四年级三大原理抽屉原理教师版

1、抽屉原理5 55 q知识要点最不利原则所谓“最不利原则”是指完成某一项工作先从最不利的情况下考虑，然后研究任意情况下可能的 结果。由此得到充分可靠的结论。抽屉原理又称鸽巢原理或Dirichlet 原理如果把n 1个苹果任意放入n个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有两个苹果。这个现象就是我们所说的抽屉原理。抽屉原理在国外又称为鸽巢原理。(“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”)。它是由德国数学家狄利克雷(G. Lejeune Dirichlet , 18051859)首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称 为狄利克雷原理。它是组

2、合数学中一个重要的原理。抽屉原理1 :如果把多于n件物品任意放到n个抽屉中，那么必有1个抽屉至少有2件物品。抽屉原理2：如果把多于m n件物品任意放到n个抽屉中，那么必有1个抽屉至少有 m 1件物品。抽屉原理3:如果把无穷多件物品任意放到n个抽屉中，那么必有1个抽屉至少有无穷多件物品。国国最不利原则【例1】一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张。那么至少从中摸出多少张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃？【分析】由最不利原则，先摸出 2张王牌、13张红心、13张草花、13张方块， 然后无论模出哪一张必是黑桃； 所以至少从中摸出 2 13 13 13 1 4

3、2张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃。【例2】一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张。那么至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有3张牌是红桃？【分析】由最不利原则，先摸出 2张王牌、13张黑桃、13张草花、13张方块， 然后无论模出哪三张必是红桃； 所以至少从中摸出2 13 13 13 3 44张牌，才能保证至少有 3张牌是红桃。【例3】一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张。那么至少从中摸出多少张牌，才能保证有5张牌是同一花色的？【分析】由最不利原则，先摸出 2张王牌、4张黑桃、4张红心、4张草花、4张方块，

4、 然后无论模出哪一张必必能保证有 5张牌是同一花色的； 所以至少从中摸出 2 4 4 4 4 1 19张牌，才能保证有5张牌是同一花色的。【例4】（2004年第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第8题）一副扑克牌有 54张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有2张牌有相同的点数？【分析】先取大王、小王各一张，再取A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K各一张，这15张牌中，没有两张牌的点数相同； 如果再取1张的话， 它的点数必为 A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K 中的一个； 所以最少要抽取16张牌，方能使其中至少有 2张牌有相同的点数。【例5】（1988年

5、第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第11题）一副扑克牌有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌。问：最少要抽多少张牌，才能保证有4张牌是同一花色？【分析】每种花色各选 3张，一共3 4 12张，可见抽12张牌不能保证有4张牌是同一花色的。如果再抽一张牌，由于花色只有 4种，其中必有一种多于 3张，即必有4张牌同一花色。所以至少要抽13张牌，才能保证有四张牌是同一花色的。【例6】（2006年3月8日第十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第 13题）自制的一幅玩具 牌共计52张（含4种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅。每种牌都有1点、2点、13点牌各一张）。洗好后背面朝上放好。一次至

6、少抽取 张牌，才能保证其中必定有 2张牌的点数和 颜色都相同。如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色）。那么至少要取 张牌。【分析】对前一种情况，可取红、黑色的 113点各1张，共13 2 26张，那么再取一张牌，必定和其中某一张牌点数相同，于是就有2张牌点数和颜色都相同。这是最杯的情况，因此，至少要取26 1 27张牌，必能保证有 2张牌点数、颜色都相同。对后一种情况，有以下的搭配：（1，团，3）、（回，5，6）、（团，18，9）、（四，回，12）,因。因而对有方框的9个数，四种花色的牌都取，这样可以取到 4 2 14 36张牌，其中没有3张牌的点数是相邻的。现在考虑取3

7、7张牌，极端情况下，这 37张牌，有4张是13,则至少要有33张牌取自（，2 , 3）、（回，园，6）、（回，圆，9）、（四，回，12）四个抽屉，根据抽屉原则，必有 9个数来自其中一个抽屉，这个抽屉中就一定有3张牌的点数相邻的。因此，至少要取37张牌。【例7】会议室某排有15个座位，小宇去时部分座位已有人就座，他无论坐在何处都要与已坐的人相邻, 那么小宇就座之前，这一排至少已坐了 人。【分析】当两端各有一个空位，任意两人之间有两个空位时满足小宇无论坐在何处都要与已坐的人相邻；小宇就座之前，这一排至少已坐了15 3 5人。【例8】圆桌周围恰好有12把椅子，现在已经有一些人在桌边就坐。当再有一人入

8、座时，就必须和已就 坐的某人相邻。问：已就坐的最少有多少人？【分析】。表示座位是空的，表示座位是有人座的，当每三个座位为。时，再有一人入座时，就必须和已就坐的某人相邻，且入座人数最少；12 3 4,所以已就坐的最少有 4人。【例9】31个同学围成一个圆圈，坐好后发现任何两个男生之间至少有两个女生，那么男生最多有多少 人？【分析】当每三人为“男女女”时，任何两个男生之间至少有两个女生，且男生最多；31 3 10L L 1 ,男生最多有10人。【例10】（ 2007年第五届“小机灵杯”复赛第4题）一根电缆包括 20根缆线，每种相同颜色的缆线有4根。如果在黑暗中，你至少要抓住 根缆线才能保证每种颜色

9、都至少抓到了1根。【分析】缆线的颜色种类有 20 4 5种；由最不利原则，至少要抓住 4 4 1 17根缆线才能保证每种颜色都至少抓到了1根。【例11】（基础班、提高班、精英班）（2010年3月20日第十届“中环杯”小学生思维能力训练活动第一（5）题）四班共有47人，要从甲、乙、丙三人中投票选举出一人担任班长。已知每个人 都投了一票给三人中的一人，并且在计票过程中的某一时刻，甲得到15票，乙得到13票，丙得到8票。如果得票数比其他两人都多的候选人将成为班长，那么甲最少再得 票就能够保 证当选。【分析】最不利原则。现在还剩下47 15 13 8 11张选票没有统计。如果甲再得4张，乙再得7张，则

10、乙当选为班长； 如果甲再得5张选票，则无论剩余 6张选票投给谁，甲必定当选为班长； 所以甲最少再得5票就能够保证当选。【例12】（超常班、超常3班、超常2班）（ 2002年全国小学生“我爱数学夏令营”数学竞赛）某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于 2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人数为 人。【分析】因为将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，所以女生至少有 2 4 1 9人;因为参赛者中任何10人中必有男生，所以女生最多有 9人；所以参赛女生的人数为 9人，参赛男生的人数为 55 9 46人。【例13】（2008年日本小学算术

11、奥林匹克大赛初赛第4题）现有一个袋子，里面装有8种不同颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球各有50个，则在这个袋子中至少要取出 个玻璃球，才能保证取出的球至少有三种颜色，且有三种颜色的球都至少有10个。【分析】要保证取出的球至少有三种颜色，至少应取 50 2 1 101个球；要保证取出的球中有三种颜色的球都至少有10个，那么至少要取 50 2 9 6 1 155个球（否则两种颜色的球各取 50个、其余六种颜色的球各取 9个，共154个，这样将无法取出的球中有三种颜色的球都至少有10个），由于155 101,所以至少要取出155个球。N简单抽屉原理【例14】有三只小鸟正飞往它们的家一一森林之园，好心的

12、园长为这三只小鸟准备了三个鸟巢，让他的小孙子淘淘把鸟巢挂到树上，可是顽皮的淘淘不小心弄丢了一个鸟巢，现在树上只挂了两个鸟巢。这三只小鸟飞啊飞啊，终于飞到了森林之园。其中小鸟丁丁看到森林之园终于到了，松了一 口气，便停到一棵树上，悠闲的看着如画般的森林之园，当它转过头来，发现同伴们都飞走了， 丁丁便匆忙地飞到鸟巢边，但是它开始发愁了，因为每一只鸟巢都已经住进一只小鸟。怎么办呢？最后还是丁丁的好朋友美美把它拉进了自己的鸟巢中，丁丁和美美就住在了同一个鸟巢中了。故事就是这样的，这个故事中蕴含着一个简单而又十分有用的原理，是什么原理呢？【分析】这个十分有用的原理就是抽屉原理。3只小鸟住2个鸟巢，那么至

13、少有两只小鸟住在一起：鸟巢小鸟数A个鸟巢0123第二个鸟巢3210显然，多于3只的小鸟住到2个鸟巢中，那么也是至少有 2只小鸟会住在一个鸟巢中。【例15】把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔?【分析】要想保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔，把“小兔子”当作“物品”，把“笼子”当作“抽屉”，根据抽屉原理，要把10只小兔放进10 1 9个笼里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔。【例16】四年级一班学雷锋小组有 13人。教数学的张老师说：“你们这个小组至少有 2个人在同一月过生日。”你知道张老师为什么这样说吗？【分析】从题目可以看出，这道题显然

14、与月份有关。我们知道，一年有12个月，把这12个月看成12个抽屉，这道题就相当于把13个苹果放入12个抽屉中。根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹果，因此至少有两个同学在同一个月过生日。【例17】光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？【分析】2000年有366天，把366天看作366个“抽屉”，将367名学生看作367个“苹果”。这样，把367个苹果放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个苹果。这就说明，至少有2名同学的生日相同。【例18证明：任意28个人中，至少有3个人的属相相同。要想保证至少有4个人的属相相同,至少要有几个人？【分析】把12种属相看作12

15、个抽屉，28 12 2L L 4,根据抽屉原理，至少有 3个人的属相相同。要保证至少有4个人的属相相同，总人数最少为 12 3 1 37人。【例19】要想保证至少有5个人的属相相同，但不能保证有6个人的属相相同，那么总人数应该在什么范围内？【分析】要保证有至少5个人的属相相同，总人数最少为12 4 1 49人；不能保证有6个人属相相同的最多人数为 12 5 60人； 所以总人数应该在 49 60人之间。【例20】班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？【分析】把50名小朋友当作50个“抽屉”，书作为物品。把书放在50个抽屉中，要想保证至

16、少有一个抽屉中有两本书，根据抽屉原理，书的数目必须大于50,所以至少要拿50 1 51本书。【例21】 三年级二班有43名同学，班上的“图书角”至少要准备多少本课外书，才能保证有的同学 可以同时借两本书？【分析】把43名同学看作43个抽屉，根据抽屉原理，要使至少有一个抽屉里有两个苹果，那么就要使苹果的个数大于抽屉的数量。因此，“图书角”至少要准备 43 1 44本课外书。【例22】（2003年4月20日第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试第16题）甲、乙、丙、丁四人做游戏，丁对甲、乙、丙说：“无论你们三人每人给出的整数是什么，我有一个结论总成立。”甲、乙、丙三人半信半疑，经三人多次验

17、证，结果都正确。请写出丁可能给的结论， 并说明理由。【分析】这3个整数中，至少有 2个奇偶性相等。 一个整数要么是奇数、要么是偶数； 由抽屉原理，3 2 1L L 1 ,所以只少有1 1 2个整数奇偶性相同。年复杂抽屉原理（构造抽屉）【例23】（西南位育小升初试题）在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数?【分析】任何整数除以 3的余数只能是0, 1, 2三种情形之一。现在，对于任意的五个自然数，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数，于是可分下面两种情形来加以讨论。第一种情形：有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以3后具有相同的余数。因为这三个数的余数之和是其中一个

18、余数的3倍，故能被3整除，所以这三个数之和能被 3整除。第二种情形：至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数， 在每个抽屉里各取一个数，这三个数被3除的余数分别为0,1,2。因此这三个数之和能被 3整除。综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是3的倍数。【例24】老师在黑板上出了两道题，规定每道题做对得2分，不做得1分,做错得0分。老师说：“可以肯定全班同学中至少有 6名同学各题的得分都相同。”那么，这个班至少有多少名同学？【分析】以同学做两道题的得分情况为“抽屉”，由于两道题各有三种得分情况，所以共有3 3 9种得分情况，那么共有9个抽屉，学生数量即“苹果”数为 9 5

19、1 46人。【例25今有乒乓球盒22个，每个盒子内最多可放六个球，试说明这些盒子中，至少有四个盒子里所放球数相同。【分析】每个盒子中放的球数可以为0、1、2、3、4、5、6之一，共有7种情况，相当于7个抽屉，根据抽屉原理，22 7 3L L 1 ,至少有3 1 4个盒子里所放球数相同。【例26】老师在黑板上出了两道题，规定每道题做对得2分，不做得1分，做错得0分。老师说：“可以肯定全班同学中至少有 6名同学各题的得分都相同。”那么，这个班至少有多少名同学？【分析】以同学做两道题的得分情况为“抽屉”，由于两道题各有三种得分情况，所以共有3 3 9种得分情况，那么共有9个抽屉，学生数量即“苹果”数

20、为 9 5 1 46人。【例27】（华育中学小升初试题）幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？【分析】根据题意列下表：小汽车小火车小飞机A个小朋友VV第二个小朋友VV第三个小朋友VV第四个小朋友我们要考虑到最倒霉的情况，三个小朋友选择的情况各不相同，但是第四个小朋友再选择时，一定会和前三种情况中的某一种是一样。有3个小朋友就有三种不同的选择方法，当第四个小朋友准备拿时，不管他怎么选择都可以跟前面三个同学其中的一个选法相同。所以至少要有4个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的。【例28】幼儿园买来许多牛、马、

21、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件， 但不能是同样的，问:至少有多少个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？【分析】从四种玩具中挑选不同的两件，所有的搭配有 C2 土避 6组2 1（牛、马；牛、羊；牛、狗；马、羊；马、狗；羊、狗）。把每一组搭配看作一个“抽屉”，共6个抽屉。根据抽屉原理，至少要有 6 1 7个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同。【例29】在1,4,7, 10,100中任选20个数，其中至少有不同的两组数其和都等于104?【分析】1, 4, 7, 10,，100共有34个数，将其分为（4, 100）, （ 7, 97）,，（ 49, 55）, （ 1 ）, （ 52 ）

22、,共有 18个抽屉。104。从这18个抽屉里面任意抽取 20个数，则至少有18个数取自前16个抽屉, 所以至少有4个数取自某两个抽屉中，而属于同一 “抽屉”的两个数，其和是【练习1】把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼。【分析】在8个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是8条金鱼；还剩下的一条会任意放在这 8个鱼缸其中的一个中，这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼。【练习2】有10只鸽笼，为保证至少有 1只鸽笼中住有2只或2只以上的鸽子.请问：至少需要有几只鸽子？【分析】有10只鸽笼，每个笼子住1只鸽子，一共就是10只。要保证至少有1只鸽笼中住有2只或2只以上的

23、鸽子。那么至少需要11只鸽子，这多出的1只鸽子会住在这10个任意一个笼子里。这样就有1个笼子里住着2只鸽子。所以至少需要 11只鸽子。【练习3】学校买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借阅其中两本，现有4位小朋友前来借阅，每人都借了 2本。请问：你能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种吗？【分析】每个小朋友都借 2本有3种可能：数数，英英，数英。第4个小朋友无论借什么书， 都可能是这三种情况中的一种，这样就有两个同学借的是同一类书，所以可以保证，至少有 2位小朋友，他们所借阅的两本书属于同类。【练习4】 黑、白、黄三种颜色的筷子各有很多根，在黑暗处至少拿出几根筷子就能保证

24、有一双是相同 颜色的筷子？【分析】问题问的是要有一双相同颜色的筷子。把黑、白、黄三种颜色的筷子当作3个抽屉，根据抽屉原理，至少有 4根筷子，才能使其中一个抽屉里至少有两根筷子。所以，至少拿4根筷子，才能保证有一双是相同颜色的筷子。【练习5】将8朵花插入7只花瓶中，至少有1只花瓶中有2朵或2朵以上的花，对吗？为什么？【分析】有7只花瓶，如果每个花瓶插 1只花，那么就是7朵。8朵中还剩下的这一朵，会插在这7只瓶子的任意一只中，这样就有 1只瓶子会插上2朵花,因此这句话是正确的。【练习6】有一个布袋中有5种不同颜色的球，每种都有 20个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有 2个小球的颜

25、色相同？【分析】5种颜色看作5个抽屉，要保证一个抽屉中至少有2个球，需要取5 1 6个球。【练习7】口袋里有蓝色球6个，红色球2个，黄色球19个，至少要取多少个小球才能保证至少有5个小球同色？【分析】考虑最不利情况先取 2个红球，4个蓝球，4个黄球，然后无论取哪个球都能保证至少有5个小球同色；所以至少要取2 4 4 1 11个小球才能保证至少有 5个小球同色。【练习8】 班上有28名小朋友，老师至少买多少巧克力，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋 友能得到不少于两块巧克力？【分析】老师至少拿 29块巧克力，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友得到不少于两块巧克力。【练习9】围棋盒中装有

26、黑子和白子各180粒，一次最少取出多少粒才能保证至少有20粒棋子颜色相同？【分析】一次最少取出20 1 2 1 39粒才能保证至少有 20粒棋子颜色相同。【练习10】 用红、蓝两种颜色将一个 2 5方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜第弟弟色.是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？列列列第一行第二行第 五 列【分析】用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有 2 2 4种情形:造 rm.造rm.将上面的四种情形看成四个“抽屉”，把五列方格看出五个“苹果”，根据抽屉原理，将五个苹果放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两个苹果, 也就是至少有一种情形占据两列方格，

27、即这两列的小方格中涂的颜色完全相同。【练习11】 体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有66个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿一个，最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？【分析】以拿球配组的方式为抽屉，每人拿一个或两个球，所以抽屉有：足、排、篮、足足、排排、篮篮、足排、足篮、排篮共9种情况，即有9个抽屉，66 9 7LL3,即至少有7 1 8名同学所拿球的种类是一样的。【练习12】 用五种颜色给正方体各面涂色（每面只涂一种色），请你说明：至少会有两个面涂色相同。【分析】五种颜色最多只能涂 5个不同颜色的面，因为正方体有6个面，还有一个面要选择这五种颜色中的任意一种来涂

28、，不管这个面涂成哪种颜色，都会和前面有个面颜色相同，这样就有两个面会被涂上相同的颜色。也可以把五种颜色作为 5个“抽屉”，六个面作为六个物品，当把六个面随意放入五个抽屉时， 根据抽屉原理，一定有一个抽屉中有两个或两个以上的面，也就是至少会有两个面涂色相同。【练习13】 学校买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借阅其中两本，现有4位小朋友前来借阅，每人都借了 2本。请问：你能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种 吗？【分析】每个小朋友都借 2本有3种可能：数数，英英，数英。第4个小朋友无论借什么书，都可能是这三种情况中的一种，这样就有两个同学借的是同一类书，所以可以保证，至

29、少有 2位小朋友，他们所借阅的两本书属于同类。【练习14 一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个。请问：一次至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？一次至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？【分析】由最不利原则，先取红色的木球有10个，黄色的木球有8个，然后无论取哪个球都都能把保证有三种颜色的球；所以一次至少要取出10 8 1 19个球，才能保证取出的球至少有三种颜色。由最不利原则，先取蓝色的木球有3个，绿色白木球有1个，再取红色的木球10个，然后无论取哪个球都能保证必有红球和黄球；所以一次至少要取出 3 1

30、10 1 15个球，才能保证其中必有红球和黄球。【练习15（2007年第五届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题能力展示大赛四年级初赛第12题）袋中有外形完全一样的红、黄、蓝三种颜色的小球各15个，每个小朋友只能从中摸出2个小球。至少有 个小朋友摸球，才能保证一定有两个人模的球的颜色一样。【分析】摸出2个球颜色相同有3种情况（红红、黄黄、蓝蓝）；摸出2个球颜色不同有 C32 32 3种情况（红黄、红蓝、黄蓝）；2 1所以摸出2个小球有3 3 6种可能；所以至少有6 1 7个小朋友摸球，才能保证一定有两个人模的球的颜色一样。【补充1】在长度是10厘米的线段上任意取 11个点，是否

31、至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米？【分析】把长度10厘米的线段10等分，那么每段线段的长度是 1厘米。将每段线段看成是一个“抽屉”，一共有10个抽屉。现在将这11个点放到这10个抽屉中去。根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点）。由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会大于1厘米。所以，在长度是10厘米的线段上任意取11个点，至少存在两个点，它们之间的距离不大于 1厘米。【补充2】在1米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于25厘米。【分析】5个点最少把1米长的直尺分成4段，要想使每一段都尽量长，应采取平均分的办法。

32、把1米长的直尺平均划分成四段，每一段25厘米，把这四段看成四个抽屉。当把五个点随意放入四个抽屉时，根据抽屉原理，一定有一个抽屉里面有两个或两个以上的点，落在同一段上的这两点间的距离一定不大于25厘米，所以结论成立。【补充3】（2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题能力展示大赛四年级决赛第9题）“走美”主试委员会为三 八年级准备决赛试题。每个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年级都不同。如果某道题出现在不同年级，最多只能出现3次。本届活动至少要准备 道决赛试题。【分析】首先每个年级都有 8道题与其他年级不同，那么 6个年级一共要准备 48道题。然后各个年级剩下的

33、 6 4 24题中可以某道题出现 3次，所以要准备24 3 8道题，例如：三年级剩余的 4道题与四、五年级剩余的 4道题相同，六年级剩余的4道题与七、八年级剩余的 4道题相同，所以本届活动至少要准备 48 8 56道决赛试题。【补充4】（ 2005年第十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组总决赛一试第5题）若干名小朋友购买单价为3元和5元的两种商品，每人至少买一件，但每人购买的商品的总金额不得超过15元。小民说：小朋友中一定至少有三人购买的两种商品的数量完全相同。问：至少有多少名小朋友？【分析】不超过15元可购买商品的方法有如下 12种：3元件数5元件数总钱数10320630940125015

34、01511821113114021012130315至少有12 2 1 25名小朋友。【补充5】能否在10行10列的方格表的每个空格中分别填上1,2, 3这三个数之一，使得大正方形的每行、每列及对角线上的 10个数字之和互不相同？对你的结论加以说明。【分析】大正方形的每行、每列及对角线上的10个数字之和最小是10,最大是30。因为从10到30之间只有21个互不相同的整数值，把这21个互不相同的数值看作 21个“抽屉”，而10行、10列及两条对角线上的数字和共有 22个整数值，这样元素的个数比抽屉的个数多1个，根据抽屉原理可知，至少有两个和同属于一个抽屉，故要使大正方形的每行、每列及对角线上的1

35、0个数字之和互不相同是不可能的。【补充6】（ 1992年第一届日本小学数学奥林匹克大赛决赛第2题）有一个工厂制造了一种产品，此产品卖一个可以得到1000日元，一共做了 11个这样的产品，但是其中有一个是次品不能卖出去。 现在用一种机器来检验产品质量，此机器有以下性能：一次可以检验任何数量的产品。每检 验一次，需要花费1000日元手续费。检验中没发现次品，则每一个产品可卖1000日元。如果在一次检验中发现次品的话，则此次检验的产品全部报废，一个也不能卖出去。假如用这个机 器一次检验一个产品，则有下面几种情况：运气非常好的情况：第一次被检验产品是次品。这样 剩下的10个产品都是 正品，可以卖 出去。检 验一次 需1000日元手续费， 因此可 以得到 1000 10 1000 9000日元的收入。运气最坏的情况：检验到第10个产品，发现是次品，这样前9个产品可分别卖1000日元，但检验费每次也是 1000日元，则等于没有收入。请问：根据一次 检验的个数及顺序可以有几种检验方法，如果在运气最坏的情况下想得到最高的收入，那么采用什么样的检验方法最好？此时收入是多少？【分析】最不利原则。假设收入尽