北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编：导数及其应用

1、北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、(东城区2016届高三上学期期中)曲线义工)=?干在点处的切线方程是A、x=1B、y=C、x+y=1D、xy=122、(东城区2016届高三上学期期中)已知定义在R上的函数f(x)的图象如图，则、一的解集为E.(1,2)D,(©o,1)U(28)C.C8,1)参考答案1、B2、A二、填空题1、(东城区2016届高三上学期期中)若过曲线上的点P的切线的斜率为2,则点P的坐标是参考答案1、(e,e)三、解答题1、(昌平区2016届高三上学期期末)已知函数f(x)=2ln(x+1).(I)若函数f(x城点

2、P(x0,f(%)处的切线方程为y=2x,求切点P的坐标；(n)求证：当xW0,e1时，f(xRx22x；(其中e=2.71828)(出)确定非负实数a的取值范围，使得Vx20,f(x)2a(2x-x2)成立.2、(朝阳区2016届高三上学期期末)已知函数f(x)=ax+lnx,其中awR.(I)若f(x)在区间1,2上为增函数，求a的取值范围；(n)当a=-e时，(i)证明：f(x)+2<0；(五)试判断方程f(x)|=2+3是否有实数解，并说明理由.x2x2.3、(朝阳区2016届局三上学期期中)已知函数f(x)=alnx+(a+1)x.2(I)当a>0时，求函数f(x)的单调

3、区间；，、1(n)当a=1时，证明f(x)>-.2.a-214、(大兴区2016届高三上学期期末)已知函数f(x)=ax+2-2a(a>0).x(I)当a=1时，求函数f(x)在点(2,f(2)处的切线方程；(n)求函数f(x)的单调区间；(出)若f(x)>2lnx错误！未找到引用源。在1,在)错误！未找到引用源。上恒成立，求a的取值范围.xe5、(东城区2016届高三上学期期末)已知函数f(x)=a(xlnx).x(I)当a=1时，试求f(x)在(1,f(1)处的切线方程；(n)当aW0时，试求f(x)的单调区间；(出)若f(x)在(0,1)内有极值，试求a的取值范围.6、

4、(东城区2016届高三上学期期中)已知函数f(x)=一门工之一+632ER)。(I)若曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=1,求a,b的值；(II)求f(x)的单调区间及极值。132-7、(丰台区2016届局三上学期期末)已知函数f(x)=-ax+x(aA0).3(I)求函数y=f(x)的极值；1.一1(II)右存在实数XoW(-1,0)且Xo#-彳，使得f(Xo)=f(一),求实数a的取值沱围.，2218、(海江区2016届图二上学期期末)已知函数f(x)=kx(k+1)lnx.x1(I)当k=一时，求函数f(x)的单调区间和极值；2(n)求证：当0<k<1时，关于x

5、的不等式f(x)>1在区间1,e上无解.(其中e=2.71828川)9、(海淀区2016届高三上学期期中)已知函数/+办+1,曲线Jn/V)在点(0,1)处的切线为l(I)若直线l的斜率为一3,求函数/(工)的单调区间；(n)若函数是工)区间2,a上的单调函数，求a的取值范围.a110、(石景山区2016届高三上学期期末)已知函数f(x)=x-1+二，(auR,e为自然对数的底数).e(i)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(n)求函数f(x)的极值；(m)当a=1时，若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点，求k的最大值.2 I1111、(西城

6、区2016届高三上学期期末)已知函数f(x)=x1,函数g(x)=2tlnx,其中t<1.(I)如果函数f(x)与g(x)在x=1处的切线均为l,求切线l的方程及t的值；(n)如果曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点，求t的取值范围.参考答案，、一21、(I)解：定义域为(一1,y),f'(x)=-x1由题意，f'(%)=2,所以x0=0,f(0)=0,即切点P的坐标为(0,0).3分(II)证明：当xW0,e1时，f(x)>x2-2x,可转化为当x,0,e1时,f(x)x2+2x仝0恒成立.设g(x)=f(x)x2+2x,所以原问题转化为当xw0,e_

7、1时，g(x%in20恒成立.224-2x2所以g'(x)=2x2=.x1x1令g'(x)=0,则xi=32(舍)，x=&.所以g(x),g'(x)变化如下:x_0(0J2)在(立e1)e-1(J'(x)+0g(x)g(0)极大值g(e-1)因为g(0)=f(0)0=0,g(e-1)=2-(e-1)2+2(e-1)=2+(e-1)(3-e)>0,所以g(x)min=0.当xw0,e一1时，f(x)之x2-2x成立.2(出)斛：Vx>0,f(x)>a(2x-x),可转化为当x20时，f(x)-a(2x-x2户0恒成立.设h(x)=f(x)

8、-a(2x-x2),222(ax1-a)所以h'(x)=-2a2ax=(aa).x1x1当a=0时，对于任意的x>0,h,(x)=>0,x+1所以h(x)在0,收)上为增函数，所以h(x)min=h(0)=0,所以命题成立.当a>0时，令h'(x)=0,则ax2+1-a=0,当1a之0,即0<a<1时，对于任意的x>0,h'(x)>0,所以h(x)在0,收)上为增函数，所以h(x)min=h(0)=0,所以命题成立当1-a<0,即a>1时,a-1a所以h(x),h'(x)变化如下:x0(0,x2)Xz(为,收

9、)h'(x)0+h(x)极小值/因为h(X)min=h(X2)<h(0)=0,所以，当x之0时，命题不成立.综上，非负实数a的取值范围为0,1.：.13分12、解：函数f(x)定乂域XU(0,-)，f(x)=a+.x(I)因为f(x)在区间1,2上为增函数，所以f'(x)20在xw1,2上恒成立,1 1即f(x)=a+1之0,a之在xE1,2上恒成立，xxEl-1贝Ua2.2(n)当a=-e时，f(x)=-ex+lnx,f卜)="ex+1x(i)令f'(x)=0,得x=Le令f(x)A0,得xW(0)，所以函数f(x)在(0,1)单调递增.ee11令f&

10、#39;(x)<0,得xW(1,F，所以函数f(x)在(1,收)单调递减.ee111所以，f(x)max=f(-)=-e-+ln-=一2.eee所以f(x)+2M0成立.(ii)由(i)知，f(x)max=2,所以|f(x)户2.设g(x)=铝+-,xw(0,收).所以g'(x)=1ln-x.x2x令g(x)=0,得x=e.令g(x)>0,得xW(0,e),所以函数g(x)在(0,e)单调递增，令g(x)<0,得xW(e,f,所以函数g(x)在(e,依)单调递减；lne3131所以，g(x)max=g(e)=+-=一+<2,即g(x)<2.e2e2所以|f

11、(x)|>g(x),即|f(x)5叱+3.x214分所以，方程|f（x）|=21x+2没有实数解.x23、八的，+工_®7-”中/乂苒f）XXX（I）（D当时.因为H>0./（X）>0理工>1或。工M1.令/7工）<。<jf<1»所以曲敷/（M）的单洞通塔区同是1SG和在皿），单湄逑灌区时足料）一<?）当M=1ph因为工>o.i而以/（力之。或中的融，S的单月理，区间是<心就）<D因为*>Q,x>flfi£O<x<l，令人了丁0f!J1<x<a»所口由整

12、，用的单月罪半区同尾tQ修和（a出L单再满舞区陶是。川）一.»».>>>»>«»«夕才（口>当01时,/（i）-tar+,-i+i-i-Zl.fr't，1Xx1）.,TVT争，'(1】0厚#=1或JfH-lC>.X(0.1)10M一0.fg盘小也/与工位记时孔。/（力变化情次上卜船府以工时扁也/口1的H小m为打1）,所蹴'（jt）之不施宜-.-is势114、(1)当a=1时，f(x)=x-一，f(x)=1+2分xx.3.5f(2)=-，f(2)=3分24所以，函数f(x)在点

13、(2,f(2)处的切线方程为y9=5(x2)24即：5x-4y4=04分（n）函数的定义域为：x|x?0f(x)=aa-2ax2(2-a)(a0)当0<a£2时，f(x)之0恒成立，所以，f(x)在(g,0)和(0,收)上单调递增当a>2时，令f'(x)=0,即：ax2+2-a=0,f(x)>0,x>x2或x<xi；f(x)<0,x<x<0或0<x<x2,所以，f(x)单调递增区间为(gjEiq、2，),单调减区间为(，子，0)和(0，O2).4分(出)因为f(x)221nx在1,收)上恒成立，有ax+aZ2+2-2

14、a-2lnx>0(a>0)x在1,书C)上恒成立。a-2所以，令g(x)=ax+2-2a-2lnx,xI2a22ax2X-a'2(x1)ax(a-'2)g(x)=a2-22.xxxx人，一.a-2.令g(x)=0,则x1=1,x2=a2分a若±2=1,即a=1时，g'(x)之0,函数g(x)在1,收)上单调递增，又g(1)=0a|11所以，f(x)至21nx在1,如c)上恒成立；3分若一32>1,即a<1时，当*三(0,1),(三2,依)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；aa-a-2当xW(1,上上)时，g(x)<

15、;0,g(x)单调递减a所以，g(x)在1,如C)上的最小值为g(-a-2),a因为g(1)=0，所以g(")<0不合题意.4分a匕<1,即a>1时，当xW(0,匕),(1,土叼时，g(x)>0,g(x)单调递增，aa-a-2当xW(,1)时，g(x)<0,g(x)单调递减，a所以，g(x)在1,收)上的最小值为g(1)又因为g(1)=0,所以f(x)>2lnx恒成立综上知，a的取值范围是1,依).5分ex(x-1)15、解：(I)当a=1时，f(x)=21+，f(1)=0,f(1)=e1.xx方程为y=e-1.ex(x-1).1.ex(x-1)-

16、ax(x-1)(n)f(x)=L-a(1)=L,xxx(e.ax)*1)2x当aM0时，对于Vx(o(0,+oc),exax>0恒成立，所以f(x)>0=xA1;f(x)<0=0<x<10.所以单调增区间为(1,g),单调减区间为(0,1).8分(出)若f(x)在(0,1)内有极值，则f'(x)在xw(0,1)内有解.,.(ex-ax)(x-1)Ix八exvf(x)20=e-ax=0=-a=.xxxe.设g(x)x(0,1)x所以g'(x)=e(x1),当x50,1)时，g'(x)<0何成立,x所以g(x)单调递减.又因为g(1)=e

17、,又当xt0时，g(x)T"，即g(x)在xw(0,1)上的值域为(e,依)，x所以当ae时，f(x)=色/=0有解.x设H(x)=exax,贝UH'(x)=exa<0x三(0,1),所以H(x)在xw(0,1)单调递减.因为H(0)=1a0,H(1)=ea<0,所以H(x)=exax在x(0,1)有唯一解x0.所以有：x(0,%)x(%,1)H(x)+0一一,f(x)-0+f(x)极小值Z所以当ae时，f(x)在(0,1)内有极值且唯一.当aWe时，当xW(0,1)时，f'(x)20恒成立，f(x)单调递增，不成立.综上，a的取值范围为(e,).14分6

18、、22.（本小慧满分15分）笛：1IJ!；I）=二一一，j一.'.卜/=3,由出意<所以，1/（1）=IIa3a1+6=LJ13C|）令，'（了）=。,得才】a.面=3口.当L；时.¥3£酊/51»3所以人用在R上为增函数.S分当a>V>时.X*-G一。（a*3c）3a（3a.十8）/（,r）0Q/（j-）增函数531Jw-口十方诫函数b增函数当+H*3d）A（3at-a）-a（一0*+x；外工）00十fs噌函数力-9口51减函数-7b"十小增函数E'F'!f,.!,rr*wtn«ppptf&#

19、39;"b.F'.！n!r*wr«haiprai,p甲*'m-irnea;,rvr,;>二线上1*=C时，JXh）的增区间为-x十xL口>0时/11）的增区间为18.a）和3*/8）.减区间为（一白，3aL吸大值为左/一八板小值为八一9标.3tiVQ时（工）的增区间为（-x*%）和（一口.一X）减区间为C3s*白）.强大值为,，一9d极小值为专口"+瓦13分/.27、解：（I）f（x）=ax+2x,人/一2令f（X）=0得X2=0,X3=一-.ax(-odI_)a2a(-|,0)0(0,Ff/(x)+00+f(x)匚极大值匚极小值匚，2

20、、1,2、3,2、24.函数y=f(x)的极大值为f()=-a,()+()=2;极小值为f(0)=0.a3aa3a8分1,.11.(n)右存在x0=(1,)U(,0),使得f(x0)=f(),则222(如图8、解：(I)、33121)或<<(如图2).a2a(图2)13分因为一1f(x)=kx-(k1)lnx-x所以f'(x)=k一k11kx2-(k1)x1r=1当k=一时,2f'(x)=11(x-2)(x-1)令f'(x)=1正一2"-1)二0.3分所以f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:(0,1)1(1,2)2(2,十七)f

21、9;(x)+01-0+f(x)E极大值极小值.6,，-1所以f(x)在x=1处取得极大值f(1)=，2,13在x=2处取得极小值f(2)=ln2.分22函数f(x)的单调递增区间为(0,1),(2,y)，f(x)的单调递减区间为(1,.2.8(n)证明：不等式f(x)>1在区间1,e上无解，等价于f(x)<1在区间1,e上恒成立，即函数f(x)在区间1,e上的最大值小于等于1.1k(x一)(x-1)因为f'(x)=k2一一,x1令f(x)=0，倚x1=,x2=1.9k因为0ck<1时，所以1>1.k,1当1e时，f'(x)<0对xw1,e成立，函数

22、f(x)在区间1,e上单调递减，.10k分所以函数f(x)在区间1,e上的最大值为f(1)=k-1<1,所以不等式f(x)>1在区间1,e上无解；.11分1当1<e时，f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：kx1(1,7)k1kOe)f'(x)|10+f(x)极小值.12分所以函数f(x)在区间1,e上的最大值为f(1)或f(e)1此时f(1)=k1<1,f(e)=ke(k+1)，e，1所以f(e)-1=ke-(k1)-1e111=k(e-1)-2-：(e-1)-2ue-3-<0.eee综上，当0<k<1时，关于x的不等式f(x)&

23、gt;1在区间1,e上无解.13分9、解(I)因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)经过点(0,1),2_又f'(x)=x+2x+a,2分所以f'(0)=a=3,3分所以f'(x)=x22x-3.当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表x(-°0,-3)-3(-3,1)1(1产)f'(x)ffl0B0+f(x)极大值n极小值L5分所以函数f(x)的单调递增区间为(8,3),(1,+如)，单调递减区间为(3,1).7分(n)因为函数f(x)在区间-2,a上单调，当函数f(x)在区间2,a上单调递减时，f'(x)<0对xW2,

24、a成立，即f'(x)=x2+2x+a«0对x2,a成立，-f'(-2)<0根据二次函数的性质，只需要'),解得-3waE0.f'(a)£0又N<a,所以N<a<0.9分当函数f(x)在区间-2,a上单调递增时，f'(x)>0对xw_2,a成立，2只要f'(x)=x+2x+a在2a上的最小值大于等于0即可，2因为函数f'(x)=x+2x+a之0的对称轴为x=1,当一2<a£1时，f'(x)在2a上的最小值为f'(a),2.解f'(a)=a+3a之0,得

25、a之0或aM3,所以此种情形不成立.11分当1<a时，f'(x)在2,a上的最小值为f'(-1),解f'(1)=12+a之0得a之1,所以a>1,综上，实数a的取值范围是2<aW0或a1.13分aa.10、解：(1)由f(x)=x1十二，得f(x)=1.2分ee又曲线y=f(x堆点(1,f(1)处的切线平行于x轴，a得f(1)=0，即1=0,解得a=e.4分e(n)f，(x尸1-4,e当aE0时，f'(x)A0,f(x)为(笛，十无)上的增函数，所以函数f(x)无极值.6分当a>0时，令f'(x)=0，得ex=a,x=lna.x-

26、i,lna,fx：0；x三Ina,二,fxp0.所以f(x)在(*,lna)上单调递减，在(Ina,收止单调递增，故f(x)在x=lna处取得极小值，且极小值为f(Ina)=Ina,无极大值.综上，当aE0时，函数f(x)无极小值当a>0,f(x应x=lna处取得极小值lna,无极大值.1(出)当a=1时，f(x)=x1十，1令gx=fx-kx-1=1-kx：一,e则直线1：y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,等价于方程g(x)=0在R上没有实数解.10分假设k>1,此时g(0)=1>0,gK-1+<0,k-1工e又函数g(x)的图象连续不断，由零点存在定理,可知

27、g(x)=0在R上至少有一解，与“方程g(x)=0在R上没有实数解"矛盾，故kM1.1冽1一又k=1时，g(x)=F>0,知方程g(x)=0在R上没有实数解.e所以k的最大值为1.13分解法二：(I)(n)同解法一.1(出)当a=1时，f(x)=x-1+.e直线1：y=kx1与曲线y=f(x)没有公共点，1等价于关于x的万程kx-1=x-1+r在R上没有实数解，即关于x的方程：(*)10分1k-1xxe在R上没有实数解.当k=1时，方程(*)可化为4=0,在R上没有实数解.e当k#1时，方程(*)化为-=xex.k-1令g(x)=xex,则有g'(x)=(1+x".令g'(x)=0，得x=-1,当x变化时，g'(x)的变化情况如下表x(-°0,-1)-1(-1,)g'(x)0+g(x)1eE