新北师大版八级下册《三角形的证明》

1、三角形的证明【知识点一：全等三角形的判定与性质】1 判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边SAS、角边角ASA角角边AAS、边边边SSS具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等HL性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应咼相等，对应角平分线相等2 证题的思路:找夹角SAS两边 找直角HL找第三边SSS假设边为角的对边，那么找任意角AAS找角的另一边SAS边为角的邻边 找边的对角 AAS找夹边的另一角ASA 两角找两角的夹边ASA 找任意一边AAS 【典型例题】1 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如下列图，那么能说明/ AOC = / BOC的依据是A SSSB ASAC AA

2、SD角平分线上的点到角两边距离相等2 以下说法中,正确的选项是A 两腰对应相等的两个等腰三角形全等C0B 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C 两锐角对应相等的两个直角三角形全等D 面积相等的两个三角形全等3. 如图， ABCAADE，假设/ B= 80 / C= 30 / DAC = 35 那么/ EAC的度数为A 40 B 35 C. 30 4. ：如图，在 MPN中，H是高MQ和NR的交点，且 MQ = NQ.求证：HN = PM.第1页共20页5. 用三角板可按下面方法画角平分线：在/AOB的两边上，分别取 0M = ON 如图5-7，再分别过点 M、N作OA、0B的垂线，交点为 P

3、,画射线0P，贝U OP平分/ AOB，请你说出其中的道理.【稳固练习】1. 以下说法正确的选项是A. 直角边对应相等的两个直角三角形全等B.斜边相等的两个直角三角形全等C.斜边相等的两个等腰直角三角形全等D .一边长相等的两等腰直角三角形全等2 .如图，在 ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，假设 ADB坐 EDB也 EDC ,贝U / C的度数为A. 15 B . 20 C. 25 D . 30 ABC全等的图形是3.如图， ABC的六个元素，那么下面甲、乙、丙三个三角形中，和A.甲和乙B .乙和丙C.只有乙D.只有丙4.如图4 9, AABCBAABC, AD、AD分别是 AABC

4、和 从BC的角平分线.1请证明 AD = AD;2把上述结论用文字表达出来；3你还能得出其他类似的结论吗？图4 95.如图4 10,在厶ABC中，/ ACB = 90 AC = BC,直线I经过顶点C,过A、B两点分别作I的垂线AE、BF, E、F为垂足.1当直线I不与底边 AB相交时，求证：EF = AE+ BF .图 4 102如图4 11,将直线I绕点C顺时针旋转，使I与底边AB交于点D，请你探究直线I在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系. AD BD : AD = BD : AD V BD .图 4 11【知识点二：等腰三角形的判定与性质】等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等

5、腰三角形等角对等边等腰三角形的性质： 等腰三角形的两底角相等等边对等角； 等腰三角形 三线合一 的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； 等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等.【典型例题】1 .等腰三角形的两边长分别为3和6 ,那么这个等腰三角形的周长为A. 12B . 15C . 12 或 15D . 182 .等腰三角形的一个角是80 那么它顶角的度数是A . 80 B . 80。或 20 C . 80。或 50 D . 20A . 0 v xv 3B . x 3C . 3 v xv 6D . x 64.如图，/ MON =43 ,点A在射线OM上，动点P在射

6、线ON上滑动，AX要使 AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个0AM5.女口图，在 ABC中，BO 平分/ ABC , CO平分/ ACB , DE过 O且平行于BC , ADE的周长为10cm，BC的长为5 cm，求厶ABC的周长.6、如以下列图，在 ABC中，/ B=90 M是AC上任意一点M与A不重合MD丄BC,交/ ABC的平分线于点 D,求证：MD = MA.C .斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等【稳固练习】1 .如图，直线 AB / CD , / DCF =110。且 AE=AF ,那么/ A等于A . 30 B . 40 C

7、 . 50 D . 70 2.以下说法错误的选项是/JA .顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等 ，B .顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等D .两个等边三角形全等3.如图，是一个5 X5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1 .点A和点B 在小正方形的顶点上点C也在小正方形的顶点上.假设 ABC为等腰三角形，满足条件的C点的个数为4.如图，在 ABC中，/ ABC和/ ACB的 平分线交于点E ,过点E作MN / BC交AB于 M ,交 AC于 N，假设 BM +CN =9，那么线段 MN的长为C. 85 .如 图：E在 ABC的AC边的延长线上，D点在 AB边上，DE交BC于点

8、F , DF =EF , BD = CE，过 D作DG / AC交BC于G.求证：1 GDF也 CEF ; 2 ABC是等腰三角形.【知识点三：等边三角形的判定与性质】判定：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形;三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是60的三角形是等边三角形；有两个叫是60的三角形是等边三角形.性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60.【典型例题】1 .以下说法中不正确的选项是A.有一腰长相等的两个等腰三角形全等B .有一边对应相等的两个等边三角形全等C .斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等D.斜边相等的两个等腰直角三角形全等2. 如图，在等边 ABC

9、中，/ BAD =20 AE=AD ,那么/ CDE的度数 是A . 10 B . 12.5 C . 15 D . 20 3、如右图， ABC和厶BDE都是等边三角形，求证： AE=CD.【变式练习】1 以下命题：两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形；等腰三角形的对称轴是底边上的中线 所在直线；等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.其中错误的有A. 1个B .2个C. 3个D . 4个2.如图，AC =CD = DA = BC:=DE .那么/ BAE是/ BAC的A. 4倍B. 3倍3EC 2倍D 1倍3如图，等边 ABC

10、的周长是9, D是AC边上的中点，E在BC的延长线上.假设DE = DB ,那么CE的长为4.如图，等边 ABC中，点D、E分别为BC、CA上的 两点，1求证：/ BQM =602如图，如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，其它条件不变，1中的结论是否仍然成立？假设成立，给予证明；假设不成立，说明理由.7 .如图，C为线段BD上一点不与点B, D重合，在BD同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE ,AD与BE交于一点F , AD与CE交于点H , BE与AC交于点G.1求证：BE=AD ; 2求/AFG 的度数；3求证：CG=CH .【知识点四：反证法】反证法：先假设命题的结论不成立，

11、然后推导出与定义、公理、已证定理或条件相矛盾的结果，从而证明命 题的结论一定成立这种证明方法称为反证法.【根底练习】1、 否认 自然数a、b、c中恰有一个偶数时的正确反正假设为A. a、b、c都是奇数B. a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C. a、b、c都是偶数D. a、b、c中至少有两个偶数2、 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于60时，反证假设正确的选项是A .假设三内角都不大于 60 B.假设三内角都大于 60 C 假设三内角至多有一个大于 60 D 假设三内角至多有两个大于 60 3、证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角.【知识点五：直角三角形】1、直角三角形的有关

12、知识.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半.2、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的 逆命题.互逆定理，其中一个定理称为如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为 另一个定理的 逆定理.【典型例题】1、说出以下命题的逆命题，并判断每对命题的真假：1四边形是多边形；2两直线平行，同旁内角互补；

13、3如果ab=O,那么a=0, b=0；4在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等2 .使两个直角三角形全等的条件是A .一个锐角对应相等B .两个锐角对应相等C.一条边对应相等D .两条边对应相等3. 等腰三角形的底边长为6 ,底边上的中线长为4,它的腰长为4. 如图，矩形纸片ABCD中，AB =4 , AD=3 ,折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG ,那么AG的长为43A . 1B .-C .-D . 232/j 1的代数式表示：a=,b=, c=；c22 + 132+142+152+12猜测：以a, b, c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜测.6 .图1、图2

14、分别是10 X8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1 , A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C点C必须在小正方形的顶点上，使 以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求：1在图1中画一个 ABC，使 ABC为面积为5的直角三角形；2在图2中画一个厶ABC，使 ABC为钝角等腰三角形.图17. ，如图， ABC为等边三角形，AE = CD , AD、BE相交于点P .1求证： AEB 也 CDA ;2丨求/ BPQ的度数；3假设 BQ 丄 AD 于 Q , PQ=6 , PE =2 ,求 BE 的长.【知识点六：线段的垂直平分线】线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离

15、相等。线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。【典型例题】CE1 .如图，在 Rt ABC中，/ C=90 , / B=30 . AB的垂直平分线DE交AB于点D ,交BC于点E ,那么以下结论不正确的选项是匸)BC 三条高的交点D 三条角平分线的交点4. 如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超 市到三个小区的距离相等，那么超市应建在A. 在AC , BC两边高线的交点处B. 在AC , BC两边中线的交点处C. 在AC , BC两边垂直平分线

16、的交点处D .在/ A, / B两内角平分线的交点处2/D5. 如图，AD为/ BAC的角平分，线段AD的垂直平分线交AB于M ,交AC于N ,试说明MD / AC .6 .如下列图， ABC中，AB =AC，/ BAC =120 AC的垂直平分线EF交 AC于点E,交 BC于点F .求证：BF =2 CF .ASpC如下列图，在Rt ABC中，/ ACB =90 AC=BC , D为BC边上的中点，CE丄AD于点E , BF / AC交CE的延长线于点F,求证：AB垂直平分DF .【变式练习】1 .如图，在 Rt ABC中，/ B=90 , ED是 AC的 垂直平 分线，交AC于点D ,交B

17、C于点E ./ BAE=10 ,那么/ C的度数为A. 30 B . 40 C . 50 D . 60 2.如图，在 ABC中，AC =29 , AB的垂直平分线交 AB于点D ,交AC于点E . BCE的周长等于50 ,那么BC的长为A. 21B . 22C . 23D . 24卜VC4.：如图， ABC的/ A Z ABC ,边BC的垂直平分线DE分别交AC , BC于D , E,那么AD+BD与BC的关系是A .大于B.小于C等于D不能确定5 1EC5. 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B 一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等， 码头应建在什么位置？你能画图说明吗？6 .

18、如图，在 ABC 中，AB = AC , D是AB的中点，且 DE丄AB , BCE的周长为8 cm，且 AC BC =2 cm , 求AB、BC的长.【提高练习】1 .如图，在 ABC中，DE垂直平分AB ,分别交 AB、BC于D、E点.MN垂直平分AC ,分别交AC、BC于M、N点.1假设/ BAC =100 ,求/ EAN的度数；2假设/ BAC =70 ,求/ EAN的度数；3假设/ BAC = a a 90,直接写出用a表示/ EAN大小的代数式.【知识点七：角平分线】角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，贝陀在该角的平分线上 三角形

19、三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。【典型例题】B1 .如图，/ POA = / POB , PD 丄 OA 于点 D , PE 丄 OB 于点 E , OP=13 ,OD=12 , PD=5 ,贝U PE=A. 13B . 12C. 5D . 1cr古2.三角形内有一点，它到三边的距离相等，那么这点是该三角形的A 三条中线交点B三条角平分线交点C .三条高线交点D .三条高线所在直线的交点J43.如图，Rt ABC中，/ C=90 / ABC的 平分线BD交 AC于D ,假设CD =3 cm,那么点D到AB的距离DE是/A . 5 cmB. 4 cmC. 3

20、cmD . 2 cmAB4z74.如图，OP平分/ AOB , PA丄OA , PB丄OB ,垂足分别为 A , B .以下结论中不一定成立的是A . PA=PBB . PO 平分/ APBC . OA = OBD . AB 垂直平分 OP5.如图，直线a、b、c,表示三条相互交叉的公路，现拟建一个 货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，那么可以供选择的 地址有A .一处B.四处C .七处D.无数处6.求作一点P,使PC = PD ,且点P到AC , AB的距离相等.要求保存作图痕迹，不必写出作法7. 1班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角如下列图.设计了如下方案：I/ AOB是一个任意

21、角，将角尺的直角顶点P介于射线0A、OB之间，移动角尺使角尺两边相 同的刻度与M、N重合，即PM = PN ,过角尺顶点P的射线OP就是/ AOB的平分线.H/ AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM =ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、 OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM =PN，过角尺顶点P的射线OP就是/ AOB 的平分线.1方案I、方案n是否可行？假设可行，请证明；假设不可行，请说明理由；2丨在方案IPM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM丄OA , PN丄OB .此方案是否可行？请 说明理由.8. 如图，AD为 ABC的角平分线，DE丄AB ,

22、 DF丄AC ,垂足分别为E , F，连接EF , EF交AD于点G、 试判断线段AD与EF的位置关系，并证明你的结论.9. 女口图， ABC中，0是BC的中点，D是/ BAC 平分线上的一点，且DO丄BC ,过点D分别作 DM丄AB于M , DN丄AC于N .求证：BM =CN .【变式练习】1 .如图，0P平分/ MON , PA丄ON于点A，点 Q是射线 0M上的一个动点，假设PA=2 ,那么PQ的最小值为A. 1B . 2C . 3D . 42 .如下列图，点E是/ AOB的平分线上一点，EC丄0A , ED丄0B垂足分别是C、D ,假设 0E=4 , / AOB =60 ,贝U DE =3 如图，利用尺规求作所有点P，使点P同时满足以下两