自控04---自动控制理论概要

1、对于线性系统，常用的分析方法有三种： 时域分析方法； 根轨迹法； 频率特性法； 时域分析方法，是一种直接分析方法，具有直观准确的优点，尤其适用于低阶系统。第四章第四章 反馈控制系统的性能及时域分析反馈控制系统的性能及时域分析 时域分析：是根据微分方程，利用拉氏变换直接时域分析：是根据微分方程，利用拉氏变换直接求出系统的时间响应，然后按照响应曲线来分析求出系统的时间响应，然后按照响应曲线来分析系统的性能。系统的性能。Control System(DifferentialEquation)Input(Typical)OutputResponseStabilityAccuracyTransientR

2、esponseTheoremEssSpecificationLaplaceTransform4.1反馈控制系统的性能概述反馈控制系统的性能概述单位反馈系统作为研究对象单位反馈系统作为研究对象+-G1(s)G2(s)H (s)H (s)D(s)Y(s)R(s)B(s)E(s)系统偏差系统偏差 误差误差) s (Y) s (Y) s (E ) s (B) s (R) s (E ( )Y s+G1(s)G2(s)H (s)D(s)Y(s)E(s)-( )Y s( )E sR(s)+ +G1(s)G2(s)D(s)Y(s)暂态过程暂态过程稳态响应稳态响应) t ( e),t (y)( e),(y )

3、t ( elim)( e),t (ylim)(ytt E(s)-+ +G1(s)G2(s)D(s)Y(s) s (D) s (G) s (G1) s (G) s (R) s (G) s (G1) s (G) s (G) s (Y2122121 ) s (D) s (G) s (G1) s (G) s (R) s (G) s (G11) s (E21221 E(s)R(s)-) s (sYlim) t (ylim)(y0st ) s (sElim) t ( elim)( e0st 性能与误差的关系性能与误差的关系 系统的数学模型由本身的结构和参数决定；系统的数学模型由本身的结构和参数决定； 系统

4、的输出由系统的数学模型、系统的初始状态和系系统的输出由系统的数学模型、系统的初始状态和系统的输入信号形式决定；统的输入信号形式决定； 典型的输入信号有：阶跃信号；斜坡信号；等加速度典型的输入信号有：阶跃信号；斜坡信号；等加速度信号；脉冲信号；正弦信号；信号；脉冲信号；正弦信号； 典型输入信号的特点：数学表达简单，便于分析和处典型输入信号的特点：数学表达简单，便于分析和处理，易于实验室获得。理，易于实验室获得。性能与输入的关系性能与输入的关系典型输入信号典型输入信号1.1.单位阶跃输入单位阶跃输入2.2.单位斜坡输入单位斜坡输入s)s(R)t ()t ( r1121s)s(Rt)t ( r1tr

5、(t)t11r(t)3.3.单位抛物线输入单位抛物线输入tr(t)321)(21)(ssRttr 1、稳定性、稳定性 2 2、暂态性能、暂态性能 3 3、稳态性能、稳态性能 4 4、对参数变化的不敏感性、对参数变化的不敏感性5 5、抗噪声能力、抗噪声能力性能类别性能类别暂态响应：一个稳定系统，在一定输入信号作用下从初始暂态响应：一个稳定系统，在一定输入信号作用下从初始状态到稳态的过渡过程。状态到稳态的过渡过程。4.24.2暂态性能指标暂态性能指标超调误差带稳态误差E()TdTrTpTs0ty(t)10.90.50.1上升时间峰值时间调整时间阶跃响应输出一、数值性能指标一、数值性能指标1 延迟时

6、间延迟时间Td： 指指y(t)上升到稳态上升到稳态的的50%所需的时间。所需的时间。2 上升时间上升时间Tr： 指指y(t)第一次上升第一次上升到稳态值的所需的时间。到稳态值的所需的时间。(或或1010-90% -90% ）3 峰值时间峰值时间Tp： y(t)第一次达到峰第一次达到峰值所需的时间。值所需的时间。 上述三个指标表征系统初始阶段的快慢。上述三个指标表征系统初始阶段的快慢。4 超调量超调量MP： y(t)的最大值与稳态值之差与稳态值之比：的最大值与稳态值之差与稳态值之比：()()%1 0 0 %()pPytyMy5 调节时间调节时间ts：指指y(t)和和y( )之间的之间的偏差达到允

7、许范围（偏差达到允许范围（2%或或 5%）时的暂态过程时间。时的暂态过程时间。它反映了系统的快速性。它反映了系统的快速性。6 振荡次数振荡次数N： 调节时间内，输出调节时间内，输出偏离稳态的次数。偏离稳态的次数。7 稳态误差稳态误差e()： 单位反馈时，实际值（稳态）与期望值（单位反馈时，实际值（稳态）与期望值（1（t）之差。它）之差。它反映系统的精度。反映系统的精度。范围界定范围界定二、二次型性能指标二、二次型性能指标 最佳性能指标。最佳性能指标。Ts1- r(t)c(t)11)(TssG一阶系统传递函数：一阶系统框图：典型系统：电炉、液位4.34.3典型二阶系统的暂态性能分析典型二阶系统的

8、暂态性能分析一阶系统的动态响应一阶系统的动态响应单位阶跃响应：1( )11( )(1)1( )1etTR ssTY ss TssTsy t 在单位阶跃作用下，一阶系统的输出量随时间变化曲线为一条指数曲线。响应曲线具有非振荡特征：响应曲线具有非振荡特征： t=T, y(t)=0.632; t=2T, y(t)=0.865; t=3T, y(t)=0.95; t=4T, y(t)=0.982;t10.632T2T3T4T00.8650.9500.982 斜率1T ( )y t1( )1tTy te 10( )11tTtdy tedtTT 一阶系统的单位阶跃响应如果以初始速度等速上升至稳态值1所需的

9、时间应恰好为T。 一阶系统的阶跃响应没有超调量，故其时域一阶系统的阶跃响应没有超调量，故其时域性能指标主要以性能指标主要以Ts来衡量，来衡量， Ts的长短反映了系统的长短反映了系统过程的快慢。过程的快慢。 由以上可知：由以上可知： t=3T （对（对5%的误差）的误差） t=4T （对（对2%的误差）的误差） 因此，因此，T越小，系统过渡时间就越短。越小，系统过渡时间就越短。一阶系统的单位斜坡响应：一阶系统的单位斜坡响应：ttr)(21)(ssR( )tTy ttTTe 222111( )11TTY sTssssTs )0( t误差( )( )( )(1)tTe tr ty tTe 输出响应(

10、 )( )limtee tT 稳态误差趋于稳态误差趋于T，T越小，动态性能越快，越小，动态性能越快，稳态误差越小，但不能消除。稳态误差越小，但不能消除。00( )10tTttdy tedt 初始速度：初始速度：稳态误差稳态误差0TTT2T2T3T3T4T4tT y t r tt y t 单位斜坡响应单位斜坡响应 一阶系统单位斜坡响应的稳态分量，是一个与输一阶系统单位斜坡响应的稳态分量，是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上迟后时间常数入斜坡函数斜率相同但在时间上迟后时间常数T的斜坡函数。的斜坡函数。 该曲线的特点是：在该曲线的特点是：在t=0处曲处曲线线的斜率等于零；的斜率等于零； 稳态输出与

11、单位斜坡输入之间在位置上存在偏差稳态输出与单位斜坡输入之间在位置上存在偏差T。输入：输入：)()(ttr1)(sR1( )1Y sTs 1( )tTy teT 0TT2T21T3t y t -t T1eTy t T1输出：输出： 由上面分析可知，一阶系统仅有一个特征由上面分析可知，一阶系统仅有一个特征参量参量T时间常数，调整时间为（时间常数，调整时间为（34T） 当当t=0时单位阶跃响应的变化率和单位脉冲时单位阶跃响应的变化率和单位脉冲响应的初始值均为响应的初始值均为1/T，单位斜坡响应的稳，单位斜坡响应的稳态误差为态误差为T。 T越小，系统的动、静态性能越好。越小，系统的动、静态性能越好。

12、一个输入信号导数的时域响应等于该信号一个输入信号导数的时域响应等于该信号时域响应的导数；时域响应的导数； 一个输入信号积分的时域响应等于该信号一个输入信号积分的时域响应等于该信号时域响应的积分；时域响应的积分；22d 1( )d( )( )ddtt tttt 212dd( )( )( )dtdttytytyt 线性定常系统 用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统；用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统； 二阶系统不仅在工程中比较常见，而且许多高阶系二阶系统不仅在工程中比较常见，而且许多高阶系统也可以转化为二阶系统来研究，因此研究二阶系统也可以转化为二阶系统来研究，因此研究二阶系统具有很重要的意义；

13、统具有很重要的意义；二阶系统的动态响应二阶系统的动态响应 二阶系统的传递函数：二阶系统的传递函数： 特征方程特征方程 系统框图系统框图2222)(nnnwsssG0222nnwss R s Y s 22nns s 典型二阶系统的结构图典型二阶系统的结构图 二阶系统的特征根：222( )( )( )2nnnY sG sR sss nnT 1212211nndnndjjjj 21其中：dn 时间常数时间常数阻尼系数阻尼系数自然振荡频率自然振荡频率 当当 时时输出响应拉氏变换：输出响应拉氏变换：0122222( )( )( )1()()1()()nndndnnndndY sG sR ssjsjsss

14、ss 时域响应：时域响应：122222( )( )1(cossin)11( 1cossin)11sin(1)1nnntddtddtny tLY settettet 211 ,02tg 单位阶跃响应（单位阶跃响应（ 00 1 11） 1221211( )1(ee)21ttny t 临界阻尼：=11,2n 单位阶跃响应（单位阶跃响应（ =1=1） t y t101 1 2n2n()cY sGsR ss 闭环系统的极点为 闭环传递函数为 临界阻尼时的单位阶跃响应为临界阻尼时的单位阶跃响应为 nn( )1e(1)ty tt 无阻尼无阻尼0,( )cosnnjjTy tt 1 211 j nj nj y

15、 y( (t t) )t t1.当当=0时，等幅振荡；时，等幅振荡； 2.当当01 时，时，越大，曲线单调上升过程越缓慢；越大，曲线单调上升过程越缓慢； 5.当当-10时，振荡发散，系统不稳定。时，振荡发散，系统不稳定。 6.当当-1时，单调发散，系统不稳定。时，单调发散，系统不稳定。二阶系统响应特点 在一定在一定 下欠阻尼系统比临界阻尼系统更快下欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值；过阻尼系统反应迟钝，动作达到稳态值；过阻尼系统反应迟钝，动作缓慢故一般二阶系统都设计成欠阻尼系统。缓慢故一般二阶系统都设计成欠阻尼系统。由曲线进一步知道：由曲线进一步知道： 1、阻尼比、阻尼比 越大，超调量越小

16、，响应越平稳。反越大，超调量越小，响应越平稳。反之，之， 越小，超调量越大，振荡越强。越小，超调量越大，振荡越强。 2、当取、当取 =0.707左右时，左右时，Ts和和Mp%都相对较小，都相对较小，故一般称故一般称 =0.707为最佳阻尼比。为最佳阻尼比。 3、二阶系统的单位阶跃响应不存在稳态误差。、二阶系统的单位阶跃响应不存在稳态误差。控制系统设计以欠阻尼为主，以下分析针对欠阻尼控制系统设计以欠阻尼为主，以下分析针对欠阻尼1、上升时间上升时间tr21( )11sin()1sin()0rtTrd rd rd rrdy tetttt 即1)(rty4.3 4.3 典型二阶系统的暂态性能分析典型二

17、阶系统的暂态性能分析Time (sec.)AmplitudeStep Response012345600.20.40.60.811.21.4From: U(1)To: Y(1)tr dnn2、峰值时间峰值时间tptp2( )sin01n pptndpt tpddy ttedtt Time (sec.)AmplitudeStep Response012345600.20.40.60.811.21.4From: U(1)To: Y(1)tp 21max%100)()( eyyyMp3 3、超调量、超调量Mpmax( ),()ptty tyy 1代入求出得得Time (sec.)AmplitudeS

18、tep Response012345600.20.40.60.811.21.4From: U(1)To: Y(1)tp Mp的大小完全决定于， 越小， Mp越大。4、调整时间调整时间ts( )1sin()tnddy tet Ttdntdneety 11)(nT 11 包络线包络线nsTt33 nsTt44 当y=0.05(或0.02)时，对应的调整时间为ts由此可见： 越大， 就越小，当 为一定时，则 与 成反比，这与 的关系正好相反。nstnstptrt例：一个二阶系统，要求例：一个二阶系统，要求 求系统极点位置。求系统极点位置。507070.t.s j n450288885 . 04457

19、07. 0222, 10 nnnsjt 设单位反馈二阶系统的阶跃响应曲线如图所示，试确设单位反馈二阶系统的阶跃响应曲线如图所示，试确定此系统的开环传递函数。定此系统的开环传递函数。t 秒y(t)450.40解解: : 开环传递函数的表达形式开环传递函数的表达形式)s( snn 22闭环传递函数的表达形式闭环传递函数的表达形式2222nnnss s)s(R4s)s(R4例：例：t 秒y(t)450.40由图由图tp=0.4秒秒 ，Mp2525. 0%21 eMp4 . 04037. 0 585. 84 . 012 nnpt )87. 6(7 .73)(0 sssG7 .7387. 67 .73)

20、(2 sssG 前面研究了两种低阶系统；前面研究了两种低阶系统； 用高阶微分方程描述的系统为高阶系统；用高阶微分方程描述的系统为高阶系统； 工程实际中的系统绝大多数为高阶系统；工程实际中的系统绝大多数为高阶系统； 高阶系统的解析解比较复杂，有时高阶系高阶系统的解析解比较复杂，有时高阶系统可以用低阶系统的响应来近似统可以用低阶系统的响应来近似主导主导极点极点4.44.4高阶系统的暂态性能与闭环零极点的关系高阶系统的暂态性能与闭环零极点的关系高阶系统的一般形式 闭环传函 sR sY sG sH 111011101mmmmnnnnY sG sb sbsb sbG sR sG s H sa sasa

21、sa高阶系统的单位阶跃响应 为实数极点的个数， 为共轭复数极点的个数， 。设上述极点互异并都位于平面的左半平面，则经过整理后， 11101122110K11112mmmimminnqrnnjkkjkKszb sbsbsbY sG s R sssa sasasassss rkkkkkqjjjssCsBssAsAsY12K2102qrmrq2 经拉氏反变换经拉氏反变换 这表明：高阶系统的时间响应是由若干一阶这表明：高阶系统的时间响应是由若干一阶系统和二阶系统的时间响应函数项组成的。系统和二阶系统的时间响应函数项组成的。 kk0122kk1eecos 1esin 1jkkqs tjjrttkkkkk

22、y tAABtCt A A0 0 A Aj j 是相应于是相应于 极点极点处的留数处的留数0,jsss 000 ( ). ( ) ( )()jssjjssAy s sG sAy s ss例：设三阶系统的闭环传递函数为例：设三阶系统的闭环传递函数为 试确定其单位阶跃响应。试确定其单位阶跃响应。 8106655232ssssssG sssssssRsGsY12243252 8cose210e15414ttytt解：输出信号的拉氏变换解：输出信号的拉氏变换经拉氏反变换经拉氏反变换一个高阶系统的闭环传递函数，可以写成如下的形式一个高阶系统的闭环传递函数，可以写成如下的形式 11101122110K11

23、/ ( )2mmmimmiqnnrnnjkkjkKszb sbsbs bY sR sa sa sas assss 闭环主导极点闭环主导极点设一极点设一极点- -s sk k远离原点，此极点处的留数为远离原点，此极点处的留数为A Ak k 122K11( )()()2kkmiikksskssqrjkkjkKszAG s ssssssss 12221K1().()() q+2r()().()()2()mkkmkrqrkkkqkkkkkkszszksmsssssss A Ak k很小很小这表示远离原点的极点所对应的运动成分对于阶跃响应的影这表示远离原点的极点所对应的运动成分对于阶跃响应的影响很小响很

24、小 ks tkA e衰减很快衰减很快设一零点设一零点- -z zr r和一极点和一极点- -s sk k很靠近，即很靠近，即 很小很小 这一对零这一对零极点称为偶极子极点称为偶极子此极点的留数此极点的留数krsz122K111221K1( )()()2().().()()().().()2kkkmiikksskssqrjkkjkrmkssrkqkkkKszAG s ssssssssk szszszssssssssss A Ak k可见很小可见很小这表明如果有一零点与一极点相近，则这个极点所对应的运这表明如果有一零点与一极点相近，则这个极点所对应的运动成分在阶跃响应中所占的比重很小动成分在阶跃响

25、应中所占的比重很小闭环主导极点闭环主导极点 如果一稳定系统有一对左半平面的共轭复极点，其到虚轴如果一稳定系统有一对左半平面的共轭复极点，其到虚轴的距离是其它极点到虚轴距离的的距离是其它极点到虚轴距离的 以下，而在它们附近又没以下，而在它们附近又没有零点，则这一对共轭复极点称之为闭环主导极点，这个系统有零点，则这一对共轭复极点称之为闭环主导极点，这个系统就可以近似化为一个二阶系统，其动态特性是由这一对主导极就可以近似化为一个二阶系统，其动态特性是由这一对主导极点决定。点决定。 510( )2cos()ktkkky tAA etc(1),(1),高阶系统暂态响应由一阶和二阶响应组成。高阶系统暂态响

26、应由一阶和二阶响应组成。(2),(2),离虚轴远的极点对系统影响小。离虚轴远的极点对系统影响小。(3),(3),高阶系统响应受零点影响。高阶系统响应受零点影响。(4),(4),主导极点决定系统的基本性能。主导极点决定系统的基本性能。 5 j主导极点主导极点主导极点主导极点 稳态误差的概念和定义 给定作用下的稳态误差 扰动作用下的稳态误差4.5参考输入作用下的稳态误差分析参考输入作用下的稳态误差分析一、稳态误差的概念： 控制系统的性能：动态性能和稳态性能； 稳态性能用稳态误差 来描述 讨论稳态误差的前提是系统是稳定的()e sR sY sH sG2 sG1 sN sE sB控制系统结构图 二、稳

27、态误差的定义： 误差定义为输入量与反馈量的差值 稳态误差为误差的稳态值 如果需要可以将误差转换成输出量的量纲 稳态误差不仅与其传递函数有关，而且与输入信号的形式和大小有关。其终值为：E sR sH s Y s( )( )( ) ( )0()lim( )sesE s)(/ )()(sHsEsE ()limtee t 典型输入信号和稳态响应典型输入信号和稳态响应1.1.单位阶跃输入单位阶跃输入2. 2. 单位斜坡输入单位斜坡输入s)s(R)t ()t ( r1121s)s(Rt)t ( r1tr(t)t11r(t)3.3.单位抛物线输入单位抛物线输入tr(t)321)(21)(ssRttr 三、给

28、定作用下的稳态误差：设系统开环传递函数为：其中: 为开环增益， 为系统中含有的积分环节数对应于 的系统分别称为0型，型和型系统。12012(1)(1)(1)( )( )( ),()(1)(1)(1)mNnKsssG sG s H snmsTsT sT sKN0,1,2N 1,1,单位阶跃输入单位阶跃输入s)s(R1pskGsGe 11)0(11)(11lim)(000定义位置误差系数定义位置误差系数)s(Glimksp0010NNppkkk0)(11)( eke有差系统有差系统无差系统无差系统无差系统一定有积分环节无差系统一定有积分环节G0(s)E(s)Y(s)+-R(s) 由于由于0型系统无

29、积分环节，其阶跃输入时的稳态误差为与型系统无积分环节，其阶跃输入时的稳态误差为与K有有关的一定值，因此常称为关的一定值，因此常称为有差系统有差系统。 为减小稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大为减小稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大K值。值。 若要若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则应使系统的类型求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则应使系统的类型高于高于I型。型。 2,2,单位斜坡输入单位斜坡输入21s)s(R vsskssGsGse1)(1lim)(11lim)(0000 定义速度误差系数定义速度误差系数)s(sGlimksv00210NNNvvvkkkk00)(1)()( eke

30、e 可见，可见，0型系统不能跟踪斜坡输入信号。随时型系统不能跟踪斜坡输入信号。随时间的推移间的推移,误差越来越大；误差越来越大； I型系统可以跟踪斜坡输入信号。但具有与型系统可以跟踪斜坡输入信号。但具有与K有有关的稳态误差，可用增加关的稳态误差，可用增加K的方法提高稳态精的方法提高稳态精度；度； II型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号，即型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态误差为零。稳态误差为零。3,3,单位抛物线输入单位抛物线输入31)(ssR assksGssGse1)(1lim)(11lim)(020020 定义加速度误差系数定义加速度误差系数)(lim020sGsksa 3210

31、 NNNN aaaakkkkk000)(1)()()( ekeee对于型系统及以上系统： 可见，可见，I型及以下系统不能跟踪抛物线输入，误差越来越型及以下系统不能跟踪抛物线输入，误差越来越大；大； II型系统可以跟踪抛物线输入信号。但具有与型系统可以跟踪抛物线输入信号。但具有与K有关的稳有关的稳态误差，可用增加态误差，可用增加K的方法提高稳态精度；的方法提高稳态精度； III型及以上系统可完全跟踪抛物线输入信号，即稳态误型及以上系统可完全跟踪抛物线输入信号，即稳态误差为零。差为零。aK( )0e 要减小稳态误差，必须增加开环总增益要减小稳态误差，必须增加开环总增益k或积分环或积分环节数节数N,

32、这可能给动态性能或稳定带来问题，一般系这可能给动态性能或稳定带来问题，一般系统统N2系统的型系统的型单位阶跃单位阶跃输入输入单位斜坡单位斜坡输入输入单位抛物线单位抛物线输入输入 0 1 2 3 1/K 0 0 0 1/K 0 0 1/K 0表表4-1 4-1 各种类型输入作用下的稳态误差各种类型输入作用下的稳态误差注意：注意：K K是（是（4-504-50）中的）中的K K；不是（不是（4-404-40）中的）中的b b0 0，即，即开环传函用基本环节表示时，其系数项为开环传函用基本环节表示时，其系数项为K(K(开环增益开环增益) )。4.6扰动对稳态误差的影响及补偿措施扰动对稳态误差的影响及

33、补偿措施( )( )( )( )dddde tytEsY s )()()(1)()()()()(1)()()()()(21232121sDsGsGsGsGsRsGsGsGsGsYsYsYDR )()()()()(1)()()()()(11)()()()()()(212321sEsEsDsGsGsGsGsRsGsGsYsYsRsYsRsEDRDR 输入信号产生的误差输入信号产生的误差扰动产生的误差扰动产生的误差注意：对于上述给定和扰动稳态误差利用终值定理进行求取必须满足两个条件：（1）系统是稳定的系统是稳定的；（2）所求信号的终值要存在所求信号的终值要存在；一、调差率一、调差率UGUG0IrUG

34、UG0Ir0s UGUG0Ir0s 0s 发电机调差特性发电机调差特性( )( ), ( )( )( )( )Dsr tt d ttRyy 11GGGGsGGUUUUUU 0000扰动误差与输入误差不是一回事，扰动误差与输入误差不是一回事，输入无差，扰动不一定无差，输入无差，扰动不一定无差，要看积分环节的位置。要看积分环节的位置。1 1、加装积分环节、加装积分环节)0()0(1)0()0()0()0(11)(lim)(2123210GGGGGGssEes 二、扰动产生的误差消除二、扰动产生的误差消除 结论：结论： 要减小或消除稳态扰动误差，必须增加扰动作用要减小或消除稳态扰动误差，必须增加扰动作用点以前的控制器放大倍数或点以前的控制器放大倍数或积分环节的个数积分环节的个数。 在系统中增加前向通道积分环节的个数或增大开在系统中增加前向通道积分环节的个数或增大开环增益环增益,可减小系统的给定稳态误差可减小系统的给定稳态误差 但一般系统的积分环节不能超过两个，放大倍数但一般系统的积分环节不能超过两个，放大倍数也不能随意增大，否则将使系统暂态性能变坏，也不能随意增大，否则将使系统暂态性能变坏，甚至造成系统不稳定。甚至造成系统不稳定。2 2、引入附加环节