线性代数第1章第3节行列式性质

1、1第一章第一章 行列式行列式第三节第三节 行列式的性质行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质二、利用行列式的性质计算行列式二、利用行列式的性质计算行列式2 引 言 行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很麻烦的行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很麻烦的问题问题n 阶行列式一共有阶行列式一共有 n! 项，计算它就需要做项，计算它就需要做 n!(n-1) 个乘法当个乘法当n 较大时，较大时，n! 是一个相当大的数字，直接从定义是一个相当大的数字，直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事来计算行列式几乎是不可能的事 如对于一个如对于一个18阶行列式，假定计算作一次乘法运算的时阶行列式，假定计

2、算作一次乘法运算的时间需要间需要 10-6 秒，即百万分之一秒，则利用行列式的定义直接秒，即百万分之一秒，则利用行列式的定义直接计算计算 18 阶行列式的值需要的时间（以每天工作阶行列式的值需要的时间（以每天工作8小时计）小时计）竞多达竞多达200年！年！ 因此有必要进一步讨论行列式的性质利用这些性质因此有必要进一步讨论行列式的性质利用这些性质可以化简行列式的计算可以化简行列式的计算 1518!6.4 103一、行列式的性质一、行列式的性质 将行列式将行列式D的行与列互换后得到的行列式，称为的行与列互换后得到的行列式，称为D的的转转置行列式置行列式，记为，记为DT或或D即如果即如果nnnnnn

3、aaaaaaaaaD212222111211 nnnnnnTaaaaaaaaaD212221212111 则则4证明证明：nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnnnnnTbbbbbbbbbD212222111211 设设则则jiijab ), 2 , 1,(nji 由行列式定义由行列式定义 nnnjjjnjjjjjjTbbbD21212121)()1( 1 2121 2()12( 1)nnnj jjjjj nj jja aa 说明：说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质对列也行列式中行与列地位相同，对行成立的性质对列也成立，反之亦然成立，反之亦然性质性质1 1：

4、行列式与它的转置行列式相等，即行列式与它的转置行列式相等，即D=DTD 5例：例：328156947D 10532 10836072 14201, 319254867TD 105 10832360 1472201. TDD6性质性质2 2： 互换行列式的两行（列），行列式的值变号互换行列式的两行（列），行列式的值变号证明：证明：设设nnnntnttsnssnaaaaaaaaaaaaD21212111211 交换交换s s、t t 两行，得两行，得nnnnsnsstnttnaaaaaaaaaaaaD212121112111 s s行行t t行行7由行列式定义可知，由行列式定义可知，D中任一项中任

5、一项可以写成可以写成ntsntsnjtjsjjjjjjaaaa111)()1( 因为因为nstntsnjsjtjjnjtjsjjaaaaaaaa1111 （2）（1）显然这是显然这是D1中取自不同行、不同列的中取自不同行、不同列的n个元素的乘积个元素的乘积，而且而且（2）式右端的式右端的n个元素是按它们在个元素是按它们在D1中所处的行标为自然顺序中所处的行标为自然顺序排好的因此排好的因此nstnstnjsjtjjjjjjaaaa111)()1( 是是1D中的一项中的一项（3）8因为，排列因为，排列ntsjjjj1与排列与排列nstjjjj1的的奇偶性相反，所以项（奇偶性相反，所以项（1）与项（

6、）与项（3）相差一符号，这就证明）相差一符号，这就证明了了D的任一项的反号是的任一项的反号是D1中的项，同样可以证明中的项，同样可以证明 D1中的中的任一项的反号也是任一项的反号也是D中的项中的项因此因此，DD1记法记法行列式的第行列式的第s行行：sr行列式的第行列式的第s列列：sc交换交换s、t两行两行：tsrr 交换交换s、t两列两列：tscc 推论：推论： 如果行列式有两行（列）相同，则行列式为如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0 证明：证明： 把相同的两行互换，有把相同的两行互换，有DD，所以所以 D09性质性质3：用数用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，乘行列式的某一行

7、（列）中所有元素，等于用数等于用数 k 乘此行列式乘此行列式推论：推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面记法记法第第s 行乘以行乘以k：skr第第s 列乘以列乘以k:skcnnnnsnssnnnnnsnssnaaakakakaaaaaaaaaaaaak212111211212111211 推论：推论： 若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于式等于0 10性质性质4：nnnnnnnaaacbcbcbaaa21221111211 nnnnnnaaabbbaaa21211121

8、1 nnnnnnaaacccaaa212111211即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样列式的对应的行一样11nnnnnnnnacbaaacbaaacbaa 2122222211111211nnnnnnnabaaabaaabaa21222221111211nnnnnnnacaaacaaacaa21222221111211 12例：例：计算计算12430135.24670030D 分析：分析：1243013520408( 2

9、)6 10030D 12431243013501352486002100300030123401530( 1)00120003 3. 13注意注意，一般说来，一般说来1111121221212222ababDabab因为因为11121112111211122122212221222122.aaabbabbaaabbabb111212111212212222212222aabbabDaabbab1112111221222122aabbaabb 14例：例：设设abcd =1， 计算行列式计算行列式22222222111111111111.aaaabbbbDccccdddd 解：解：2222222

10、211111111111111111111aaaaaabbbbbbDccccccdddddd152222222211111111111111111111aaaaaabbbbbbDccccccdddddd2222322221111111111111111111111111()aaaaaabbbbbbabcdccccccdddddd 0.16性质性质5： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变记法记法数数k乘第乘第 t 行加到第行加到第 s 行上：行上：t

11、skrr )(tskcc 证明：证明：nnnntnttsnssnaaaaaaaaaaaaD21212111211 作作tskrr 17得得nnnntntttnsntstsnaaaaaakaakaakaaaaaD21212211112111 nnnntnttsnssnaaaaaaaaaaaa21212111211 nnnntntttnttnaaaaaakakakaaaa21212111211 DD 018 行列式的性质在行列式的理论研究与行列式的计算行列式的性质在行列式的理论研究与行列式的计算上都有重要作用，要注意正确使用行列式的性质上都有重要作用，要注意正确使用行列式的性质 (1)每次交换行列

12、式的两行（列），行列式都要变号每次交换行列式的两行（列），行列式都要变号; (2)对对n阶行列式有阶行列式有| kaij | = kn | aij | ； (3)正确使用行列式性质正确使用行列式性质5，将行列式第，将行列式第j行（列）乘行（列）乘k，加于第加于第i行（列）上，行列式的值不变但若将行列式第行（列）上，行列式的值不变但若将行列式第i行（列）乘行（列）乘k，再将第，再将第j行（列）或第行（列）或第j行（列）的若干倍行（列）的若干倍加在第加在第i行（列）上，这样构成的行列式等于原行列式乘行（列）上，这样构成的行列式等于原行列式乘k19例：例：设行列式设行列式11121314212223

13、243132333441424344.aaaaaaaaDaaaaaaaa则则111213142122232431323334414243442222aaaaaaaaaaaaaaaa.2D11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaa4.( 1) DD201112131421222324313233344142434410555633322aaaaaaaaaaaaaaaa( 5)( 2) 30.3 DD1111121311143131323331342121222321244141424341443254325432543254aaaaaaaaa

14、aaaaaaaaaaaaaaa .10D21例：例：设设Aj 表示行列式表示行列式| aij | (i, j = 1, 2, 3, 4)的第的第 j 列列( j = 1, 2, 3, 4)，已知，已知| aij | =2，求，求312142, 3,.AAAAA解：解：312142, 3,AAAAA132cc3214, 3,AAAA13cc32143 ( 1),AAAA 1234( 3),AAAA 3|ija3 ( 2)6. 22例：例：设行列式设行列式| aij | = m，（，（i,j =1,2,3,4,5)，依下列次序对，依下列次序对| aij |进行变换后，求其结果进行变换后，求其结果

15、交换第一行与第五行，再转置，用交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有元素，再用乘所有元素，再用( 3)乘以第二列加于第四列，最后用乘以第二列加于第四列，最后用4除第二行各元素除第二行各元素分析：分析：变变 换换结结 果果15rr42( 3)cc 2/4r所以最终结果为所以最终结果为 8m.8 mmm25 m25 m2乘所有元素乘所有元素转置转置23例：例：用行列式性质证明用行列式性质证明111111112222222233333333.akbbccabcakbbccabcakbbccabc证明：证明：111111112222222233333333akbbcakbccakbbcakbccakb

16、bcakbcc左式1111112222223333330abckbbcabckbbcabckbbc111222333abcabcabc右式.24(1)上三角形行列式上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为（主对角线下侧元素都为0 0）nnnnaaaaaaD00022211211 nnaaa2211 (2)下三角形行列式下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为（主对角线上侧元素都为0 0）nnaaa2211 nnnnaaaaaaD21222111000 二、利用行列式的性质计算行列式二、利用行列式的性质计算行列式25例：例：利用行列式的性质计算行列式利用行列式的性质计算行列式000001000020

17、000300.004000050000600000D 分析：分析： 用行列式的定义计算用行列式的定义计算(654321)( 1)1 2 3 4 5 6D 15( 1) 6!720. 或或6(6 1)2( 1)1 2 3 4 5 6D 720. 26用行列式性质计算用行列式性质计算000001000020000300004000050000600000D 3100000020000003000( 1)0004000000500000061 2 3 4 5 6720. 162534cccccc27例：例：计算行列式计算行列式11111111.1111111 1解：解：111102220022000

18、2213141rrrrrr原式原式8.28例：例：计算行列式计算行列式0112110212102110D解：解：121102011212102110rrD314111020112( 2)01120314rrrr 291102011201120314D 110201120024002211020112002400021 ( 1) ( 2) ( 2)4. 43( 1)rr 32423rrrr30化一般行列式为上三角行列式的步骤：化一般行列式为上三角行列式的步骤： 如果第一列第一个元素为如果第一列第一个元素为0，先将第一行与其它行，先将第一行与其它行交换，使第一列第一个元素不为交换，使第一列第一个元

19、素不为0； 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为使第一列除第一个元素外其余元素全为0； 再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式；的低一阶行列式； 依次作下去，直至使它成为上三角形行列式，这依次作下去，直至使它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值时主对角线上元素的乘积就是行列式的值31例：例：计算行列式计算行列式解：解：原式原式21rr153 11231231.3112231111230114047110157324rr42rr112

20、30114003270063432rr112301140032700051313rr412rr32例：例：计算行列式计算行列式2512371459274612D解：解：D13cc15221734295716422131412rrrrrr152202160113012033D 1522021601130120152201200113021632422rrrr24rr152201200033003643rr15220120003300039 34例：例：计算行列式计算行列式解：解：D12rr25311313.01151423D212rr41rr131325310115142313130115501

21、15011023rr131301150115501103211rr42rr13130115001660002535131301150016600025D34rr131301150025001660438rr131301150025000204036例：例：计算行列式计算行列式解一：解一：原式原式12342341.34124123212rr1234012702810071013322rr427rr1234012700440043643rr12340127004400040160313rr414rr37原式原式1234cccc102341034110412101231234134110141211

22、23例：例：计算行列式计算行列式解二：解二：12342341.3412412332rr21rr41rr12340113100131011132rr21rr123401131000440004160.38例：例：计算计算 n 阶行列式阶行列式解：解：00.00nxxxxxxDxxxxxxnD12nccc(1)(1)0(1)0(1)0nxxxxnxxxnxxxnxxx39nD (1)(1)0(1)0(1)0nxxxxnxxxnxxxnxxx1(2,3,)irr in(1)000000000nxxxxxxx1( 1)(1).nnnx 40例：例：计算计算n阶行列式阶行列式21111211.11211112nD 解一：解一：1111121111211112nnnnnD11111211(1) 11211112n12,3,iinrr11110100(1) 00100001n1.n41解法二：解法二：12,3,iinrr2111110010101001nD12nccc1111010000100001n1.n42例例：计算计算n阶行列式阶行列式.nabbbbabbDbbabbbba(1).(1).(1).