第6章 A 动荷载.交变应力

1、目录目录动应力：动应力：构件中因动载荷而引起的应力。它的构件中因动载荷而引起的应力。它的 计算任可以用静载荷作用的公式，但需要修计算任可以用静载荷作用的公式，但需要修正。正。静载荷：静载荷：载荷由零缓慢增加至最终值，然后保载荷由零缓慢增加至最终值，然后保 持不变。这时，构件内各点的加速度持不变。这时，构件内各点的加速度 很小，可以忽略不计。很小，可以忽略不计。 在动载荷作用下，构件内部各点均有在动载荷作用下，构件内部各点均有加速度加速度。 实验证明，在动载荷作用下，如构件的应实验证明，在动载荷作用下，如构件的应力不超过比例极限，力不超过比例极限，胡克定律仍然适用胡克定律仍然适用。构件内一点处的

2、应力随时间作周期构件内一点处的应力随时间作周期性变化，称为交变应力性变化，称为交变应力1. 1. 物体离开地面，静止地由绳索吊挂物体离开地面，静止地由绳索吊挂2. 2. 物体匀速地向上提升物体匀速地向上提升3. 3. 物体以加速度物体以加速度a向上提升向上提升4. 4. 物体匀速地向上提升中改为以加速物体匀速地向上提升中改为以加速 度度a 匀减速匀减速5. 5. 物体以匀速向下中改为以加速度物体以匀速向下中改为以加速度a 匀减速匀减速4lQPM)( QP lAQst 绳绳子子：PQQQWMst 梁：梁：?与第一个问题等价与第一个问题等价或者说，按达郎伯原理（动静或者说，按达郎伯原理（动静法）：

3、质点上所有力同惯性力法）：质点上所有力同惯性力形成平衡力系。形成平衡力系。按牛顿第二定律按牛顿第二定律0 agQQFNdQKgaQFdNd )1(QaNdF惯性力大小为惯性力大小为ma，方向与加速度，方向与加速度 a 相反相反)1(gaKd 绳子动载应力绳子动载应力( (动载荷下应力动载荷下应力) )为为stdddKWM stddNddKAQKAF梁的应力为梁的应力为l4QKPMddQKPd0 QagQFNdQgaFNd)( 1QaNdF)(ga1Kd0)(QagQFNdQgaFNd)1( )(ga1KdQaNdF吊笼重量为吊笼重量为Q；钢索横截面面积为钢索横截面面积为A，单位体积的重量为单位

4、体积的重量为 。求吊索任意截求吊索任意截面上的应力。面上的应力。astNFQxAdNFxagxAxAagQQagQQagxAxAFNd gaFgaxAQst11 )(ga1KdstddK ，NstdFKFNd stdKd一长度为一长度为l=12m的的16号工字钢，用横截面面积为号工字钢，用横截面面积为A=108mm2的钢索起吊，并以加速度的钢索起吊，并以加速度a=10m/s2上升。若只考虑工字钢上升。若只考虑工字钢的重量而不计吊索自重，试求吊索的动应力，以及工字钢的重量而不计吊索自重，试求吊索的动应力，以及工字钢在危险点处的动应力在危险点处的动应力d,max。欲使工字钢中的。欲使工字钢中的d,

5、max减至最小，减至最小，吊索位置应如何安置？吊索位置应如何安置？解：解：设工字钢的单位长度设工字钢的单位长度 的重量为的重量为qst，惯性力为，惯性力为qd。 由动静法可知：由动静法可知：agqqst d工字钢上总的分布荷载为工字钢上总的分布荷载为）（gaqqqq 1ststd由平衡关系可得工字钢上的起吊力，：由平衡关系可得工字钢上的起吊力，：qlFFBA21 吊索内得应力：吊索内得应力： AlqgaAqlAFN212st）（ 欲使工字钢的欲使工字钢的d,max减至最小，可将吊索向跨中移，图减至最小，可将吊索向跨中移，图（d）所示，使吊索处的负弯矩与跨中的正弯矩大小相等）所示，使吊索处的负弯

6、矩与跨中的正弯矩大小相等。 由型钢表查得由型钢表查得1616号工字钢的号工字钢的 qst=20.5kg/m，Wz=21.210-6m3 所以：所以： qd=22.6MPa 作静载作用下的作静载作用下的Mst图，工字钢图，工字钢的危险截面在梁的跨中的危险截面在梁的跨中,最大弯矩最大弯矩为为: Mst,max=6qst所以，工字钢的最大应力：所以，工字钢的最大应力： MPa115maxd zstdzWMKWM, 6qst2qstagqqst d 薄壁圆环，平均直径为薄壁圆环，平均直径为D，横截面面积为横截面面积为A材料单位体积的质量为材料单位体积的质量为 ，以匀角速度以匀角速度转动。转动。D222

7、2 DADAqd NdNdFF4222 DADqFdNd 2224vDAFNdd qdqd 2vd：强强度度条条件件 从上式可以看出，环内应力仅与从上式可以看出，环内应力仅与 和和 v 有有关，而与关，而与 A 无关。所以，要保证圆环的强度，无关。所以，要保证圆环的强度，应限制圆环的速度。增加截面面积应限制圆环的速度。增加截面面积 A，并不能，并不能改善圆环的强度。改善圆环的强度。 冲击时，冲击物在极短的时冲击时，冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化，间间隔内速度发生很大的变化，其加速度其加速度a 很难测出，无法计算惯很难测出，无法计算惯性力，故无法使用动静法。在实性力，故无法使用动静法

8、。在实用计算中，一般采用能量法。用计算中，一般采用能量法。 现考虑重为现考虑重为P的重物从距弹簧的重物从距弹簧顶端为顶端为h处自由下落，在计算时作处自由下落，在计算时作如下假设如下假设:hP1. 1. 冲击物视为刚体，不考虑其变形；冲击物视为刚体，不考虑其变形；2. 2. 被冲击物的质量远小于冲击物的质量，被冲击物的质量远小于冲击物的质量，可忽略不计，冲击应力瞬间传遍被冲击可忽略不计，冲击应力瞬间传遍被冲击物；物；3. 3. 冲击后冲击物与被冲击物附着在冲击后冲击物与被冲击物附着在 一起运动（不回弹）；一起运动（不回弹）；4. 4. 不考虑冲击时热能的损失，即认不考虑冲击时热能的损失，即认 为

9、只有系统动能与势能的转化。为只有系统动能与势能的转化。dhP 重物重物P 从高度为从高度为 h 处自由落下，冲击到处自由落下，冲击到弹簧顶面上，然后随弹簧一起向下运动。弹簧顶面上，然后随弹簧一起向下运动。当物体当物体P 的速度逐渐降低到零时，的速度逐渐降低到零时，弹簧的变形达到最大值弹簧的变形达到最大值d，与之相应的冲击荷与之相应的冲击荷载即为载即为Fd。dpkVEE 根据能量守恒定律可知，冲击物所减少的动根据能量守恒定律可知，冲击物所减少的动 能能Ek和势能和势能Ep，应全部转换为弹簧的应变能，应全部转换为弹簧的应变能 即即dhPdV0k E)(dphPE dd21FVd dddFhP21

10、)(stddPF PFstdd dstddPhP21 )(0222 stdstdh stststststdhh21128422stdststdKh 211stdhK 211其其中中dstddKPF PKFdd stddK 当荷载突然全部加到被冲击物上，即当荷载突然全部加到被冲击物上，即 时时2211 stdhK 由此可见，突加荷载的动荷因数是由此可见，突加荷载的动荷因数是2 2，这时，这时所引起的应力和变形都是静荷应力和变形的所引起的应力和变形都是静荷应力和变形的2 2倍。倍。 若已知冲击开始瞬间冲击物与若已知冲击开始瞬间冲击物与被冲击物接触时的速度为被冲击物接触时的速度为 v，则，则gvh2

11、2 ststdgvhK211211 hPPd当构件受水平方向冲击时当构件受水平方向冲击时2k21vgPE 0p E2d22121dstdstdddPPFV 22221dstPvgP stddPF ststdgv 2stdgvK2 动动荷荷因因数数 重物重物P自由落下冲击在自由落下冲击在AB梁的梁的B点处，求点处，求B点的点的挠度。挠度。bhHABl解：33343bhElPIElPst 34211211lPhbEhKstd 33344211EbhlPlPhbEKvstddB HABl 图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘上图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘上放置弹簧。弹簧在放置弹簧。弹簧在1kN的静荷载作

12、用的静荷载作用下缩短下缩短0.625mm。钢杆直径钢杆直径d=40mm，l =4m，许用应力许用应力=120MPa，E=200GPa。若有重为若有重为15kN的重物自的重物自由落下，求其许可高度由落下，求其许可高度h。hldm106291062501533 .EAlPststdhK211 MPa124d101523 APst mm 385=m385012012211. hhKststdd 解：h ld 等截面刚架的抗弯刚度为等截面刚架的抗弯刚度为 EI，抗弯截面系数为抗弯截面系数为W，重物重物P自由下落时，求刚架内的最大正应力（不计自由下落时，求刚架内的最大正应力（不计轴力）。轴力）。aah

13、重量为重量为P的物体以水平速度的物体以水平速度v 撞在等截面刚架的撞在等截面刚架的端点端点C，刚架的刚架的EI已知，试求动荷因数已知，试求动荷因数。aaPvIEaPst343 32243aPgvIEgvKstd 例题例题300mmP=5kN6m1m8MPa10GPa：EE橡橡皮皮：木木柱柱计算：计算：1. 1. 木柱最大正应力？木柱最大正应力？2. 2. 在木柱上端垫在木柱上端垫20mm的橡皮，的橡皮， 木柱最大正应力为多少？木柱最大正应力为多少？解：解： （1 1）不垫橡皮时，）不垫橡皮时，)(.mmEAPlst2233310254300143411010106105 21810254101

14、21121123 .stdhkMPaAPkkdstdd4153001434110521823. 柱中的压应力：柱中的压应力：MPa716300143411059523. APkkdstdd （2 2）垫橡皮时，）垫橡皮时，)(.)()(mmststst2200425018021 95220201012112113 .)(stdhk结果表明，在木柱上端垫橡皮垫可大大降低木柱结果表明，在木柱上端垫橡皮垫可大大降低木柱中的最大正应力，能起到很好的缓冲作用。中的最大正应力，能起到很好的缓冲作用。（a）Phhl / 2l / 2l / 2l / 2KKP（b）图示图示a、b为两种为两种不同支承方式的不同

15、支承方式的钢梁承受相同重钢梁承受相同重物的冲击。物的冲击。已知：已知：弹簧刚度弹簧刚度 K=100N/mm，l=3m，h=50mm，P=1kN，钢梁的钢梁的 Iz=3.4 107mm4，Wz=3.09 105mm3，E=200GPa。试比较两者的冲击应力。试比较两者的冲击应力。解解：对于对于（a）所示的简支梁，有所示的简支梁，有mmmmEIPlzst08301043102004830001014873333. 练习题练习题（a）Phhl / 2l / 2l / 2l / 2KKP（b）735083050211211. stdhkMPa42MPa1009343000101453max., zst

16、WPl MPa785MPa42735maxmax., stddk 对于对于（b）所示的所示的弹簧支承梁，有弹簧支承梁，有（a）Phhl / 2l / 2l / 2l / 2KKP（b）5.083mmmm1002101083024833 .KPEIPlzst555083550211211. stdhkMPa313MPa42555maxmax., stddk （a）Phhl / 2l / 2l / 2l / 2KKP（b） 可见，图可见，图（b）所示的梁采用了弹簧支承，减小所示的梁采用了弹簧支承，减小了系统的刚度，从而使冲击动荷因素减小，这是降低了系统的刚度，从而使冲击动荷因素减小，这是降低冲击应

17、力的好方法。冲击应力的好方法。受冲击构件的强度条件为受冲击构件的强度条件为MeddlAB刹车离合器等截面圆轴等截面圆轴AB，长长l=1.5m，直直径径d=50mm，材料的材料的G=80GPa，转速转速n =120r/min。B 端装有飞端装有飞轮，其半径轮，其半径r=250mm，重力重力P=450N。A端装有一制动器。端装有一制动器。试求：试求：（1 1）在）在10s 制动时轴内的最大切应力；（制动时轴内的最大切应力；（2 2）在瞬时制）在瞬时制动时轴内的最大切应力。动时轴内的最大切应力。解解：（1 1）10s 制动时，使用惯性力法求解。制动时，使用惯性力法求解。 圆轴的角加速度为圆轴的角加速

18、度为22rad/s52rad/s10601202602 tnt飞轮的转动惯量飞轮的转动惯量MeddlAB刹车离合器222smN25089450 .rgPJ惯性扭矩为惯性扭矩为mN63mN52872edd . JMT故最大切应力为故最大切应力为MPa150MPa5016106333Pdmaxd,. WT2mkg872 .MeddlAB刹车离合器（2 2）瞬间制动属扭转冲）瞬间制动属扭转冲击问题，使用能量法求解击问题，使用能量法求解（忽略轴的质量）。（忽略轴的质量）。飞轮旋转时的动能飞轮旋转时的动能J6226J601202872212122k. JE刹停后，飞轮的动能全部转化为刹停后，飞轮的动能全

19、部转化为AB轴的应变能，即轴的应变能，即P2ddk2GIlTVE MeddlAB刹车离合器lEGITkPd2 因此因此2tkPtddmax2lWEGIWT Mpa9156Mpa150025108010622644233k. AlGE 比较以上两种情况可见，瞬间制动时轴内的最大比较以上两种情况可见，瞬间制动时轴内的最大动应力比动应力比 10s 制动时的高出上千倍。虽然由于冲击过制动时的高出上千倍。虽然由于冲击过程中存在部分能量损失，最大冲击扭转切应力并没有程中存在部分能量损失，最大冲击扭转切应力并没有那么大，但工程中对带有大飞轮和高速旋转的轴进行那么大，但工程中对带有大飞轮和高速旋转的轴进行急刹

20、车时，对轴的安全是十分不利的。急刹车时，对轴的安全是十分不利的。1 1、构件有加速度时动应力计算、构件有加速度时动应力计算（1 1）直线（铅直）运动构件的动应力）直线（铅直）运动构件的动应力gaKd 1（2 2）水平面转动构件的动应力）水平面转动构件的动应力2 2、构件受冲击时动应力计算、构件受冲击时动应力计算（1 1）自由落体冲击问题）自由落体冲击问题)(std211hK （2 2）水平冲击问题）水平冲击问题stdgvK 2gaKnd 动响应动响应= =Kd 静响应静响应oAAxx(a)重重W，长，长l，一端铰链约束的均质杆，一端铰链约束的均质杆OA，由倒立的垂直位置受扰动倒下。，由倒立的垂直位置受扰动倒下。求：求： 杆中的弯矩分布、最大弯矩及杆中的弯矩分布、最