概率与概率分布

1、第三章 概率与概率分布 我们研究的目的不在于单纯描述一个样本，而是要求用样本统计数来推断其所属总体的参数，即统计推断。在叙述统计推断之前，首先介绍一些统计推断的基础知识概率和概率分布。第一节 基础概率 概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人寿保险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料，这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。 概率论的创始人是法国的帕斯卡(16231662)和费尔马(16011665)，他们在以通信的方式讨论赌博的机率问题时，发表了骰子赌博理论一书。棣莫弗(16671754)发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利(1654一1705)提出了二项分布理论。1814年，

2、法国的拉普拉斯(17491827)发表了概率分析论，该书奠定了古典概率理论的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研究。此后，法国的泊松(17811840)提出了泊松分布，德国的高斯(17771855)提出了最小平方法。 第一节 概率的基本概念1. 概率论的一些基本术语 试验：通常我们把根据某一研究目的，在一定条件对自然现象所进行的观察或试验统称为试验。例如，抛一枚硬币；掷一次骰子；观察随机挑选的6个新生婴儿中男婴的数目 随机试验：试验之前无法预测出现哪一个结果的试验称为随机试验。例如，抛硬币；掷骰子；观察随机挑选的6个新生婴儿中男婴的数目；在一定条件下生长的小麦随机挑选出一株测株高。注意：生物

3、统计学里是以随机试验为研究对象的。 基本事件：试验的每一个最基本的结果。一般用小写字母a,b,c,来表示 事件：基本事件的集合。一般用大写字母A,B,C,来表示 不可能事件：任何一次试验中，一定不会出现的结果。用表示。例一，在掷一次骰子的试验中，有如下的一些可能发生的事件：基本事件有6个：1,2,3,4,5,6其它的事件有：事件A得到一个奇数1,3,5事件D得到一个不小于2的数2,3,4,5,6事件B得到一个偶数2,4,6事件C得到最大的数6事件E得到数字0 频率 设事件A在n次重复试验中发生了m次，其比值 称为事件A发生的频率，记为： W(A)= 0W(A) 1mnmn 概率 某事件A在n次

4、重复试验中，发生了m次，当试验次数n不断增大时，事件A发生的频率W(A)就越来越接近某一个确定值p，于是定义p为事件A发生的概率： P(A)=p P(A)=p=limnmn 概率的基本性质: 任何事件的概率都在0和1之间； 0P(A) 1 必然事件的概率等于1； 不可能事件的概率等于0。 第二节 概率的计算1. 事件的相互关系 和事件和事件事件A和事件B至少有一件发生而构成的新事件称为事件A和事件B的和事件，以A+B表示。 积事件积事件事件A和事件B同时发生而构成的新事件称为事件A和事件B的积事件，以A*B表示。 互斥事件互斥事件事件A和事件B不可能同时发生，称事件A和事件B互斥，即A*B=V

5、。 对立事件对立事件事件A和事件B必有一个事件发生，但两者不能同时发生，即A+B=U,A*B=V,则称事件B为事件A的对立事件，可表示为 。 独立事件独立事件事件A的发生与事件B的发生毫无关系，反之，事件B的发生与事件A的发生也毫无关系，则称事件A和事件B为独立事件，B=B/A 或A=A/B。 完全事件系完全事件系如果多个事件A1,A2,A3,An两两相斥，且每次试验结果必然发生其一，则称事件A1,A2,A3,An为完全事件系。A2. 事件的运算 事件的和（并） 事件A和事件B的和，记为A U B，包含A和B里的一切基本事件或元素，其意义是“A，B两事件至少发生一个”。例如：A=随机抽取一名患

6、者，测得红血球含量是115个单位 B=随机抽取一名患者，测得红血球含量是1030个单位事件A U B随机抽取一名患者，测得红血球含量是130个单位 事件的交 事件A和事件B的交，记为A B，简记为AB，包含A和B共同拥有的基本事件或元素，其意义是“A，B两事件同时发生”。例如：A=随机抽取一名患者，测得红血球含量是115个单位 B=随机抽取一名患者，测得红血球含量是1030个单位事件A B随机抽取一名患者，测得红血球含量是1015个单位 互不相容事件 如果A和B两事件的交是不可能事件，即 A B，则A和B称为互不相容。例如：在例一中，A掷骰子掷得一个奇数，B掷骰子掷得一个偶数，则A B,即A和

7、B两事件互不相容。3. 概率的求法两种途径：（1）统计方法（适用于进行了大量试验时）：假设试验共进行k次，事件A出现了l次，则事件A发生的频率是l/k。随着k的增大，频率l/k趋于一个常数p，那么p就是事件A发生的概率。例如：如何求一个人某年中被闪电击中的概率？中国1.1109人中，在2005年被闪电击中的人数为3300人，则某人被闪电击中的概率为3300/1.1109=3106。（2）理论方法（适用于可以进行数学推算，在试验的每个基本事件等可能时）：例如：A掷骰子得到一个奇数1,3,5的概率为P(A)=m/n=3/6=1/2nmAAPA所有的基本事件数中包含的基本事件数的概率事件)(解：事件

8、A孩子性别为两男男男所有可能的基本事件有：男男男女女男女女所以P(A)=m/n=1/4两个孩子的家庭里，孩子性别为两男的概率是多少？同理，孩子性别为一男一女的概率是2/4=1/2注意：在生物统计学里，我们着重于讨论理论方法。 4.概率计算法则4.1 加法定理互斥事件A和B的和事件的概率等于事件A和B的概率之和。 推理推理1. 如果A1,A2,A3,An为n个互斥事 件，则其和事件的概率为： P(A1+A2+A3+An)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(An) 推理推理2. 对立事件 的概率为：P( )=1-P(A) 推理推理3. 完全事件系的和事件的概率等于1.AA 4.2 乘法定理乘

9、法定理如果事件A和事件B为独立事件，则事件A和事件B同时发生的概率等于事件A和事件B各自概率的乘积。 P(A*B)=P(A)*P(B) 推理推理 如果A1,A2,A3,An为彼此独立， P(A1*A2*A3*An)=P(A1)*P(A2)*P(A3)*P(An) 例二，一个袋子里放有10个男人和15个女人的姓名纸条。法官从袋子里依次抽出两个姓名。有两种可能的抽样方法： （1）非放回式抽样，（2）放回式抽样。求每种方法下两个姓名均为男性的概率第二次抽得男性）（第一次抽得男性两个姓名均为男性P)P( 解： （1）非放回式抽样：任何东西抽出后就不再被放回去第一次抽得男性）（第二次抽得男性（第一次抽得

10、男性）乘法法则|PP15. 02492510第二次抽得男性）（第一次抽得男性两个姓名均为男性P)P( （2）放回式抽样：任何东西被抽出后，在实行下一次的抽取前被放回去第一次抽得男性）（第二次抽得男性（第一次抽得男性）乘法法则|PP16. 025102510 4.3 条件概率 在许多概率计算问题中，往往会遇到在事件B已发生的条件下，求事件A发生的概率，这时由于新增了事件B已经发生这个条件，所以它与事件A的概率的意义不同，把这种概率叫做事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为P(A/B). 计算公式：P(A/B)=P(AB)/P(B) 例1：甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年气象记录，知道

11、甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，求（1）乙市为雨天时甲市也为雨天的概率； （2）甲市为雨天时乙市也为雨天的概率。 解：设A=甲市是雨天，B=乙市是雨天 P(A)=0.2, P(B)=0.18, P(AB)=0.12 P(A/B)=P(AB)/P(B)=0.12/0.18=0.67 P(B/A)=P(AB)/P(A)=0.12/0.20=0.60 由此推出:两事件积的概率等于其中某一事件的概率乘另一事件在前一事件已发生条件下的条件概率。 P(AB)=P(B)P(A/B) P(B) 0 P(AB)=P(A)P(B/A) P(A) 0推理：设A1,A2,

12、A3,An为n个事件，且P(A1A2A3An-1) 0则： P(A1A2A3An) =P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)P(An/A1A2A3An-1) 4.4 全概率公式和贝叶斯公式 全概率公式是概率论中用来把一个复杂事件分解为若干个互斥的简单事件，然后利用概率的加法公式和乘法定理得到最终结果的公式。而贝叶斯公式则是全概率公式的逆运算。 全概率公式全概率公式 设试验E的样本空间为U，B为E的事件， A1,A2,A3,An为U的一个完备事件组，且P(Ai) 0(i=1,2,3,n)则对于B有： P(B)= 贝叶斯公式（逆概公式）贝叶斯公式（逆概公式）由果溯因由果溯因 设试验E的样本

13、空间为U，B为E的事件， A1,A2,A3,An为U的一个完备事件组，且P(Ai) 0(i=1,2,3,n)，则对于任一事件B，P(B) 0,有： 1() (/)niiiP A P B A1(/)() (/)/() (/)niiiiiiP ABP A P B AP A P B A 例2：甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设甲、乙、丙射中的概率分别为0.4，0.5，0.7，又设若只有一人射中，飞机落下的概率为0.2，若两人击中，飞机落下的概率为0.6，若三人击中飞机必落，求三人射击一次，飞机落下的概率？例3：中年男性人群中，20%超重，50%正常，30%体重偏低，他们患动脉硬化的概率分别为0.3，0

14、.1，0.01，从中随机抽取一人，恰为动脉硬化患者，求他可能来自各人群的概率？ 习题 仓库中有四批种子，第一批占仓库种子总数的10%，第二批占20%，第三批占30%，第四批占40%，已知第一批种子的发芽率为0.8，第二批为0.7，第三批为0.6，第四批为0.5，今随机从仓库中抽取一粒种子，问其不发芽种子的概率为多少？如果抽取到的种子为发芽种子，试问该种子来自第三批的可能性为多大？ 第四节 概率分布 随机事件及其概率回答的是随机现象某一局部结果，例如对给定的复合事件求其概率。而概率分布则要在满足完备性(穷举)和互不相容性(互斥)的前提下，回答随机现象一共会出现多少种结果，以及每种结果所伴随的概率

15、是多少 在统计中，概率分布是就随机现象呈现的宏观结果而言的。所谓宏观结果，是指可以在宏观层次加以识别的而与特定排列次序无关的样本空间的子集。变量的概率分布描述该变量的所有值的分布的规律，也就是变量对应的总体的分布。概率分布总体的值的分布频数分布样本的值的分布1. 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 离散型随机变量的取值是可数的，如果对离散型随机变量的取值是可数的，如果对X的每个可能取值的每个可能取值xi计计算其实现的概率算其实现的概率Pi ，我们便得到了离散型随机变量的概率分布，即，我们便得到了离散型随机变量的概率分布，即iiPxXP)( 离散型随机变量离散型随机变量的概率分布也

16、可以用的概率分布也可以用表格和图形两种形式表格和图形两种形式来表示。由于离散型来表示。由于离散型随机变量的特点，表随机变量的特点，表示离散型随机变量概示离散型随机变量概率分布多为折线图。率分布多为折线图。 离散型随机变量的分布规律可用分布列的形式来表示。ixX 1x2xnxiiPxXP )(2PnP1P离散型变量的概率分布可以表示为： P(x=xi)=pi i=1,2,3,.,n11niip1P2PnP。显然概率函数应满足：的概率。定义了值）概率函数：（ 1)(, 0)( )()(1xxpxpxxpxXP？）是不是一个概率函数（例一，3 ,2, 1 ,0 5)(xxxpxxpxp不可能是概率函

17、数。，所以解：)(2. 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布 连续型随机变量的取值充满某一区间，因而取某一数值讨连续型随机变量的取值充满某一区间，因而取某一数值讨论其概率是无意义的。为此，我们引进概率密度的概念来表论其概率是无意义的。为此，我们引进概率密度的概念来表达连续型随机变量的概率分布。达连续型随机变量的概率分布。)(xxxxXxxPxX)22(lim)(0 频率密度等于频率除以组距。以频率密度为纵坐标，可以作出频率分布直方图。类似地，以概率密度 为纵坐标，可以作出概率密度曲线。所不同的是，概率密度由于对组距求了x0的极限，其图形乃平滑曲线。)(x)

18、(x)(x连续型变量的一个特征是取的值非常多（不可数），无法象离散型变量那样对每一个值赋予一个概率。所以，在研究连续型变量时，我们不研究它取每个值的概率，即P（Xx），而是研究它在一个区间中取值的概率。具体来说，有三种形式： P（aXb） P（Xd）另一方面原因：P（Xx）0对于任何x。在研究连续型变量概率时，“”,“”均可相应换成“”,“”，而概率数值不变。 P（aXb） P（a X b） P（Xd）P（Xd）问题：怎样求这三种概率？问题：怎样求这三种概率？答：借助于密度函数f(x)曲线（或称概率分布密度曲线） 每个连续型变量都有它自己的密度函数曲线。f(x)的图形 密度函数曲线总在x轴的上

19、方，且曲线下的总面积等于1。badxxfbaxfbXaP)( )()(之间的面积和曲线下在cdxxfcxfcXP左边的面积曲线下在)( )()(ddxxfdxfdXP)( )()(右边的面积曲线下在在分布函数已知的情况下，概率也可以通过分布函数来求。)()()(aFbFbXaP所以，)(1)(1)(cFcXPcXP)()(dFdXP第三节 随机变量的分布 二项分布 泊松分布 正态分布1. 二项分布1.1 二项分布的定义 二项分布是一种离散型随机变量的分布，在实验过程中常可以把资料分成两个类型，这两个类型的概率分布称为二项分布。 例如，哺乳动物是雄性还是雌性，种子的发芽与不发芽等等，这样的结果只

20、能是非此即彼两种情况，构成对立事件，我们把这种非此即彼事件所构成的总体称为二项总体，其分布为二项分布。 1.2 二项分布的概率函数 对于二项总体，在进行重复抽样试验中，具有以下共同特征：（1）每次试验只有两个对立结果，记作A与 ，它们出现的概率分别为p与q (q=1-p).（2）实验具有重复性和独立性。重复性指每次试验条件不变，即在每次试验中事件A出现的概率皆为P。独立性是指任何一次试验中事件A的出现与其余各次试验中出现何种结果无关。A 以x表示在n次试验中事件A出现的次数。X是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，2，,n,其概率分布函数为： 其中 ，我们称 为随机变量x的二项分布，

21、记作 B(n,p).!xnnCxnx( )xxn xnP xC p q( )P x 1.3 二项分布概率的计算例1，某批鸡种蛋的孵化率是0.90，从该批种蛋中每次任选5个进行孵化，试求孵出小鸡的各种可能概率。例2，某小麦品种在田间出现自然变异植株的概率为0.0045，试计算：调查100株，获得两株或两株以上变异植株的概率是多少？例3，有一批玉米种子，出苗率为0.67。现任取6粒种子种1穴中，问这穴至少有1粒种子出苗的概率是多少？服从二项分布。则设出苗的种子数为。视出苗为成功，有个二项分布的问题。解：根据题意，这是一xxn,67. 0 , 6 )6()2() 1() 1()1(xPxPxPxPP

22、粒出苗至少有9987.00905.00799.00157.033.067.033.067.033.067.0066642265116CCC这说明每穴种6粒种子，几乎肯定出苗。9987.00013.0133.067.01 )0(1)(1)1(6006CxPPP没有出苗粒出苗至少有另外一种方法：1.4二项分布的概率分布表和概率分布图除以P(x)表示，二项分布也可通过表或图来直观显示。xP(x)00.06210.25020.37530.25040.062例如，抛硬币4次，获得的正面数记为X，则X服从二项分布。X的概率分布表为062.05 .05 .0)0(, 5 .0,44004CPn时，分布偏斜：

23、时，分布对称；5 . 05 . 0X的概率分布图为注意：时，负偏时，正偏5 . 05 . 0 1.5 二项分布的参数若随机变量x服从二项分布，则有二项分布的总体平均数（次数）为：二项分布的总体标准差（次数）为：XnpXnpq例4，某树种幼苗成材率为70，现种植2000株，问成材幼苗数的平均值和标准差是多少？服从二项分布。则株幼苗的成材数为解：设XX,2000。根据题意，70.0 ,2000n140070.02000n平均数49.203 . 07 . 02000)1 (n标准差2 泊松分布泊松分布2.1 在什么情形下应用泊松分布泊松分布是一种用来描述一定的空间或时间里稀有事件发生次一定的空间或时

24、间里稀有事件发生次数数的概率分布。服从泊松分布的变量的一些例子： 一定畜群中某中患病率很低的非传染性疾病患病数或死亡数。 畜群中遗传的畸形怪胎数 单位空间内某些野生动物或昆虫数 每升饮水中的大肠杆菌数 在研究中，有许多事件出现的概率很小，而样本容量或试验次数却往往很大，即有很小的p值和很大的n值。这时，二项分布就变成另外一种特殊的分布，即泊松分布。 2.2 泊松分布概率函数 泊松分布也是一种离散型随机变量的分布，变量X只取零和正整数：0,1,2，其分布的概率函数为： 泊松分布的平均数和方差、标准差为：( )!xeP xx22.3泊松分布概率的计算泊松分布概率的计算例1，显微镜下观察一种悬浮液中

25、的某种颗粒，据前人报告，平均每张样片可以观察到3个微粒，问在一次观察中看到3个微粒的概率是多大？少于3个微粒的概率是多少？若观察100张片子，大约有多少张片子看到的微粒数少于3个？。松分布，且有事件数，所以它服从泊里的稀有，可以看成是一定空间微粒数解：一张片子里看到的3X2240.0! 33!)3(33exeXPx4232.0 !23! 13!03 )2()1()0()3(323130eeeXPXPXPXP)(32.424232. 0100)3(100张大约有XP3.正态分布正态分布正态分布是一种最重要的连续型变量的概率分布。 在生物科学研究里，有许多变量是服从或近似服从正态分布的，如水稻产量、小