朱自清散文集读后感：真正的好朋友别人是抢不走的

1、 2.1 控制系统数学模型的概念 定义：根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性和输出与输入关系的数学表达式。 2.1.1 数学模型的类型 1. 静态模型与动态模型 描述系统静态（工作状态不变或慢变过程）特性的模型，称为静态数学模型。静态数学模型一般是以代数方程表示的，数学表达式中的变量不依赖于时间，是输入输出之间的稳态关系。http:/ 描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型。动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微分方程等形式。静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况。 3. 连续时间模型与离散时间模型 根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号

2、，数学模型分为连续时间模型和离散时间模型，简称连续模型和离散模型。连续数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等。离散数学模型有差分方程、Z传递函数、离散状态空间表达式等。 4. 参数模型与非参数模型 从描述方式上看，数学模型分为参数模型和非参数模型两大类。参数模型是用数学表达式表示的数学模型，如传递函数、差分方程、状态方程等。 非参数模型是直接或间接从物理系统的试验分析中得到的响应曲线表示的数学模型，如脉冲响应、阶跃响应、频率特性曲线等。 数学模型虽然有不同的表示形式，但它们之间可以互相转换，可以由一种形式的模型转换为另一种形式的模型。 2.1.2 建立数学模型的方法 建立系统的数学模型

3、简称为建模。系统建模有两大类方法，或者说有两种不同的途径。一类是机理分析建模方法，称为分析法，另一类是实验建模方法，通常称为系统辨识。 2.2.1 状态与状态空间的概念 如图2.1所示弹簧-阻尼器 系统，根据物理学定律 可知，在外作用力F(t) 已知的情况下，如果知道 了物体在某一时刻的位移 y(t)及速度v(t),就能确定系 统未来的动态响应。KY(t)F(t)fM图2.1 弹簧-阻尼器系统 如果仅知道物体的位移或速度，就不能确定系统未来的动态响应。另一方面，物体的位移、速度及加速度这三个量显然是不独立的，即可以根据其中的两个量确定另外的一个量，因此这个量对于描述系统的状态是多余的。我们可以

4、选择物体在某一时刻的位移及速度作为弹簧-阻尼器系统在某一时刻的状态。 即状态对于描述系统特性应该是充分且必要的。因此状态可以定义如下： 状态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。 状态变量：能够确定系统各个时刻状态的具有最少个数变量的一组变量。 把描述系统状态的n个状态变量 为一个向量的n个分量，这n个向量称为状态向量，记为 ，即l (2.1) 例如，弹簧-阻尼器系统的状态向量为 其中， 为物体的位移， 为物体的速度。 ), 2 , 1(),(nitxi)(txTntxtxtxtx )()()()(21)()()(tytytx)(ty

5、)(ty 以个状态变量作为坐标轴所组成的维空间称为状态空间。如果n=2，则状态空间是一个平面，通常称为相平面。如果 n=3，则是一般的三维空间。三维以上的空间就失去了一般空间的意义。 由于把系统的状态看成是一个向量，状态向量可用状态空间中的一个点来表示，因此能够在状态空间中用几何术语来解释状态变量分析的问题，即采用“状态空间分析”方法。 1. 状态方程和输出方程 描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程。 系统的输出量完全取决于系统的状态变量和输入变量，可以用一个关系式来描述。描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间关系的方程称为输出方程。 系统的状态方程和输出方程合

6、称为系统的状态空间表达式，或称为动态方程。 如何根据系统的机理建立系统的状态方程? 建立状态方程的第一步是选择状态变量。 选择状态变量一般有三条途径： 1）选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变量； 2）选择系统的输出变量及其各阶导数作为状态变量； 3）选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状 态变量。 例2.1 建立如图2.1所示弹簧-阻尼器系统的状态空间表达式。 解 选取状态变量为 。 因为物体受到的力为外力 、弹簧拉力 和阻尼器阻力 的合力，所以根据牛顿定律得 设弹簧和阻尼器是线性的，根据虎克定律等物理定律得 )(),(21tyxtyx)(tF)(tFk)(tFffkFFFdtyd

7、M22dttdyftFtKytFfk)()()()(其中，M为物体的质量；K为弹簧的弹性模量；f为阻尼器的阻尼系数。将上式整理成 上面这个描述弹簧-阻尼器系统的状态变量 和输入变量 之间关系的一阶微分方程组就是系统的状态方程。系统的输出方程为 将上面的状态空间表达式写成矩阵形式l (2.2a)FMxMfxMKxxx121221)(),(21txtx)(tF1xy FMxxMfMKxx10102121 (2.2b)或 其中, ； ； ； 。 例2.2 建立如图2.2所示网络的状 态空间表达式。 2101xxyBFAxxCxy 21xxxMfMKA10MB1001C L R C u(t) y(t)

8、 解 下面对同一系统选择不同的状态变量，从而得到不同的状态空间表达式。(1)选两个独立的储能元件电容上的电荷 和电感中的电流 为状态变量，即 ，则整理得系统的状态方程为 )(tq)(tiixqx21,uqCdtdiLiRidtdq1uLxLRxLCxxx1121221解: 下面对同一系统选择不同的状态变量，从而得到不同的状态空间表达式。 (1)选两个独立的储能元件电容上的电荷 和电感中的电流 为状态变量，即 ，则 整理得系统的状态方程为)(tq)(tiixqx21,uqCdtdiLiRidtdq1uLiLRqLCdtdiidtdq11或 写成矩阵形式l (2.3a)输出方程为l (2.3b)(

9、2)选状态变量为电感中的电流 ，电容上的电压 ，则uLxLRxLCxxx1121221uLxxLRLCxx10110212121101xxCCxCqyix 1dttiCCqx)(12uxxLRxxCx211121或 状态空间表达式为l (2.4a)l l (2.4b)(3) 选状态变量为， 12211111xCxuLxLxLRxuLxxCLLRxx01011212121210 xxxyidtRLix1idtx2 对状态变量求导得 而系统的方程为 所以 对状态变量求导得 所以，系统的状态方程为RidtdiLx1uidtCRidtdiL1uxCuidtCx2111211211xLRxLidtLRx

10、Lix2122111xLRxLxuxCx 系统的输出方程为 状态空间表达式为l (2.5a)l (2.5b)211xCidtCyuxxLRLCxx0111021212121011xxCxCidtCy可以看出：1） 状态变量的选择不唯一，因此状态方程也不唯一（但在相似意义下是唯一的）；2）状态变量的个数一定；3）状态变量可以是有明显物理意义的量，也可以是没有明显物理意义的量。状态变量可以是可测的量，也可以是不可测的量。 1. 单输入单输出线性系统的状态空间表达式 对于线性系统，状态方程中各个状态变量的导数与状态变量和输入变量都是线性关系，输出变量与状态变量、输入变量也是线性关系。因此，单输入单输

11、出（SISO）n阶线性系统状态空间表达式的一般形式为 (2.7a) (2.7b)写成矩阵形式 ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn2211222221212112121111duxcxcxcynn2211 (2.8a) (2.8b) 或表示为 (2.9a) (2.9b) 其中 为常数，称为直接传递。ubbbxaaaaaaaaaxnnnnnnn21212222111211duxcccyn21BuAxxduCxyTnxxxx21nnijaATnbbbB21ncccC21d 2. 多输入多输出线性系统的状态空间表达式 具有个输入r、m个输出的n阶多输入多输出（

12、MIMO）线性系统的状态方程为 (2.10a) 输出方程为 (2.10b)r r rrnrnnnnnnnnrrnnrrnnubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxax22112211222212122221212121211112121111rmrmmnmnmmmrrnnrrnnudududxcxcxcyudududxcxcxcyudududxcxcxcy22112211222212122221212121211112121111写成矩阵形式为 (2.11a) (2.11b)或 (2.12a) (2.12b)ubbbbbbbbbxaaaaaaaaaxnrnnr

13、rnnnnnn212222111211212222111211udddddddddxcccccccccymrmmrrmnmmnn212222111211212222111211BuAxxDuCxy 其中， 为 维状态向量； 为 维控制向量； 为 维输出向量；A为 维系统矩阵，表示系统内部各状态变量之间的关系；B为 维输入矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C为 维输出矩阵，表示输出与状态变量的组成关系；D为 维前馈矩阵， 表示输入对输出的直接传递关系。 Tnxxxx21Truuuu211nTmyyyy21nn1rrnnmrm1m 若不考虑直接传输，则一般表达为 (2.13) 若系统是线性定

14、常系统，则A,B,C,D均为常数矩阵。若系统是时变系统，则A,B,C,D的元素有些或全部是时间的函数。 多输入多输出系统可以用如图2.4所示的矩阵方框图表示，其中积分方框由n个积分器组成。CxyBuAxx l AByCx uDx图2.4 线性系统的一般结构 状态变量的选择是不唯一的，因此状态方程也不唯一，但这些状态方程都描述了同一个系统，因此这些状态方程本质上是相同的。事实上，它们之间都可以通过线性变换得到，因此状态方程在相似意义下是唯一的。 利用这一点使很多系统的分析与设计得以简化 。 设状态变量取为时，线性连续时变系统或定常系统的状态空间表达式为 2.14a (2.14b) 取线性变换 2

15、.15 其中，P为常量矩阵。由于式（2.15）中x与 之间是线性关系，所以称为线性变换。 )()()(tButAxtx)()(tCxty)()(txPtxx 由状态的定义可知，虽然状态变量的选取不同，但状态变量的个数都是n，因此，P应该是非奇异阵，即存在 ，使 2.16上述变换称为非奇异线性变换或等价变换。通过非奇异线性变换，系统的状态空间表达式变换为 2.17a (2.17b)1P)()(1txPtx)()()(tuBtxAtxxCy 面推导A,B,C与 之间的关系。将式（2.15）代入式（2.14）得 由于存在 ，所以有 （2.18） 将式（2.18）与式（2.17）比较，得 （2.19）

16、 或 (2.20) CBA,xCPyBuxAPxP1PxCPyBuPxAPPx11CPCBPBAPPA,1111,PCCBPBPAPA 由式（2.19）或式（2.20）可对状态空间表达式进行非奇异线性变换。下面考察经非奇异线性变换后，矩阵A与 的特征值的变化情况。 = A|111APPPPAPPIAI|)(|111PAIPAPPIPP|111AIAIPPAIPPPAIP 可见，和具有相同的特征多项式，因此具有相同的特征值。因此，经非奇异线性变换后，虽然状态变量变了，状态方程的参数也变了，但状态方程的特征值不变，所以，一般称特征值是系统的不变量。 例2.4 已知系统的状态方程为 Auxxxxxx

17、1006116100010321321取线性变换为 求变换后的系统的状态方程。 解： P= ， =由式(2.19)得 321321941321111xxxxxx9413211115 . 05 . 111435 . 05 . 231P94132111161161000105 . 05 . 111435 . 05 . 231APPA = 所以，变换后的状态方程为30002000127819413215 . 05 . 111435 . 05 . 235 . 015 . 01005 . 05 . 111435 . 05 . 231BPBuxx5 . 015 . 03000200012.3.1 列写系统

18、微分方程的一般步骤列写系统微分方程的一般步骤 根据系统的机理分析，列写系统微分方程的一般步骤为 （1） 确定系统的输入、输出变量； （2） 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理、化学等定律，列写各变量之间的动态方程，一般为微分方程组； （3） 消去中间变量，得到输入、输出变量的微分方程； （4） 标准化：将与输入有关的各项放在等号右边，与输出有关的各项放在等号左边，并且分别按降幂排列，最后将系数归化为反映系统动态特性的参数，如时间常数等。 注意：由于实际系统的结构一般比较复杂，我们甚至不清楚内部机理，所以，列写实际工程系统的微分方程是很困难的。 例2.5 列写如图2.5所示

19、RC网络的微分方程。给定输入电压 为系统的输入量，电容上的电压 为系统的输出量。 解 设回路电流为i，由 电路理论可知，电阻上的 电压为 电容上的电压与电 流的关系为 由基尔霍夫电压定律，列写回路方程式 rucuRC图2.5 RC网络ur(t)uc(t)iRu 1dtduCicrcuuu1 消去中间变量 、i得 (2.21) 令 为电路时间常数，则 (2.22) 式(2.22)即为RC网络的微分方程，它是一阶常系数线性微分方程。1urccuudtduRCrccuudtduTRCT 例2.6 列写如图2.6所示RC网络的微分方程。给定输入电压 为系统的输入量，电容 上的电压 为系统的输出量。 解

20、 由基尔霍夫电压 定律，列写回路方程 (2.23) (2.24) ru2Ccu R1C1图2.6 RC网络ur(t)uc(t)R2C2rcuuRi111122ccuuRi由基尔霍夫电流定律，电容 中的电流为 ，电容 中的电流为 ，所以 (2.25) (2.26)下面消去中间变量 、 、 。将式(2.26)代入式(2.25)得 (2.27)1C)(21ii 2C2idtduCiic1121dtduCic221cu1i2ircccuudtduCRdtduCR112111 (2.29)将式(2.29)代入式(2.28)得 (2.30)标准化得 (2.31)122cccuudtduCRrcccccuu

21、dtduCRdtduCRdtduCRdtudCRCR222111222211rcccuudtduCRCRCRdtudCRCR)(222111222211rcccuudtduTTTdtudTT)(22112221 其中 ， ， ，为电路的时间常数。 注意，图2.6所示RC网络虽然是两个图2.5所示RC网络的串联，但应该注意到前面一个RC网络不是开路，后面一个RC网络是前面一个RC网络的负载，式(2.31)中 的这一项就反映了这一负载效应。 111CRT 222CRT 2112CRTdtduTc21 一般的连续时间系统都可以用微分方程描述，线性系统可以用线性微分方程描述，而非线性系统则要用非线性微分方程描述。描述非线性系统的微分方程一般可表示为 （2.35a）将线性部分与非线性部分分开，可以写成下列形式 （2.35b）0),()1()()1()(rrrryyyyFmmnn)(),(1101111trdtyddtdyyfyadtdyadtydadtydannnnnnnn式中，y为系统输出，r为系统输入， ， ， 为常数， 为非线性函数。对于一般阶线性系统的微分方程可以表达为 (