第六章二次型及其标准型

1、第六章第六章 二次型二次型 6.1 二次型及其矩阵表示、合同矩阵二次型及其矩阵表示、合同矩阵 定义定义6.1.1：含有含有 n 个变量个变量 x1, x2, , xn 的二次齐次多项式的二次齐次多项式 nxxxf,21nnxxaxxaxxaxa11311321122111222nnxxaxxaxa2232232222222nnnxa 当系数属于数域当系数属于数域 F 时，称为数域时，称为数域 F 上的一个上的一个n元二次元二次型型.本章讨论实数域上的本章讨论实数域上的 n 元二次型，简称二次型元二次型，简称二次型. 令令 aij = aji，则，则 2 aij xi xj = aij xi x

2、j + aji xi xj ，于是，于是212111121211221212222221122(,)nnnnnnnnnnnnf xxxa xa x xa x xa x xa xax xa x xax xa x 11111221()nnx a xa xa x22112222()nnx a xa xax1122()nnnnnnx a xaxa x11112212112222121122(,)nnnnnnnnnna xa xa xa xa xaxxxxa xaxa x 1112112122221212(,)nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax Tx Ax 其中其中 A = (aij)nn

3、, x = (x1 , x2 , , xn)T A A为为对称矩阵对称矩阵，称，称A A为二次型的矩阵，为二次型的矩阵，A A 的秩的秩为二次型的秩为二次型的秩. . 二次型和它的矩阵是二次型和它的矩阵是互相唯一互相唯一确定的确定的.即有一即有一个二次型就有唯一的对称矩阵个二次型就有唯一的对称矩阵 A；而对称矩阵而对称矩阵A对应唯一的二次型对应唯一的二次型. .,)(T1121Axxxxa,x,xxfjinjijnin例如，例如，二次型二次型的矩阵是的矩阵是 322231212132,xxxxxxxxxxfn023212322121210AA是一个对称矩阵是一个对称矩阵. 反之，反之，对称矩阵

4、对称矩阵A 所对应的二次型为所对应的二次型为321321321023212322121210,xxxxxxAxxxxxfT3222312132xxxxxxx设设 nnyyyyxxxx2121,是两个是两个n元变量，则线性变换元变量，则线性变换Cyx 代入代入 AxxfT有有 ByyACyCyCyACyAxxfTTTTT其中其中 BACCACCBACCBTTTTT,因此因此 ByyT是以是以B 为矩阵的为矩阵的 y 的的n元二次型元二次型.如果如果ByyT有下面的形状：有下面的形状： 2222211rrydydyd我们称为二次型的我们称为二次型的标准形标准形. BRARr易知，易知， 6.2 化

5、二次型为标准形化二次型为标准形 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形 用正交变换法化二次型为标准形用正交变换法化二次型为标准形 化二次型为标准形化二次型为标准形定理定理6.2.1 任何一个二次型都可以通过非退化线性变换化为标任何一个二次型都可以通过非退化线性变换化为标准形。准形。定理定理6.2.2 对任意一个对任意一个n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A，都存在可逆矩阵，都存在可逆矩阵C，使得使得CTAC=diag(d1, d2, , dn)方法一、用配方法把二次型为标准型方法一、用配方法把二次型为标准型方法二、用正交变换法把二次型为标准型方法二、用正交变换法把二次型为标准型用正交变换法化

6、二次型为标准形用正交变换法化二次型为标准形定理定理6.2.3 对于二次型对于二次型 f (x)=XTAX，一定存在正交矩阵，一定存在正交矩阵Q，使得经过正交变换使得经过正交变换X=QY后能够把它化为标准形后能够把它化为标准形2221122nnfyyy其中其中 是二次型是二次型f (x)的矩阵的矩阵A的全部特征值。的全部特征值。12,n例例1 用正交变换把下面的二次型化为标准形，并写出所作的正用正交变换把下面的二次型化为标准形，并写出所作的正交变换。交变换。 222123112132233,244585fxxxxx xx xxx xx解解 二次型的矩阵为二次型的矩阵为222254245A 求得求

7、得A的特征方程为的特征方程为 21100EA解得特征值为解得特征值为121,310 例例1 用正交变换把下面的二次型化为标准形，并写出所作的正用正交变换把下面的二次型化为标准形，并写出所作的正交变换。交变换。 222123112132233,244585fxxxxx xx xxx xx解解 求出使求出使A相似于对角矩阵的正交矩阵为相似于对角矩阵的正交矩阵为221555153142555153120533Q 因此，作正交变换因此，作正交变换X=QY，就可以使二次型化为标准形，就可以使二次型化为标准形22212310fyyy6.3 二次型与对称矩阵的二次型与对称矩阵的正定性正定性定义定义6.3.1

8、 具有对称矩阵具有对称矩阵A的二次型的二次型f (x)=XTAX，如果对于任何如果对于任何X=(x1, x2, , xn)T0，都有，都有XTAX 0，(或或0。定理定理6.3.4 对称矩阵对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是为正定矩阵的充分必要条件是A的所有特的所有特征值都是正数。征值都是正数。定义定义6.3.2 设设n阶矩阵阶矩阵111212122212,nnnnnnaaaaaaAaaa 111212122212,kkkkkkkaaaaaaAaaa 1, 2,kn 称为称为A的的k阶顺序主子式阶顺序主子式，即，即111,Aa 111222122,aaAaa 1112133212223313

9、233,aaaAaaaaaa ,nAA 例如，例如， 的顺序主子式为的顺序主子式为123201002A 11,A 2124 ,20A 38AA 定理定理6.3.5 矩阵矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是为正定矩阵的充分必要条件是A的所有顺序主的所有顺序主子式都大于零，即子式都大于零，即0 ,kA 1, 2,kn 推论推论6.3.3 如果如果A是负定矩阵，则是负定矩阵，则A为正定矩阵。因此为正定矩阵。因此A为负定为负定矩阵的充分必要条件是矩阵的充分必要条件是 10 ,kkA 1, 2,kn 正定矩阵的有关结论：正定矩阵的有关结论： 1. 1.对称矩阵对称矩阵A是半正定是半正定( (半负定半负定)

10、)矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是A的所有的所有主子式都大于主子式都大于( (小于小于) )或等于零。或等于零。 2. 2.对称矩阵对称矩阵A是半正定是半正定( (半负定半负定) )矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是A的全部的全部特征值都大于特征值都大于( (小于小于) )或等于零。或等于零。注意注意: : 一个实对称矩阵的顺序主子式全大于零或等于零时，一个实对称矩阵的顺序主子式全大于零或等于零时，A未必是半正定的。未必是半正定的。例如，例如，三阶对称矩阵三阶对称矩阵 的顺序主子式为的顺序主子式为112112221A 110 ,A 2110 ,11A 30AA但但A并不是半正定矩阵。并不是半正定

11、矩阵。例例6.3.4 判别二次型是否正定。判别二次型是否正定。 2221231121323,64457fxxxxx xx xxx解法一解法一 由定义将二次型化为标准形由定义将二次型化为标准形 2221231121323,64457fxxxxx xx xxx21232331113224363331339xxxxxx故该二次型正定。故该二次型正定。例例6.3.4 判别二次型是否正定。判别二次型是否正定。 2221231121323,64457fxxxxx xx xxx解法二解法二 特征值法。二次型特征值法。二次型 对应的矩阵为对应的矩阵为 123,fxxx622250207A 因此因此A的特征值分别为的特征值分别为3、6、9都是正数，故该二次型正定。都是正数，故该二次型正定。622250207EA 369例例6.3.4 判别二次型是否正定。判别二次型是否正定。 2221231121323,64457fxxxxx xx xxx解法三解法三 顺序主子式法。顺序主子式法。160 ,A 262260 ,25A 故该二次型正定。故该二次型正定。36222501620207A 例例6.3.5 判别二次