、噪声以及固体、流体、温度相互作用的问题。流体、温度相互作用的问题。32 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现

31、代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用 结构分析用于确定变形、应结构分析用于确定变形、应变、应力及反作用力。变、应力及反作用力。 静力分析静力分析u用于静态荷载用于静态荷载. .u可以考虑结构的线性及非可以考虑结构的线性及非线性行为，例如：大变形线性行为，例如：大变形、大应变、应力刚化、接、大应变、应力刚化、接触、塑性、超弹及蠕变等触、塑性、超弹及蠕变等. .超弹密封超弹密封结构分析结构分析33 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用u提供标准的隐式动力学分析以提供标准的隐式动力学分析以外，外， 还

32、提供了显式动力学分还提供了显式动力学分析模块。析模块。u用于模拟非常大的变形，惯性用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所有的力占支配地位，并考虑所有的非线性行为非线性行为. .u它的显式方程求解冲击、碰撞、它的显式方程求解冲击、碰撞、快速成型等问题，是目前求解快速成型等问题，是目前求解这类问题最有效的方法这类问题最有效的方法. .n结构分析（续）结构分析（续）34 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用可进行显示动力分析可进行显示动力分析 模拟以惯性力为主的大变模拟以惯性力为主的大变形分析。用于模拟冲击

33、、碰撞、形分析。用于模拟冲击、碰撞、快速成形等。快速成形等。35 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用钢材轧制过程模拟钢材轧制过程模拟 冲压成形的模拟冲压成形的模拟36 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用n热分析热分析 热分析用于确定物体中的温度分布。热分析用于确定物体中的温度分布。 可模拟三种热传递方式：热传导、热可模拟三种热传递方式：热传导、热对流、热辐射。对流、热辐射。 稳态分析稳态分析忽略时间效应忽略时间效应 瞬态分析

34、瞬态分析确定以时间为函数的温度值等。确定以时间为函数的温度值等。可模拟相变（熔化及凝固）可模拟相变（熔化及凝固）37 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用电饭煲热分析仿真：电饭煲热分析仿真： 分析电饭煲内的分析电饭煲内的米饭在加热完成后放米饭在加热完成后放置置6 6 个小时，锅体及个小时，锅体及米饭的最终温度。米饭的最终温度。38 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用n电磁分析电磁分析n 电磁分析用于计算电磁装置中的磁场电磁分析

35、用于计算电磁装置中的磁场n 静态磁场及低频电磁场分析静态磁场及低频电磁场分析 模拟由直流电源，低频交流电或低模拟由直流电源，低频交流电或低频瞬时信号引起的磁场。频瞬时信号引起的磁场。 例如：螺线管制动器、电动机、变例如：螺线管制动器、电动机、变压器压器 磁场分析中考虑的物理量是：磁通磁场分析中考虑的物理量是：磁通量密度、磁场密度、磁力和磁力矩、量密度、磁场密度、磁力和磁力矩、阻抗、电感、涡流、能耗及磁通量阻抗、电感、涡流、能耗及磁通量泄漏等。泄漏等。39 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用磁性元件磁性元件 电

36、机磁场分布电机磁场分布40 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用n流体分析流体分析n 计算流体动力学计算流体动力学(CFD)(CFD)用于确定流体中的流动状态和温度。用于确定流体中的流动状态和温度。能模拟层流和湍流，可压缩和不可压能模拟层流和湍流，可压缩和不可压缩流体，以及多组份流。缩流体，以及多组份流。应用：航空航天，电子元件封装，汽应用：航空航天，电子元件封装，汽车设计。车设计。典型的物理量是：速度，压力，温度，典型的物理量是：速度，压力，温度，对流换热系数。对流换热系数。41 工学院机制、机电、机化专业工

37、学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用SC/TetraSC/Tetra大型通用流体分析软件大型通用流体分析软件42 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用例：大型金属铸件热应力有限元分析例：大型金属铸件热应力有限元分析1.1.热热应力分析理论应力分析理论根据热弹性理论，热传导方程为：根据热弹性理论，热传导方程为：其中，其中，k k为传导系数，为传导系数，a a是扩散系数，是扩散系数，T T为温度，为温度，是应变。是应变。此即计算热应力分析的基本公式。此即计算热

38、应力分析的基本公式。 43TKTkk2 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用2.2.有限元分析有限元分析 此有限元分析过程分为两部分：首先进行瞬态热分析，此有限元分析过程分为两部分：首先进行瞬态热分析，然后把计算结果中的温度分布作为热载荷施加在应力分析然后把计算结果中的温度分布作为热载荷施加在应力分析中进行计算。中进行计算。2.12.1有限元模型有限元模型 此金属铸件长此金属铸件长2.32.3米、高米、高2 2米、厚米、厚1.11.1米，中间有开口，米，中间有开口，下部分是半圆形结构，材料为铸铁，重量下部分是半

39、圆形结构，材料为铸铁，重量2828吨左右。有限吨左右。有限元模型如图元模型如图1 1，图，图2 2是网格划分图，单元采用是网格划分图，单元采用1010节点的四面节点的四面体单元。体单元。44 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用45 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用2.2 2.2 瞬态热分析瞬态热分析 瞬态热分析目的是计算铸件从瞬态热分析目的是计算铸件从300300恒温场中突然放置恒温场中突然放置在室温空气中不同时刻的温度变

40、化，并找出温度梯度最大在室温空气中不同时刻的温度变化，并找出温度梯度最大的时刻及温度分布，为下一步应力计算做准备。对所有节的时刻及温度分布，为下一步应力计算做准备。对所有节点给一个初始点给一个初始300300温度。设置相应的导热系数、密度、比温度。设置相应的导热系数、密度、比热和对流换热系数。计算不同时刻的温度分布，经计算在热和对流换热系数。计算不同时刻的温度分布，经计算在9090分钟时温度梯度最大。此时的温度分布如图分钟时温度梯度最大。此时的温度分布如图3 3。46 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用47

41、工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用2.32.3热应力分析热应力分析 热应力分析时分析某种温度分布载荷下结构的变形及应热应力分析时分析某种温度分布载荷下结构的变形及应力。此分析要设置相应材料的弹性模量和泊松比，以及联系力。此分析要设置相应材料的弹性模量和泊松比，以及联系热分析与结构分析的重要参数热膨胀系数。热分析与结构分析的重要参数热膨胀系数。 第一步瞬态热分析时的温度分布作为载荷施加在此步的第一步瞬态热分析时的温度分布作为载荷施加在此步的热应力分析中，并对上部边缘做适当的位移约束。热应力分析中，并对上部边缘做

42、适当的位移约束。 热应力的分析结果见图热应力的分析结果见图4 4和和5 5。48 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用49 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用一、结构有限元法的分类一、结构有限元法的分类 结构结构有限元法可以分为两类，即有限元法可以分为两类，即线弹性有限元法线弹性有限元法和和非线性有限元法非线性有限元法。其中线弹性有限元法是非线性有限元。其中线弹性有限元法是非线性有限元法的基础，二者不但在分析方法和研究步骤上有

43、类似之法的基础，二者不但在分析方法和研究步骤上有类似之处，而且后者常常要引用前者的某些结果。处，而且后者常常要引用前者的某些结果。 50 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用1. 1.线弹性有限元线弹性有限元 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；位材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；位移与应变也是线性关系，移与

44、应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。方程问题，所以只需要较少的计算时间。 线弹性有限元一般包括线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析线弹性静力学分析与与线弹性线弹性动力学分析动力学分析两方面。两方面。 51 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用2. 2.非线性有限元非线性有限元非线性问题与线弹性问题的区别：非线性问题与线弹性问题的区别： 非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解； 非线性问题不能

45、采用叠加原理；非线性问题不能采用叠加原理； 非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 以上三方面的因素使得非线性问题的求解过程比线以上三方面的因素使得非线性问题的求解过程比线弹性问题更加复杂、费用更高和更具有不可预知性。弹性问题更加复杂、费用更高和更具有不可预知性。 52 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用1 1）材料非线性问题）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的，但应变与位移呈线材料的应力和应变是非线性的，但应变与位移呈线性关系，这类问题属于性关系，这类问题属

46、于材料的非线性材料的非线性问题。由于从理论问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的应力与应变的函数关系，所上还不能提供能普遍接受的应力与应变的函数关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：要的材料非线性问题有：非线性弹性非线性弹性（包括分段线弹（包括分段线弹性）、性）、弹塑性弹塑性、粘塑性及蠕变粘塑性及蠕变等。等。 53

47、工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用2 2）几何非线性问题）几何非线性问题 几何非线性问题是由于几何非线性问题是由于应变与位移之间存在非线性应变与位移之间存在非线性关系引起的。关系引起的。 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶

48、部如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。件形成过程为大应变问题。 54 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用3 3）非线性边界）非线性边界 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，

49、当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。问题。 55 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用二、有限单元的类型二、有限单元的类型 根据研究对象的不同，有限元法中采用的单元形式根据研究对象的不同，有限元法中采用的单元形式也不相同也不相同。 通常，按照单元结构，可将单元划分为一维单元通常，按照单元结构，可将单元划分为一维单元（线单元）、二维单元

50、（面单元）和三维单元。（线单元）、二维单元（面单元）和三维单元。 JIJKLI一维单元一维单元二维单元二维单元POMNKJIL三维单元三维单元56 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用按照单元结构按照单元结构特点和受力特点特点和受力特点，可将单元划分，可将单元划分为：为：1 1）桁架杆单元：桁架杆单元：主要应用于受轴向力作用的杆和杆系，如主要应用于受轴向力作用的杆和杆系，如桁架结构；桁架结构；2 2）刚）刚架杆单元：架杆单元：用于梁及用于梁及刚刚架结构分析；架结构分析；3 3）三角形平面单元：三角形平面单元：主

51、要用于弹性力学中平面应力和平面主要用于弹性力学中平面应力和平面应变问题的有限元分析；应变问题的有限元分析；4 4）三棱圆环单元：）三棱圆环单元：用于轴对称问题的有限元分析；用于轴对称问题的有限元分析；5 5）等参数单元：）等参数单元：用于一些具有曲线轮廓的复杂结构。用于一些具有曲线轮廓的复杂结构。57 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用第三节第三节有限元法的求解方法与步骤有限元法的求解方法与步骤58 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限

52、元法及应用一、有限元法求解的基本步骤一、有限元法求解的基本步骤 1. 1. 结构离散化：结构离散化：对整个结构进行离散化，将其分割对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连；成若干个单元，单元间彼此通过节点相连； 2. 2. 求出各单元的刚度矩阵求出各单元的刚度矩阵 ： 是由单元节点位是由单元节点位移量移量 求单元节点力向量求单元节点力向量 的转移矩阵，其关的转移矩阵，其关系式为系式为 ； 3. 3. 集成总体刚度矩阵集成总体刚度矩阵KK并写出总体平衡方程：并写出总体平衡方程：KK是由整体节点位移向量是由整体节点位移向量 求整体节点力向量求整体节点力向量 的的转移矩阵转

53、移矩阵，其关系式为其关系式为 ，这就是，这就是总体平总体平衡方程；衡方程； )(eK )(eK )(e )(eF )()()(eeeKF F KF59 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用4.4.引入引入边界边界条件，求出各节点的位移条件，求出各节点的位移 节点的节点的边界边界条件有两种：一种是节点条件有两种：一种是节点n n沿某个沿某个方向的位移为零，另一种是节点方向的位移为零，另一种是节点n n沿某个方向的位移沿某个方向的位移为一给定值。为一给定值。5.5.求出各单元内的应力和应变求出各单元内的应力和应变

54、60 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用确定确定总体刚度矩阵总体刚度矩阵KK的办法的办法1 1）直接利用总体刚度系数的定义直接利用总体刚度系数的定义 在求出整体结构中各节点力与节点位移关系的基础在求出整体结构中各节点力与节点位移关系的基础上获得总体刚度矩阵。此方法上获得总体刚度矩阵。此方法只只在简单情况下才能采用。在简单情况下才能采用。 2 2）集成法集成法 将整体坐标下的单元刚度矩阵进行迭加而得。这里将整体坐标下的单元刚度矩阵进行迭加而得。这里所说的迭加不是简单的相加，而是所说的迭加不是简单的相加，而是将下

55、角标相同的刚度将下角标相同的刚度系数相加，然后按总码的顺序对号入座系数相加，然后按总码的顺序对号入座。61 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用3 3）利用节点间的刚度系数直接写出总体刚度矩阵利用节点间的刚度系数直接写出总体刚度矩阵 总体刚度矩阵对角线上的刚度系数总体刚度矩阵对角线上的刚度系数 等于在等于在节点节点i i汇交的几个单元的刚度系数汇交的几个单元的刚度系数 之和；之和；非对角非对角线上的刚度系数线上的刚度系数 等于联结节点等于联结节点i i与节点与节点j j间几个间几个单元的刚度系数单元的刚度系数

56、之和。之和。iiK)(eiiKijK)(eijK62 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用二、有限元法分析过程有限元法分析过程 有限元法分析过程大体可分为：前处理、分析、有限元法分析过程大体可分为：前处理、分析、后处理三大步骤。后处理三大步骤。1. 1.前处理前处理 对实际的连续体离散化后就建立了有限元分析模对实际的连续体离散化后就建立了有限元分析模型，这一过程是有限元型，这一过程是有限元法法的前处理过程。在这一阶段，的前处理过程。在这一阶段，要要构造计算对象的几何模型，要划分有限元网格，要生构造计算对象的几何

57、模型，要划分有限元网格，要生成有限元分析的输入数据成有限元分析的输入数据，这一步是有限元分析的关键。，这一步是有限元分析的关键。 63 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用2. 2.有限元分析有限元分析 有限元分析过程主要包括：有限元分析过程主要包括：单元分析、整体分单元分析、整体分析、载荷移置、引入约束、求解约束方程析、载荷移置、引入约束、求解约束方程等过程。等过程。这一过程是有限元分析的核心部分，有限元理论主这一过程是有限元分析的核心部分，有限元理论主要体现在这一过程中。要体现在这一过程中。 结构结构有限元

58、法包括三类：有限元法包括三类：有限元位移法、有限有限元位移法、有限元力法、有限元混合法元力法、有限元混合法。64 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用 有限元位移法有限元位移法以以节点位移作为基本未知量；节点位移作为基本未知量； 有限元力法有限元力法以以节点力作为未知量节点力作为未知量； 有限元混合法有限元混合法的的一部分基本未知量为节点位移，另一一部分基本未知量为节点位移，另一部分基本未知量为节点力。部分基本未知量为节点力。 有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特别有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，

59、特别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应用一定量适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。的混合法外，其余全部采用有限元位移法。 因此，一般不做特别声明因此，一般不做特别声明时时，有限元法指的是有限，有限元法指的是有限元位移法。元位移法。 65 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用3.3.有限元分析的后处理有限元分析的后处理 有限元分析的后处理有限元分析的后处理主要包括对计算结果的主要包括对计算结果的加加工处理、编辑组织和图形表示工处理、编辑组织和图形表示三个方面

60、。它可以把三个方面。它可以把有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员直有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状态等，接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员迅速的评并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员迅速的评价和校核设计方案。价和校核设计方案。 66 工学院机制、机电、机化专业工学院机制、机电、机化专业 现代设计方法现代设计方法第四章第四章 有限元法及应用有限元法及应用三、有限元求解实例分析有限元求解实例分析 【例例1 1】一根由两段组成的阶梯轴，一端固定，另一根由两段组成的阶梯轴，一端固定，另一端承受一个