18-8势阱中的粒子势垒谐振子ppt课件

1、18-8 势阱中的粒子势阱中的粒子 势垒势垒 谐振子谐振子1.1.一维无限深势阱一维无限深势阱 若质量为若质量为m m的粒子，在保守力场的作用下，被限的粒子，在保守力场的作用下，被限制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。 为了简化计算，提出理想模型为了简化计算，提出理想模型无限深势阱。无限深势阱。 一维无限深势阱：一维无限深势阱：0)(xUax 0axx , 0a xo保守力与势能之间的关系：保守力与势能之间的关系： 在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的力，表明粒子不能越出势阱力，表明粒子不能越出势阱,

2、,即粒子在势阱外的即粒子在势阱外的概率为概率为0 0。势阱内的一维定态薛定谔方程为：势阱内的一维定态薛定谔方程为：xxUFdd)(iiExm22dd22222mEk 解为：解为：)sin()(kxCxi一维无限深势阱一维无限深势阱由边界条件得：由边界条件得：据归一化条件，得据归一化条件，得得波函数表达式：得波函数表达式：0sin)(0sin)0(kaCaCii3 , 2 , 1,0nnka1dsind),(2020 xaxnCxtxaaaC2Etiixeanatxsin2),(一维无限深势阱一维无限深势阱(1)(1)粒子能量不能取连续值粒子能量不能取连续值 3 , 2 , 1,22222nnm

3、aEn得得 能量取分立值能级），能量量子化能量取分立值能级），能量量子化是粒子处于束缚态的所具有的性质。是粒子处于束缚态的所具有的性质。anKmEKn,222由由讨讨 论：论：一维无限深势阱一维无限深势阱（2 2粒子的最小能量不等于零粒子的最小能量不等于零最小能量最小能量 22212manE也称为基态能或零点能。也称为基态能或零点能。零点能的存在与不确定度关系协调一致。零点能的存在与不确定度关系协调一致。一维无限深势阱一维无限深势阱(3)(3)粒子在势阱内出现概率密度分布粒子在势阱内出现概率密度分布不受外力的粒子在不受外力的粒子在0 0到到 a a 范围内范围内出现概率处处相等。出现概率处处相

4、等。量子论观点：量子论观点：)(sin2)(22xanax0a=1=2=3=4nnnn)( x0a2)( x当当 很大很大时，时， 量子量子概率分布概率分布就接近经就接近经典分布典分布n经典观点：经典观点：一维无限深势阱一维无限深势阱（4 4有限深势阱，粒子出现的概率分布有限深势阱，粒子出现的概率分布 如果势阱不是如果势阱不是无限深，粒子的能无限深，粒子的能量又低于势璧，粒量又低于势璧，粒子在阱外不远处出子在阱外不远处出现的概率不为零。现的概率不为零。2)(x0a 经典理论无经典理论无法解释，实验得法解释，实验得到证实。到证实。一维无限深势阱一维无限深势阱得到两相邻能级的能量差得到两相邻能级的

5、能量差2281)12(mahnnnEEE 例题例题 18-15 设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别 为为1.010-2m和和10-10m 。试讨论这两中情况下。试讨论这两中情况下 相邻能级的能量差。相邻能级的能量差。解：解： 根据势阱中的能量公式根据势阱中的能量公式当当a=1cm时时282222222nnEmahma eVnJnnEmkgsJ2152342)10(1011. 98)63. 6(1037. 31004. 62231234 可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加，而可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加，而且与粒子的质量且与

6、粒子的质量m和势阱的宽度和势阱的宽度a有关。有关。一维无限深势阱一维无限深势阱 在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的，我在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的，我们可以把电子的能级看作是连续的。们可以把电子的能级看作是连续的。eVnE27 .37 当当a=10-10m时时eVnE7 .37)12( 在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的，在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的，这时电子能量的量子化就明显的表现出来。这时电子能量的量子化就明显的表现出来。一维无限深势阱一维无限深势阱nnnEEmahmahnn222822282nnEEn 可见能级的相对间隔可见能级的相对间隔 随着随着n的

7、增加成反比地减的增加成反比地减小。当小。当 时时 ， 较之较之 要小的多。这时，能要小的多。这时，能量的量子化效应就不显著了，可认为能量是连续的，量的量子化效应就不显著了，可认为能量是连续的，经典图样和量子图样趋与一致。所以，经典物理可以经典图样和量子图样趋与一致。所以，经典物理可以看作是量子物理中量子数看作是量子物理中量子数 时的极限情况。时的极限情况。nEnE n当当n1 时时 ,能级的相对间隔近似为能级的相对间隔近似为一维无限深势阱一维无限深势阱 例题例题18-16 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大 值的位置。值的位置。解：解： 一维无限深

8、势阱中粒子的概率密度为一维无限深势阱中粒子的概率密度为, 3 , 2 , 1sin)(222 nxnanan将上式对将上式对x求导一次，并令它等于零求导一次，并令它等于零0cossin2240)( xxananamxdxxdn 因为在阱内，即因为在阱内，即0sin,0 xaxan 只需只需0cos xan 一维无限深势阱一维无限深势阱于是于是1, 2 , 1 , 0)12(2 nNNxan 由此解得最大值得位置为由此解得最大值得位置为naNx2)12( 例如例如 最大值位置最大值位置0,1 Nnax21 ,1,0,2 Nn最大值位置最大值位置aax4341, ,2,1,0,3 Nn最大值位置最

9、大值位置,656361aaax 可见，概率密度最大值的数目和量子数可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。相等。一维无限深势阱一维无限深势阱nax 这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率分布这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率分布成为均匀，与经典理论的结论趋于一致。成为均匀，与经典理论的结论趋于一致。相邻两个最大值之间的距离相邻两个最大值之间的距离如果阱宽如果阱宽a不变，当不变，当0 x n时时一维无限深势阱一维无限深势阱2.2.一维势垒一维势垒 隧道效应隧道效应 一维方势阱如图一维方势阱如图oax0UUE0)(0UxUaxxax, 00 粒子沿粒子沿 方向运动方向运动,当当 粒子可以通过

10、势垒。粒子可以通过势垒。x0E0E 当当 ，实验证明粒子也能通过势垒，实验证明粒子也能通过势垒,这只有这只有由量子力学的到解释。由量子力学的到解释。设三个区域的波函数分别为设三个区域的波函数分别为321,在各区域薛定谔方程分别为在各区域薛定谔方程分别为32322220222212122dd2dd2dd2ExmEUxmExm202221)(2,2EUmkmEk令令 为实数为实数 ,0UE 2k一维势垒一维势垒0dd0dd0dd321232222222121212kxkxkx解为：解为：xikxikxkxkxikxikeCCexeBBexeAAex112211)()()(321一维势垒一维势垒 三

11、个区域中波函数的三个区域中波函数的情况如图所示：情况如图所示：隧道效应隧道效应 在粒子总能量低于势在粒子总能量低于势垒壁高的情况下垒壁高的情况下,粒子有一粒子有一定的概率穿透势垒定的概率穿透势垒. 此现此现象称为隧道效应。象称为隧道效应。 贯穿势垒的概率定义为在贯穿势垒的概率定义为在 处透射波的强度与入处透射波的强度与入射波的强度之比：射波的强度之比：ax )(222302)(EUmaeAaT贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。一维势垒一维势垒扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜(STM)(STM)原理：原理：利用电子的隧道效应。利用电子的隧道效应。 金属样品外表面有一层金

12、属样品外表面有一层电子云，电子云的密度随着电子云，电子云的密度随着与表面距离的增大呈指数形与表面距离的增大呈指数形式衰减，将原子线度的极细式衰减，将原子线度的极细的金属探针靠近样品，并在的金属探针靠近样品，并在它们之间加上微小的电压，它们之间加上微小的电压，其间就存在隧道电流，隧道其间就存在隧道电流，隧道电流对针尖与表面的距离及电流对针尖与表面的距离及其敏感，如果控制隧道电流其敏感，如果控制隧道电流保持恒定，针尖的在垂直于保持恒定，针尖的在垂直于样品方向的变化，就反映出样品方向的变化，就反映出样品表面情况。样品表面情况。4848个个FeFe原子形成原子形成“量子围栏量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。围栏中的电子形成驻波。 STM的横向分辨率已达的横向分辨率已达 ，纵向分辨达，纵向分辨达 ,STM的出现，使人类第一次能够适时地观察单个原子的出现，使人类第一次能够适时地观察单个原子在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质。在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质。nm1 . 0nm01. 0扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜3.谐振子谐振子谐振子的势