长沙市高中四大名校自主招生考试试卷附答案(中考、理科数学竞赛必备)工作总结

1、长郡中学2008年高一实验班选拔考试试卷注意:(1) 试卷共有三大题16小题，满分120分，考试时间80分钟.(2) 请把解答写在答题卷的对应题次上，做在试题卷上无效.一、选择题(本题有6小题，每小题5分，共30分)下面每小题给出的四个选项中，只有 个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内1 在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在2(A)直线y =-(上(B)抛物线 y = X上(C)直线y = X上(D)双曲线Xy = 1上25% ,则相同距离的行车时间可节省k% ,那么k2.以等速度行驶的城际列车，若将速度提高 的值是(A) 353若一(A)(C)

2、30(C) 25(D) 20则a,a3 3 1,a, a.宀曰/定是 ()a最大(B)- a最小，a最大a最大(D)-最小，Va最大(B)a V 0,-最小, a4.如图,将厶ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90 ABF ,连结EF交AB于H ,则下列结论错误的是(A) AE 丄 AF(C) AF2 = FH FE(B) EF: AF =2 :(D) FB : FC = HB:EC5.在 ABC中，点D ,E分别在AB , AC上,得且CD与BE相交于点F,已知 BDF的面积此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除本文档可自行编辑和修改内容，感谢您的支持为10, BCF的面积为20

3、,A CEF的面积为16,则四边形区域 ADFE的面积等于(A) 22(B) 24(D) 36(D)446. 某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是()(A) 30( B) 35( C) 56(D) 448二、填空题(本题有6个小题，每小题 5分，共30分)7. 若 4sin2A 4SinAcosA + CoS 2A = 0,贝U tanA = _ _8. 在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流则经过 小时后，观测站及A、B

4、两船恰成一个直角三角形9. 如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2 ,则通过 A,B,C三点的拋物线对应的函数关系式J 卜是.T "10. 桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。已知大球的半径为20cm ,小（第9题）球半径5cm,则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm.11.物质A与物质B分别由点A（2,0）同时出发，沿正方形 BCDE 的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以I单位/秒等速运动， 物质B按顺时针方向，以 2单位/秒等速运动，则两个物质运动 后的第 11次相遇地点的坐标是 .12.设C1,C2,C3, 为一群圆，其作法

5、如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2 （如图）,每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆 C2均外切，再在每一个 圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3,依此类推作出C4,C5,C6,则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）;（第11题）第12题（2）圆Ck的半径为 （ k 为 正整数，用a表示，不必证明）三、解答题（本题有4个小题，共60分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。13.（本小题满分12分）如图，四边形 ABCD内接于圆O,且AD 是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于 E点，OC / AB.（1）求证 AD = AE ;第13题若OC=AB = 4 ,求

6、 BCE的面积.14.（本题满分14分）已知抛物线y = X试判断A队胜、平、负各几场？ 若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W （元），试求W的最大值. + 2px + 2p 的顶点为M ,（1）求证抛物线与X轴必有两个不同交点；设抛物线与X轴的交点分别为 A，B ,求实数P的值使 ABM面积达到最小15 （本小题满分16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表:胜一场平一场负一场积分310奖励（元/每人）15007000当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛 12场）时，A队共积19分。(第 16 题)16 （本小题满分18分）已知：矩形

7、ABCD ,（字母顺序如图） 的边长AB=3 , AD=2 ,将此矩形放在平面直角坐标系Xoy中，使AB在X轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，3且直线y= 一 X 1经过这两个顶点中的一个.2（1）求出矩形的顶点 A、B、C、D的坐标；（2） 以AB为直径作 M ,经过A、B两点的抛物线，y = ax2+ bx + C的顶点是P点. 若点P位于 M外侧且在矩形 ABCD内部，求a的取值范围； 过点C作 M的切线交AD于F点，当PF/ AB时，试判断抛物线与 y轴的交点Q是3位于直线y=- 1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由2008年高一实验班选拔考试数学卷评分标准选

8、择题（本题有6小题，每小题5分，共30 分）1. D4. C5. D6. B、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）17.2& 2.9.5 X2120y =一 X+ -1223410. 20.11. ( -一 , 2).312. (1)圆C2的半径 (21)a ；(2)圆Ck的半径 (2- )n -1 a三、解答题13.(本小题满分12分)(1)证1 AD是圆O的直径，点 C在圆O上, ACD = 90 ,即 AC 丄 DE.又 OC / AE , O 为 AD 中点， AD = AE.证 2 I O 为 AD 中点，OC / AE , 2OC = AE ,又 AD是圆O的直径

9、， 2OC = AD , AD = AE.分(2)由条件得ABCO是平行四边形, BC / AD ,又 C 为中点， AB =BE = 4 , AD = AE , BC = BE = 4 ,连接BD ,点B在圆O上， DBE= 90 , CE = BC= 4 ,即 BE = BC = CE= 4 ,所求面积为4.3.14.(本题满分14分)解： I" = 4p2 -8P + 8 = 4 ( P -)2 + 4 >0 ,抛物线与X轴必有两个不同交点.4分(2)设 A (X1, 0 ), B( X2, 0),则 AB2 = |X2 -X12 = (X 1 + X2)2 -4X1X2

10、2 = 4p2 -8p + 8 2 =4 ( P -)2 + 42,AB = 2 (P 1)2 1 .5 分又设顶点 M ( a , b ),由 y = ( X -p)2 -( P -1 )2 -1 .得 b = -( P -1 )2 -1 .1当P =1时，|b|及|AB|均取最小，此时ABM = - |AB|b|取最小值1 .5分15 （本小题满分16分）解：（1）设A队胜X场，平y场，负Z场,得 xyz12 ,可得：y 19 3x3x y 19z 2x 7依题意，知X 0,y 0,z 0,且x、y、Z均为整数，19 3x 07192x 7 0解得：一 x, X 可取 4、5、6C23X

11、0 A队胜、平、负的场数有三种情况：当 x=4 时，y=7,z=1 ;当 x=5 时，y= 4,z = 3 ;当 x=6 时，y=1,z= 5.(2) W= (1500+500) X + (700+500)y +500Z= -600x+19300 当 X = 4 时，W 最大，W 最大值=-60 × 4+19300=16900 (元) 答略16 （本小题满分18分）解：（1）如图，建立平面直有坐标系,矩形 ABCD 中，AB= 3 , AD =2 ,设 A(m 0)( m > 0 ), 则有 B(m + 3 0) ;C(m + 3 2), D(m3若C点过y =尹1；则32=

12、2 (m + 3) 1,m = 1与m> 0不合;亠 3 C点不过y= X 1 ；23若点D过y= x 1 ,则32= m 1, m=2,2 A (2, 0),B(5,0) , C(5,2 ),D(2,2);(2)TO M 以 AB 为直径， M(3.5 0),由于 y = ax2+ bx + C过 A(2, 0)和 B(5 ,0)两点,0 4a 2b cb 7are J/42);025a 5b C C 10a y = ax2 7ax+ 10a(也可得：y= a(x 2)(x 5)= a(x2 7x + 10) = ax2 7ax + 10a )7 29y=a(X 2) 4a;79抛物线

13、顶点P（ ， a）2 4顶点同时在 M内和在矩形ABCD内部,3 982 _ v aV2, V av- .3分2 493设切线CF与 M相切于Q,交AD于F,设AF = n, n>0; AD、BC、CF 均为 M 切线， CF = n+ 2, DF =2 n;在 Rt DCF 中，TDF2+ DC2=CF2;99 32+ (2 n)2=(n+ 2)2, n= , F(2, §)9991当 PF / AB 时，P 点纵坐标为一；一 一 a =, a =;848217抛物线的解析式为：y= 2 x2+ 2 x 53分抛物线与y轴的交点为Q ( 0, 5),3又直线y =，x 1与y

14、轴交点(O, 1);3 Q在直线y= x 122009年长郡中学高一招生数学试题（B）时间60分钟满分100分.选择题：（本题有8小题,每小题5分,共40分。每小题只有一个符合题意的答案）红黄黄绿红绿红绿黄丄绿红若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一）2.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了1.下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色。 样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（C .D.X%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了 X%,则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（）A. 2x% B . 1+2 x% C . （1+x%） x% D . （2+x%） x%3.甲从一个鱼摊上

15、买了三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条a b元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（）2A . a>bB.a<bC. a=bD.与a和b的大小无关4.若D是厶ABC的边AB上的一点， ADC= BCA AC=6 DB=5 ABC的面积是 5,则厶BCD的面积是（）3 456A.3SB .4S C .5SD .-S579115.如图，AE AB且AE=AB BCL CD且 BC=CD请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A. 50 B . 62 C . 65 D . 68旋转停止时，每个轮子上方的箭头6.如

16、图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转,各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为轮子上方的箭头指着的数字为b,数对（a, b）所有可能的个数为a+b恰为偶数的不同数对的参数为m,则m/n等于其中右图B . - C .6 127.如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点，A、C同时沿正方形的边开始移动,甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行， 若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边A. AB 上 B.BC上 C.CD 上 D.DA上8.已知实数a满足12006a| . a 2007a ,那么a 20062的值是（A . 2005B . 2006C

17、. 2007 D.2008二.填空题:（本题有8小题，每小题5分，共40分。）9 .小明同学买了一包弹球，其中1是绿色的，1是黄色的，余下的 1是蓝色的。如果有12个4 85蓝色的弹球，那么，他总共买了（）个弹球10.已知点A（ 1, 1）在平面直角坐标系中,在坐标轴上确定点 P使厶AoR为等腰三角形.则符合条件的点P共有（）个.11 .不论m取任何实数，抛物线y=x 2+2mx+m-1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是（）.12 .将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，？每个盒子中装有相同颜色的小球.已知:(1) 黄盒中的小球比黄球多；(2) 红盒中的小球与白球不一样多

18、；(3) 白球比白盒中的球少.则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是()1313. 在梯形 ABCD中，AB/ CD AC. BD相交于点 0,若 AC=5 BD=12中位线长为上， AoB2的面积为$, COD的面积为虫贝U SI . S2 =()14. 已知矩形A的边长分别为a和b如果总有另一矩形 B,使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k ,则k的最小值为()15. 已知 X、y 均为实数，且满足 xy+x+y=17, 2y+xy2=66,4 3 2 2 3 4 /、贝U X +x y+x y +xy +y =()N16.如图5,已知在圆0中，直径MN=10正方形ABCD的四

19、个顶点分别在半径OMOP以及圆0上，并且 POM=45 ,则AB的长为(三.解答题：(本题有2小题，每小题10分，满分20分。)甲班学生步行速度为4km/h17.甲、乙两班同时从学校 A出发去距离学校75km的军营B军训，乙班学生步行速度为 5kmh ,学校有一辆汽车，该车空车速度为40kmh ,载人时的速度为20kmh, 且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少 需要多少时间才能到达？18.如图，已知矩形 ABCD AD=2 DC=4 BN=2AM=2MNP在CD上移动，AP与DM交于点 E, PN交CM于点 F ,设四边形MEPF的面积为 S,求

20、S的是大值2009年长郡中学高一招生数学试题（参考答案：B)一、1、C 2、D 3、A4、C 5、A 6、C 7、A 8、C二、9、9610、811、x+y=-112 、黄、红、白.13、3014 、4ab(ab)215 、 1249916、三、17.解：设甲班学生从学校A乘汽车出发至E处下车步行，乘车akm,空车返回至C处，乙班同学于C处上车，此时已步行了bkm.75a-a a b b%平nk则 20405a b 75 b75 a40204解得 a=60 b=20至少需要602015 64(h)418、解:连结PM设DP=X ,贝U PC=4 X ,I AM/OPPEPDPEEA又 S ME

21、PS APMAMPEPA且S PA丄即PE XPAPD AM1APMAM2ADS MPE(5 X8 分)因此SX2 4x 52(X_62)2913 分)当x=2时,上式等号成立15 分)师大附中2011年高一自主招生考试数学测试题本卷满分150分 考试时间120分钟题号一-二二三总分复核12345得分阅卷教师一、选择题（每小题 6分，共30分。每小题均给出了代号为A B、C D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得0分）1下列图中阴影部分面积与算式21的结果相同的是BCD2、 下列命题中正确的个数有【】 实数不是有理数就是无理数；av

22、 a+ a;121的平方根是 ± 11;在实数范围内,非负数- -定是 正数；两个无理数之和一定是无理数A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 43、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知：父母买全票，女儿按半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标价相同，那么【A、甲比乙更优惠B、乙比甲更优惠C、甲与乙相同D、与原标价有关4、如图， ACB = 60°,半径为2的 O切BC于点C,若将 O在CB上向右滚动，则当滚动到 O与CA也相切时，圆心 O移动的水平距离为【A、 2 B、nC、 2 3D、 4

23、5、 平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m等于【A、36B、37C、38D、39在X 轴的负半轴上，为。25、如果多项式X PX则 AOB的面积那么整数P的值二、填空题（每小题 6分，共48分）1、 甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为32.5千米/时，则经过 小时，两人相遇。2、 若化简1 X . 2 8x 16的结果为2x 5 ,则X的取值范围是 。3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50%、20%和30%的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总 评成绩优

24、秀的学生是。笔试实践能力成长记录甲908395乙889095丙9088904、已知点A是一次函数y X的图像与反比例函数 y -的图像在第一象限内的交点，点BX且OA OB （ O为坐标原点），12可以分解成两个一次因式的积，6、如右图所示,P是边长为1的正三角形 ABC的BC边上一点，从 P向AB作垂线PQ, QRR,设 BP=X ( 0 X, 把 y表示为X为垂足。延长QP与AC的延长线交于 与 CPR 的面积之和为y7、已知Xi, X2为方程X2 4x 20的两实根，3则 Xi 14X2 55 。8、 小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有 1人解

25、出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多道。三、解答题（本大题 6小题，共72分）1、 （ 10分）在 ABC中，ABAC， A 45 。 AC的垂直平分线分别交 AB、AC于D、E 两点，连结 CD ,如果 AD 1 ,求：tan BCD的值。2、 （ 12分）某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供 选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算，本次购买 机器所需的资金不能超过 34万元。甲乙价格（万兀/台）75每台日产量（个）10060 按该公司的要求，可以有几种购买方案？若该公司购进的6

26、台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？3、（12分）如图所示，已知边长为 4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF了合理利用这块钢板将在五边形 要求面积最大，求钢板的最大利用率。4、（12分）如图所示等腰梯形O, ACD 60o,点 S、P、 求证： PQS是等边三角形。ABCD 中，AB / CD , ADQ分别是OD、EABCD内截取一个矩形块2 , BF 1。为5、（12分）如右图，直线 OBC在直线OB上且 ACO为等腰三角形，求 C点坐标。是一次函数y ABC 的三边 a、b、C满足 G 2 3 , m2 a2m 8a 0, m2 b2m 8b 0。求：

27、m的值；（2） ABC的面积。师大附中2011年高一自主招生考试数学试题参考答案一、1、B， 2、B， 3、B， 4、C， 5、B二、1、2 2、1 X 4 3、甲、乙 4、 、. 2 5、 7, 8, 136、3（32 4x 2） 7、7 8、820三1、有已知可得 ADE和 CDE均为等腰直角三角形，计算得 BD ,2 1 ,在直角三角形BCD 中，tan BCD21。CD2、（ 1）设购买X台甲机器，贝U 7x 5（6 X） 34 ,所以X 2。即X取0、1、2三个值，有 三种购买方案：不购买甲机器，购 6台乙机器；购买 1台甲机器，5台乙机器；购买 2 台甲机器，购4台乙机器。（2）按

28、方案，所需资金 6 530 （万元），日产量为6 60360 （个）；按方案，所需资金1 7 5 532 （万元），日产量为1 100 5 60400 （个）；按方案，所需资金为2 7 5 434 （万元），日产量为2 100 4 60440 （个）。所以，选择方案。S= Xy,3、如图所示，为了表达矩形 MDNP的面积，设 DN = X, PN= y,则面积 因为点P在AB上，由 APQABF得4 y 1 ,即 X 10 2y .2（4 x） 22代入，得 S （10 2y）y 2y 10y ,即 S 2（y5）225 2 25 5因为34而y=不在自变量的取值范围内，所以y=不22是最值点，当y= 3时，S= 12;当y= 4时，S= 8.故面积的最大值是 S= 12. 此时，钢板的最大利用率是 80%。4、连 CSO ABCD是等腰梯形，