高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第三节 导数与函数的极值、最值课件 文

1、第三节导数与函数的极值、最值总纲目录教材研读1.函数的极值与导数考点突破2.函数的最值与导数考点二利用导数求函数的最值考点一用导数研究函数的极值问题考点三函数极值与最值的综合问题1.函数的极值与导数函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小都小, f (a)=0,而且在点x=a附近的左侧f(x)0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大都大, f (b)=0,而且在点x=b附近的左侧f

2、(x)0,右侧f(x)0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大值,极大值极大值和极小值极小值统称为极值.教材研读教材研读2.函数的最值与导数函数的最值与导数(1)函数f(x)在a,b上有最值的条件:一般地,如果在区间a,b上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤:(i)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值极值;(ii)将函数y=f(x)的各极值与端点处端点处的函数值f(a)、 f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 1.函数f(x)的定义域为R,

3、导函数 f (x)的图象如图所示,则函数f(x)( )A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点C答案答案 C设f (x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1、x2、x3、x4.当x0, f(x)为增函数,当x1xx2时, f (x)-1时,y0;当x-1时,y0,所以f(x)在(0,1上是增函数,所以f(x)max=f(1)=e.1xe5.函数f(x)=x-aln x(a0)的极小值为 .a-alna答案答案 a-aln a解析解析f(x)=x-aln x(a0),f(x)的定义域为(0,+), f

4、 (x)=1-(a0),由f (x)=0,解得x=a.当x(0,a)时, f (x)0,函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a.ax命题方向命题视角根据函数的图象判断函数的极值情况通过导函数的图象观察导数的符号,进而判断函数的单调性,确定函数极值的情况求函数的极值已知函数的解析式求极值已知函数的极值求参数根据极值的情况,列出关于参数的方程或不等式,求参数的值或取值范围考点一考点一用导数研究函数的极值问题用导数研究函数的极值问题考点突破考点突破命题方向一根据函数的图象判断极值的情况命题方向一根据函数的图象判断极值的情况典例典例1设函数f(x)在R上可导,其导函数为f

5、 (x),且函数y=(1-x)f (x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)D答案答案 D解析解析由题图可知,当x3,此时f (x)0;当-2x1时,01-x3,此时f (x)0;当1x2时,-11-x0,此时f (x)2时,1-x0,函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.命题方向二求函数的极值命题方向二求函数的极值典例典例2已知函数f(x)=ln x-ax(aR).(1

6、)当a=时,求f(x)的极值;(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.12解析解析(1)当a=时, f(x)=ln x-x,函数的定义域为(0,+)且f (x)=-=,令f (x)=0,得x=2,于是当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表.12121x1222xxx(0,2)2(2,+)f (x)+0-f(x)ln 2-1故f(x)极大值=f(2)=ln 2-1,无极小值.(2)函数的定义域为(0,+),f (x)=-a=(x0),当a0时, f (x)0在(0,+)上恒成立,即函数在(0,+)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点;当a0,x时, f (x)0;x时, f

7、 (x)0时,函数在x=处有一个极大值点.1x1axx10,a1,a1a1a命题方向三已知函数的极值求参数命题方向三已知函数的极值求参数典例典例3(1)已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,则a-b= .(2)若函数f(x)=-x2+x+1在区间上有极值点,则实数a的取值范围是 .33x2a1,32答案答案(1)-7(2) 102,3解析解析(1)由题意得f (x)=3x2+6ax+b,则解得或经检验当a=1,b=3时,函数f(x)在x=-1处无法取得极值,而a=2,b=9满足题意,故a-b=-7.(2)若函数f(x)在区间上无极值,则当x时, f (x)=x2-ax+

8、10恒成立或当x时, f (x)=x2-ax+10恒成立.当x时, f (x)=x2-ax+10恒成立,21 30,360,ababa 1,3ab2,9,ab1,321,321,321,32即ax+恒成立,令y=x+,当x时,y=x+的值域为,所以aymin,所以a2;当x时, f (x)=x2-ax+10恒成立,即ax+恒成立,所以aymax,所以a.因此要使函数f(x)在上有极值点,实数a的取值范围是.1x1x1,321x102,31,321x1031,32102,3方法技巧方法技巧求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域;(2)求导数f (x);(3)解方程f (x)=0,求出函数定义域内

9、的所有根;(4)列表检验f (x)在f (x)=0的根x0左右两侧的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.提醒若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数.1-1函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象如图所示,则+等于()A. B. C. D. 21x22x89109169289答案答案C函数f(x)的图象过原点,所以d=0.又f(-1)=0且f(2)=0,即-1+b-c=0且8+4b+2c=0,解得b=-1,c=-2,所以函数f(x)=x3-x2-2x,所以f (x)=3x2-2x

10、-2,由题意知x1,x2是函数的极值点,所以x1,x2是f (x)=0的两个根,所以x1+x2=,x1x2=-,所以+=(x1+x2)2-2x1x2=+=.232321x22x4943169C1-2设函数f(x)=ax3-2x2+x+c(a0).(1)当a=1,且函数图象过点(0,1)时,求函数的极小值;(2)若f(x)在(-,+)上无极值点,求a的取值范围.解析解析 f (x)=3ax2-4x+1.(1)函数图象过点(0,1)时,有f(0)=c=1.当a=1时, f (x)=3x2-4x+1,令f (x)0,解得x1;令f (x)0,解得x0时, f (x)0或f (x)0恒成立的充要条件是

11、=(-4)2-43a10,即16-12a0,解得a.易知a0时不满足条件.综上,a的取值范围为.434,3典例典例4 (2018山东济南质检)已知函数f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.考点二利用导数求函数的最值考点二利用导数求函数的最值解析解析(1)f (x)=(x-k+1)ex.令f (x)=0,得x=k-1.f(x)与f (x)随x的变化而变化的情况如下表:x(-,k-1)k-1(k-1,+)f (x)-0+f(x)-ek-1所以, f(x)的单调递减区间是(-,k-1);单调递增区间是(k-1,+).(2)当k-10,即k1时,

12、函数f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)=-k;当0k-11,即1k2时,由(1)知f(x)在0,k-1)上单调递减,在(k-1,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k-1)=-ek-1;当k-11,即k2时,函数f(x)在0,1上单调递减,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)=(1-k)e.方法技巧方法技巧求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a,b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a), f(b).(3)将函数f(x)的极值与f(a), f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小

13、值.2-1已知常数a0, f(x)=aln x+2x.(1)当a=-4时,求f(x)的极值;(2)当f(x)的最小值不小于-a时,求实数a的取值范围.解析解析(1)由已知得f(x)的定义域为(0,+),f (x)=+2=.当a=-4时, f (x)=.当0 x2时, f (x)2时, f (x)0,则f(x)单调递增.ax2axx24xxf(x)只有极小值,且在x=2时, f(x)取得极小值f(2)=4-4ln 2.当a=-4时, f(x)只有极小值4-4ln 2.(2)f (x)=,当a0,x(0,+)时, f (x)0,即f(x)在(0,+)上单调递增,没有最小值,当a0,得x-,f(x)

14、在上单调递增;由f (x)0,得x-,f(x)在上单调递减.当a0时, f(x)的最小值为f=aln+2.2axx2a,2a2a0,2a2a2a2a根据题意得f=aln+2-a,即aln(-a)-ln 20.a0时,由f (x)0得0 x0得x,f(x)在上递减,在上递增,即f(x)在x=处有极小值.当a0时, f(x)在(0,+)上没有极值点,当a0时, f(x)在(0,+)上有一个极值点.(2)函数f(x)在x=1处取得极值,a=1,f(x)bx-21+-b,1x1axx1a1a10,a1,a1a1xln xx令g(x)=1+-,则g(x)=,令g(x)=0,得x=e2,则g(x)在(0,

15、e2)上递减,在(e2,+)上递增,g(x)min=g(e2)=1-,即b1-,即实数b的取值范围是.1xln xx2ln2xx21e21e21,1e易错警示易错警示(1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小.(2)求函数最值时,不可想当然地认为极值就是最值,要通过比较才能下结论.(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.3-1已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16.(1)求a,b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在-3,3上的最小值.解析解析(1)f(x)=ax3+bx+c,故f (x)=3ax2+b,由于f(x)在点x=2处取得极值c-16,故有即化简得解得 (2)0,(2)16,ffc120,8216,ababcc120,48,abab 1,12.ab f (x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).令f (x)=0,得x1