第十章 动量矩定理

1、第十章第十章 动量矩定理动量矩定理转动惯量转动惯量:2iilmJmJll22mdJJCzz2121mlCzJzJ231ml0zJ212mR动量矩动量矩:OLiiirmvprLLCCOvrmLcOzzJL OzCzzCLJL (mv )质点系动量矩定理质点系动量矩定理:eOiOMdtLdeCiCMdtLd1 10-4 0-4 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 F2F1rivimi FizezizMJdtd)(ezizMJ（1）已知刚体的转动规律，求作用在刚 体上的主动力矩； （2）已知作用在刚体上的主动力矩，求刚体的转动规律。 解决两类问题： zzJL ezizMdtdL 或zziJM刚

2、体定轴转动微分方程 例例1 1：齿轮传动装置，开始时角速度分别为齿轮传动装置，开始时角速度分别为 0101， 0202，重分，重分别为别为P P1 1，P P2 2，求耦合后的求耦合后的 1 1值。值。解解:12010212112222PPRdR dgg 22222222dPdJRFRdtgdt2211RR)(2)(20222201111gPRgPR121022201111)RPPPRPR（左左轮轮: :右右轮轮: :运动学关系运动学关系:方程右端化简相等方程右端化简相等: : 1R1 2R2 02 01R1R2FNFFFN21111112dPdJRFRdtgdt 例例2：均质圆柱半径为均质圆

3、柱半径为r，质量为质量为m，置该置该圆柱于墙角，初时角速度圆柱于墙角，初时角速度 0，由于摩擦阻，由于摩擦阻力，使转动减速，摩擦因数力，使转动减速，摩擦因数 fs求：使圆柱停止转动所需的时间。求：使圆柱停止转动所需的时间。解：BFNBFAFNAF应用刚体定轴转动的微分方程CiCMJ) 1 (212rFrFt ddmrBA考虑质心运动定理考虑质心运动定理 ycxccFymFxmFam )3(0)2(0mgFFFFANBBNA)5()4(sNBBsNAAfFFfFFC解得22221,1ssBssAffmgFfmgfF代入（1）式)1 ()1 (2dd2sssfrfgft得dtfrfgfdtsss0

4、20)1 ()1 (20积分未知量NBNABAFFFF,)1 (2)1 (02sssfgfrft1 10-50-5 刚体平面运动的微分方程刚体平面运动的微分方程SyzxyzxSaC iCFamciCMdtLdxiCxFmayiCyFmaCCMdtdL CCJL CxCximamxFyiCCyFymma CiCCMJJ 刚体平面运动的微分方程刚体平面运动的微分方程C例例5：均匀圆盘重量均为均匀圆盘重量均为P，半径均为半径均为r。求：。求：B物体滚下物体滚下时质心的加速度与绳子张力。时质心的加速度与绳子张力。FrJAAFrJBBFPagPBBABBAarrBBrgPPgPr212rgB52解解:g

5、aB54PF51加速度加速度:绳子张力绳子张力:ABPP B BFFaB B A A例例3：均匀圆盘沿斜坡滚下，已知盘质量为均匀圆盘沿斜坡滚下，已知盘质量为m，半径，半径 r, 求：求：下滚时盘质心的加速度与摩擦力。下滚时盘质心的加速度与摩擦力。FamgmamaccxsinFrJCmarmmgmacc21sinrg3sin23sin2gac3mgFsin解解:NcyFmgmacos0mrJarcc221,有有:得得: CPCayx FNF当瞬心离质心矩离是常数，或瞬心的加速度恒指向质心时也可以选瞬心为动量矩的矩心。IIMdtdLvBvCvA AB B0vDDCCvI例例6 6：均质鼓轮放置粗糙

6、的地面上，在半径为均质鼓轮放置粗糙的地面上，在半径为r 的轴柱上绕着的轴柱上绕着绳索，索的拉力为绳索，索的拉力为F1 1，F2 2。求：轮的角加速度，摩擦力。求：轮的角加速度，摩擦力。解解:maFFF12FRrFrFJ210Ra )()(21rRFRrFJI)1()()202211sggJPRrRFRrF（RJrFFF0210:x:或或:运动学关系运动学关系:得得:RF2F10IFNF a例例6 6：一根筷子在光滑地面上，开始时手拿着如图示位置，一根筷子在光滑地面上，开始时手拿着如图示位置，然后松手然后松手, ,求：筷子此时的角加速度和地面的正压力。求：筷子此时的角加速度和地面的正压力。解解:

7、)31(sin2sin2lgPF)31(sin312sin2laaCyCPF ，0PF5245，条件条件:1. aCx=0y:xyP Fac AaACAACaaa2. t=0, 00。aACAa122lmJCsin2lFJcFmgmaCc:y:2laCA例例8 8：4kg的均质板静止悬挂。求：B点的绳或弹簧被剪断的瞬时，质心加速度各为多少。解：解：1.考虑第一种情况，作受力分析和运动分析，如图所示。mgTC)3(25. 0)2() 1 (0TJTmgmamaccycx应用刚体平面运动微分方程AaCAanCAaAa又由(1)知acx0 初瞬时00ncAa则有25. 0coscosACaaaCACyC所以(4)联立解(2)(3)(4)式 2m/s92. 61712,25. 01712gagc2.考虑第二种情况，受力分析如下，mgT初瞬时弹簧还未变形，弹簧力为mgT21)3(25. 0)2() 1 (0TJTmgmamaccycx根据平面运动微分方程由(2)式得 9 . 42gaacycm/s2 例例7 7：均质杆重为均质杆重为P，被绳索如图约束，突然剪被绳索如图约束，突然剪断右侧绳索断右侧绳索, ,求：此时左侧绳索张力。求：此时左侧绳索张力。解解:CAAaaaC0nCAa30cos30cos:CAAagP