计算机控制技术第三章4

1、第第3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 概概 述述控制系统总是要求实际的被控对象，在给定信号的作用下达到稳定、快速和准确的性能指标。计算机控制系统，相对于一般控制系统而言，具有更多的功能可以实现，即系统能实现最佳的性能指标。本章描述控制系统的基本性能指标，以及这些性能指标与系统的固有参数和设计参数的关系，从而为分析和设计控制系统提供了依据。1 1 计算机控制系统的计算机控制系统的性能及其指标性能及其指标性能：稳定性能控性能观测性稳态特性动态特性性能指标：稳定裕量稳态指标动态指标综合指标（1） 稳定性发散振荡 系统不稳定，不允许存在，容易造成严重事故。 等幅振荡 系统临界稳定，在实际系

2、统中也是不允许的。衰减振荡 当调节器参数选择合适时，系统可以在比较短的时间内，以比较少的振荡次数，比较小的振荡幅度回复到给定值状态，得到比较满意的性能指标。非周期衰减 当调节器参数选择合适时，可以使系统既无振荡，又比较快地结束过渡过程。稳定性结论控制系统只有稳定，才有可能谈得上控制系统性能的好坏或优劣计算机控制系统的稳定性跟连续控制系统的稳定性一样，也是一个重要的概念稳定性分析也是计算机控制理论中的一个重要的内容。（2）能控性和能观测性控制系统的能控性和能观测性能控性和能观测性在多变量最优控制中是两个重要的概念。可观测性反映了由系统的量测来确定系统状态的可能性。如果系统的状态在有限的时间间隔内

3、可由输出的观测值来确定，那么称系统在这样一个时间段内是可观测的。可控性是指控制作用对被控系统影响的可能性。如果在一个有限的时间间隔里，可以用一个无约束的控制向量，使得系统由初始状态转移到终点状态，那么系统就称作在这样一个时间里是可控的。如果所研究的系统是不能控的，那么，最优控制问题就不存在。关于能控性和能观测性的详细情况可参阅本书第6章。2 性能指标稳态指标：衡量控制系统精度的指标稳态误差动态指标：比较直观地反映控制系统的过渡过程特性超调量调节时间峰值时间衰减比振荡次数（1） 稳态指标稳态误差ess稳态误差是输出量的稳态值与要求值的差值表示了控制精度，越小越好。 稳态误差与控制系统本身的特性有

4、关，也与系统的输入信号形式有关。yyess0ess（2）动态指标超调量p%100yyymp超调量：超调量通常以百分数表示表示了系统过冲的程度反映了系统动态过程的平稳性。p（3） 动态指标调整时间ts调整时间反映了过渡过程时间的长短它反映了动态过程进行的快慢，是系统的快速性指标。tsyyty05. 002. 0|)(|或（4） 动态指标峰值时间tp过渡过程到达第一个峰值所需要的时间它反映了系统对输入信号反应的快速性。tp（5） 动态指标衰减比过渡过程衰减快慢的程度，定义为过渡过程第一个峰值B1与第二个峰值B2的比值通常希望衰减比为4:1B1B221BB（6）动态指标振荡次数NN=3/2=1.5反

5、映控制系统的阻尼特性，定义为输出量y(t)进入稳态前，穿越y(t)的稳态值y()的次数的一半。3 综合指标有三种类型：有三种类型：（1 1） 积分型指标积分型指标（2 2） 末值型指标末值型指标（3 3） 复合型指标复合型指标（1 1） 积分型指标积分型指标 误差平方的积分误差平方的积分tdtteJ02)( 这种性能指标着重权衡大的误差着重权衡大的误差，而且数学上易于处理，可以得到数学解，因此经常使用。 如在宇宙飞船控制系统中按最小设计，可使动力消动力消耗最小耗最小。（1 1） 积分型指标积分型指标 时间乘误差平方的积分时间乘误差平方的积分tdttteJ02)( 这种指标较少考虑大的起始误差，

6、着重权衡过着重权衡过渡特性后期出现的误差渡特性后期出现的误差，有较好的选择性。 该指标反映了控制系统的快速性和精确性快速性和精确性。（1 1） 积分型指标积分型指标 加权二次型性能指标加权二次型性能指标dtururdteqeqdtJtttTT)()()(022221102222110RuuQee 式中，加权矩阵Q和R的选择是根据对e和u的各个分量的要求来确定的。 它不仅控制了动态性能指标，而且限制了控制信号的功率。对于多变量控制系统，可采用2 2 末值型指标末值型指标),(ffttxSJ 是末值时刻 tf 和末值状态 x(tf) 的函数。 如：要求在末值时刻，系统具有最小稳态误差，最准确的定位

7、或最大射程的末值控制中。3 3 复合型指标复合型指标fttffdtttxFttxSJ0),(),( 复合型指标是积分型和末值型指标的复合，是一个更普遍的性能指标形式。4 典型环节的瞬态响应)()(ttr1)(trttr)(典型环节：一阶系统二阶系统瞬态输入信号：冲击信号：阶跃信号：斜坡信号：（1） 一阶系统的瞬态响应11)(TssG惯性时间常数T越大，系统的响应越慢。（2） 二阶系统的瞬态响应2222)(nnnsssG无阻尼=0欠阻尼01二阶系统一般设计为欠阻尼系统，且阻尼越小，超调越大，但响应速度越快。一般选=0.40.8。例：25425)(2sssG求求 的单位阶跃响应。的单位阶跃响应。2

8、222)(nnnsssG5, 6 . 0n求求 当当 时时的单位冲击响应。的单位冲击响应。3.1 3.1 离散系统的稳定性分析离散系统的稳定性分析 在控制系统性能指标中，系统稳定是一个先决条件，一个不稳定的控制系统是不能正常工作的，甚至会导致系统的破坏，所以稳定性是控制系统的最重要的指标。 稳定性是系统的一种固有特性，这种固有的稳定性只取决于系统的结构参数只取决于系统的结构参数，而与系统的初始条件以及外作用无关。 连续系统的稳定性分析是在S平面进行的，离散系统的稳定性分析是在Z平面进行的。一一 连续系统稳定性分析方法及结论连续系统稳定性分析方法及结论特征方程的根，即闭环极点应具有负实部或分布在

9、左半s平面上。直接判断困难。劳斯（Routh）稳定性判据：由特征方程的系数来判断。根轨迹法频率响应特性二二 S S平面与平面与Z Z平面的关系平面的关系S平面与Z平面的映射关系，可由 来确定。设 则有 Tsez Tsez js复变量实部虚部TjTjTTseeeez)(复变量TzezT;模量相位角jsTkjTkTjTTjTTsseeeeeeez)()2( 在Z 平面上，当为某个定值时z=eTs随由-变到的轨迹是一个圆，圆心位于原点，半径为z=eTs。 当=0时，|z|=1，即S平面上的虚轴映射到Z平面上的是以原点为圆心的单位圆。 当0时，|z|0时，|z|1，即S平面的右半面映射到Z平面上的是以

10、原点为圆心单位圆的外部。 1 1 S S平面的虚轴对应于平面的虚轴对应于Z Z平面的单位圆的圆周。平面的单位圆的圆周。 S平面上，每变化一个s时，则对应在Z 平面重复画出一个单位圆，在S平面中-s/2s/2频率范围内称为主频区，其余为辅频区（有无限多个）。 S平面的主频区和辅频区映射到Z平面的重迭称为频率混迭现象，由于实际系统正常工作时的频率较低，因此，实际系统的工作频率都在主频区内。 在连续系统中，如果其闭环传递函数的极点都在S平面的左半部分，或者说它的闭环特征方程的根的实部小于零，则该系统是稳定的。 由此可以想见，离散系统的闭环离散系统的闭环Z Z传递函数的传递函数的全部极点（特征方程的根

11、）必须在全部极点（特征方程的根）必须在Z Z平面中的单位平面中的单位圆内时，系统是稳定的。圆内时，系统是稳定的。 2 S平面的左半面对应于Z平面的单位圆内部。3 S平面的右半面对应于Z平面单位圆的外部。4 S平面的原点对应于Z平面正实轴上z=1的点。5 S平面的负实轴对应于Z平面的单位圆内正实轴。6 S平面左半面负实轴的无穷远处对应于Z平面单位圆的圆心。三三 Z Z平面的稳定性条件平面的稳定性条件图 典型计算机控制系统方框图U (z)u*(t) Y (z)E (z)R (z)y(t)e*(t) r(t)TG (s)Gh(s)TD(z)()(1)()()(00zGGzDzGGzDzWhh 根据S

12、平面和Z平面之间的关系，离散系统的稳定性可以由特征方程稳定区域的根在Z平面中的位置来确定 必须位于必须位于Z平面中平面中单位园的内部。单位园的内部。 如果有一个根恰好位于单位园上则系统处于临界稳定，临界稳定在实践中属于不稳定。)()(1)()()(00zGGzDzGGzDzWhh0)()(10zGGzDh稳定区域不稳定区域临界稳定由离散系统阶跃输出响应的一般关系式也可推出相同由离散系统阶跃输出响应的一般关系式也可推出相同结论结论 设离散系统的闭环Z传递函数为：设有n个闭环极点zi互异，mn，输入为单位阶跃函数，则 其中 10111( )( )( )( )( )mmmnnnb zb zbYzB

13、zw zR zza zaA z01( )1niiiCCY zzzzznizAzzBzzCWABCizziiii, 2 , 1,)() 1()()(),1 () 1 () 1 (0 取Z反变换得： 上式为采样系统在单位阶跃函数作用下输出响应序列的一般关系，第一项为稳态分量，第二项为暂态分量。 若离散系统稳定，则当时间k时，输出响应的暂态分量应趋于0，即：这就要求zi1 离散系统稳定的充分必要条件是：闭环闭环Z Z传递函传递函数的全部极点应位于数的全部极点应位于Z Z平面的单位圆内。平面的单位圆内。 ,3 ,2, 1)(1)1()(1kzCkwkynikii1lim0nkiikiC z例3.1 某

14、离散系统的闭环Z传递函数为 w(z)的极点为 ： z1=-0.237，z2=-1.556由于| z2 |=1.5561，故该系统是不稳定的。 111368. 0792. 1116. 3)(zzzzw四四 RouthRouth稳定性准则在离散系统的应用稳定性准则在离散系统的应用 连续系统的Routh稳定性准则不能直接应用到离散系统中，因为Routh稳定性准则只能用来判断复变量代数方程的根是否位于S S平面的左半面平面的左半面。 如果把Z平面再映射到S平面，则采样系统的特征方程又将变成S的超越方程。 使用双线性变换双线性变换，将Z平面变换到W平面，使得Z平面的单位圆内映射到W平面的左半面。 设 （

15、或 ），则 （或 ） 其中z，w均为复变量，即构成W变换，如图3.2所示。 11wwzwwz1111zzw11zzwjz令2222222212112112jTzzTwz则 这种变换称为W变换，它将Z特征方程变成W特征方程，这样就可以用用RouthRouth准则来判断准则来判断W W特征方程的特征方程的根是否在根是否在W W平面的左半面，即系统是否稳定。平面的左半面，即系统是否稳定。 经过Z-W变换，可得到代数方程0)(0111AzAzAzAzDnnnn对上式施用劳斯判据便可判断系统的稳定性。00111awawawannnn离散系统的特征方程Z-W变换劳斯判据00111awawawannnn特征

16、方程;1;1;1;1;1;1;1;1;1414113313112212111417113315112213111716135141231211ccbbcdccbbcdccbbcdbbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaabnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn（1）若系数an， an-1 ， a1 ，a0的符号不相同，则系统不稳定。若符号相同，建立劳斯行列表。劳斯判据00111awawawannnn特征方程（2）若劳斯行列表第一列各元素均为正，则所有特征根均分布在左半平面，系统稳定。（3）若劳斯行列表第一列出现负数，表明系统不稳定。 第一列元素符号变化的次数，表

17、示右半平面第一列元素符号变化的次数，表示右半平面上特征根的个数。上特征根的个数。例3.2 某离散系统如图3.3所示，试用Routh准则确定使该系统稳定k值范围，设T=0.25s。解：该系统的开环Z传递函数为： r(t)y(t)T图3.3 例3.2离散系统)4( ssk)368.0)(1(158.0)4()(zzkzsskzG该系统的闭环Z传递函数为：求得该系统的闭环Z特征方程为：对应的W特征方程为：Routh表为 w2 0.158k (2.736-0.158k) w1 1.264 0 w0 (2.736-0.158k) 0解得使系统稳定的k值范围为0k17.3 kzzzkzzGzGzW158.

18、0)368.0)(1(158.0)(1)()(0158.0)368.0)(1(kzzz0)158. 0736. 2(264. 1158. 02kwkw 显然，当k17.3时，该系统是不稳定的，但对于二阶连续系统，k为任何值时都是稳定的。这就说明k对离散系统的稳定性是有影响的。 一般来说，采样周期一般来说，采样周期T T也对系统的稳定性有影响。也对系统的稳定性有影响。缩短采样周期，会改善系统的稳定性。缩短采样周期，会改善系统的稳定性。对于本例，若T=0.1s，可以得到k值的范围为0k40.5。 但需要指出的是，对于计算机控制系统，缩短采样周期就意味着增加计算机的运算时间，且当采样周期减小到一定程

19、度后，对改善动态性能无多大意义，所以应该适当选取采样周期。 五五 朱利朱利(Jury)(Jury)稳定判据稳定判据 0)(0111azazazazDnnnn设离散控制系统的特征方程为其中a0， a1， a2， an为实数，以及an 0。按多项式的系数，构造朱利阵列如表1所示。表 朱利阵列格式2,1,0,2,1,0,1,1,0,31301100irrrrsnjbbbbcnkaaaabiijnjnjknknk（1）朱利稳定性判据特征多项式的根全部都位于单位圆内的充要条件是下列不等式成立：123)(234zzzzzD例例 系统特征方程系统特征方程D（1）=20,成立；（-1）4D（-1）=40,成立

20、；|a0| |b3| ,成立; |c0|c2| ,不成立3.2 3.2 离散系统的过渡响应分析离散系统的过渡响应分析 一个控制系统在外信号作用下从原有稳定状态变化到新的稳定状态的整个动态过程称之为控制系统的过渡过程。 一般认为被控变量进入新稳态值附近5%或2%的范围内就可以表明过渡过程已经结束。 通常，线性离散系统的动态特征是系统在单位阶跃信号输入下的过渡过程特性(或者说系统的动态响应特性)。 )()()(zRzYzW)()()(zRzWzY)()()(1zRzWZkTy一一 定量计算定量计算公式计算公式计算 如果已知线性离散系统在阶跃输入下输出的Z变换Y(z)，那么，对Y(z)进行Z反变换，

21、就可获得动态响应y*(t)。 将y*(t)连成光滑曲线，就可得到系统的动态性能指标（即超调量%与过渡过程时间ts），如图3.4所示。 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T 10T 11T 12T 13T 1.61.41.210.80.60.40.2y(t)tts图3.4 线性离散系统的单位阶跃响应%5例)(1()1 () 1()()1 ()(1aTaTaTaTezzaTeezaTeKssGZzzG632. 0264. 0368. 0)(1)()(2zzzzGzGzW设线性离散系统如图所示，且设线性离散系统如图所示，且a=1，K=1，T=1s，输入为单位阶跃序列。试分析系统的过

22、渡过程输入为单位阶跃序列。试分析系统的过渡过程。解解：被控对象Z传递函数.997. 0973. 0961. 0981. 0032. 1081. 1077. 1993. 0868. 0802. 0895. 0147. 14 . 14 . 1368. 0632. 0632. 12264. 0368. 0)()()(16151413121110987654321232zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzRzWzY分析结果：分析结果：调整时间ts=12s（12个采样周期），峰值时间tp=3s ，超调量p=40，振荡次数N=1.5次，衰减比=5:1 ，稳态误差ess=0。 二二 定性分析定性分析

23、-瞬态响应分析 研究离散系统在典型信号作用下的瞬态响应，以了解离散系统的动态性能。式中zi与zj分别表示闭环零点和极点。利用部分分式法，可将W(z) 展开成 由此可见，离散系统的时间响应是它各个极点时间响应的线性叠加。 )()()()()()(11mnzzzzKzRzYzWnjjmiinnzzzAzzzAzzzAzW2211)(1 1 单位阶跃信号信号输入的响应分析单位阶跃信号信号输入的响应分析1)()()()(1)()()()()(2121 zzpzpzpzzzzzzzKzzzAzBzRzWzYnmniiipzCzCzAzzBzzY101)() 1()()() 1 () 1 () 1 (0W

24、ABCipziizAzzBpzC)() 1()()(nikiiniiipCkCpzzCzzCZky10101)()( 11)(零点多项式极点多项式零点极点式中稳态输出瞬态响应ipziizAzzBpzC)() 1()()(nikiipCky1)()()sin(cosiiijiijrerpi)sin(cos)(iikiikiikjkrCpC其瞬态响应为对应于极点分析：)sin(cosiiijiijrerpi)sin(cos)(iikiikiikjkrCpC当ri1时，为发散序列。（1）当pi为正实数极点时， i =0，瞬态响应为kiirC分析：)sin(cosiiijiijrerpi)sin(co

25、s)(iikiikiikjkrCpCkrCkiicos当ri1时，为发散振荡。（2）当pi为负实数极点时， i =180 ，瞬态响应是振荡的，为（3） 当pi为复数极点时，必为一对共扼复数极点， 瞬态响应为其中 和 也是共轭的，因此瞬态响应是振荡的。ijiierpijiierpiijkkiijkkiierCerC1800iCiC)cos(2iikiijkkijijkkijikrCereCereCiiii当pi为复数极点时，瞬态响应是振荡的。)cos(2iikiijkkijijkkijikrCereCereCiiii当ri1 时，振荡是发散的。当ri=1时，等幅振荡。当ri0dB， c0要使系统有较好的动态响应指标，相位裕度一般不要小于30；幅值裕度一般不要小于6dB。闭环系统频域性能指标设闭环系统增益常数为1 零频率振幅M(0)反映了系统稳态精度。 (1)若M(0)1，系统稳态位置无差；(2)若M(0)1，系统稳态位置有差。 谐振峰值MrMr越大表示系统在时域的振荡越激烈，超调量也越大。所以希望Mr接近1，通常取Mr 1.11.5。 谐振频率r 闭环带宽cc（b）闭环控制系统一般具有低通幅频特性， cc大，即通频带较宽，可使较高的频率分量通过，所以上升时间短，快速性好，且失真小，但同时也会因通频带宽