D9_5隐函数求导

1、目录 上页 下页 返回 结束 隐函数的概念 定义： 若存在函数 y= f (x ), 满足方程 F (x , y( x) =0（ ）, 则称y= f (x ) ( ) 是由方程 确定的隐函数 ( , )xa b( , )xa b( , )0F x y 问题： 何时能确定隐函数？如何研究隐函数的性质？如何求隐函数的导数？ ( , )0F x y 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第五节一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如, 方

2、程02CyxC 0 时, 不能确定隐函数2) 方程能确定隐函数时, 研究其连续性,可微性及求导方法问题.本节讨论本节讨论:目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1. 设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程00),(xyxF在点单值连续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件导数目录 上页 下页 返回 结束 0)(,(x

3、fxF两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内则zF xxy目录 上页 下页 返回 结束 若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFFxydd)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二阶导数 :)(yxFFxxyxxydd则还可求隐函数的 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 验证方程01esinyxyx在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解:

4、 令, 1esin),(yxyyxFx;0)0 , 0(F,eyFxx连续 ;由 定理1 可知,1)0 , 0(yF,0, )(xfy 导的隐函数 则xyFy cos在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且并求目录 上页 下页 返回 结束 ,eyFxxxyFy cos0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyxe0, 0yx0dd22xxy)cose(ddxyyxx3100yyx)e(yx)(cosxy )(eyx) 1sin(yy1, 0, 0yyx01sin),(yxeyyxFx2)cos( xy 目录 上页 下页 返回 结束 0 xy30dd22xxy)(, 01esinxyyyxy

5、xyycos两边对 x 求导1两边再对 x 求导yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此时1,0yy0e yxyyxxey0 yx)0 , 0(cosexyyx导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 解解: 令令则则22( , )lnarctan,yF x yxyx22( , ),xxyF x yxy22( , ),yyxF x yxyxyFdydxF xy.xy 22lnarctan,yxyx.dydx例例2. 设求求目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 . 若函数 ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有

6、连续偏导数连续偏导数 ;则方程0),(zyxF在点),(00yx并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足;0),(000zyxF,0),(000zyxFz 在点满足:某一邻域内可唯一确目录 上页 下页 返回 结束 0),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得( , )( , , )0,设是方程所确定的隐函数zf x yF x y z则zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在zyxyxuF目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设,04222zzyx解法解法1 利

7、用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再对 x 求导目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 利用公式设zzyxzyxF4),(222则,2xFxzxFFxz两边对 x 求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz目录 上页 下页 返回 结束 解法解法3222d ( , , )d(4 )d(0)F x y zxyzz则2 dx x2 dy y2 dz z方程两边同时微分04dz(2)dzzdx xdy ydzd2xxzd2yyzzx,2

8、xz.2yzzy利用全微分形式不变性同时求出各偏导数说明说明: 利用全微分形式不变性,在微分运算过程中,所有变量一律作为自变量来处理,且作为微分运算所得的结果对自变量的微分dx,dy,dz, ,来说是线性的.目录 上页 下页 返回 结束 解解: 利用公式设( , , ),zF x y zexyz则,xFyz zxFFxz两边对 y 求偏导zyzexy zyzexyzzFexy例例4. 设0,zexyz2.zx y 求,yFxz yzFzyF zxzexy zxzexy目录 上页 下页 返回 结束 2()zzyzx yy exy 例例4. 设0,zexyz2.zx y 求2()()(e)()zz

9、zzzzyexyyzxyyexyzyzxzexy22223()zzzzexyz ex y zexy目录 上页 下页 返回 结束 7. 已知 , 其中其中 为可微函数为可微函数,证明证明(,)0cxaz cybz zzabcxy解解: : (),(cxaz cFybx y zz 1,xFc 2,yFc 1zFa 112=zcxab, ,则则2.b 再利用隐函数求导公式再利用隐函数求导公式112=,cab212=.zcyab zzabxy121212acbcabab1212abcab. c 目录 上页 下页 返回 结束 7. 已知 , 其中其中 为可微函数为可微函数,则则(,)0cxaz cybz

10、 zzabcxy解二解二: : 方程两边求全微分1( dd )c xa z =zx , ,则112,cab 212=.zcyab zzabxy121212acbcabab 1212abcab . c 2( dd )0c yb z 1212(dd )=()d ,cxyabz1212ddd.xyzcab 目录 上页 下页 返回 结束 二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数1. 对于方程组 ( , , ) 0( , , ) 0F x y zG x y z怎样求偏导数首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数当 x 给定以后相当于解含关于 y , z 的方程组如果有解且唯一

11、则对于不同的 x 就完全确定了y , z 故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x), z=z(x) .明确：方程组确定几个函数，几元的。明确：方程组确定几个函数，几元的。隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.目录 上页 下页 返回 结束 若0yzyzFFJGG 则1,xzxzFFdyGGdxJ1yxyxFFdzGGdxJ怎样求 ，方程,dy dzdx dx( , , )0F x y z 两边对 x 求导 注意左边是复合函数（三个中间变量），0 xyzdydzFFFdxdx同理0 xyzdydzGGGdxdx,FyzxxxGyzxyzxdydzFFFdxdxdydzGGGdxdx目录 上页 下

12、页 返回 结束 二元线性代数方程组解的公式222111cybxacybxa解解:22111babax 2211bcbc2211caca22111babay 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. .000(,)0,F xy z的某一邻域内具有连续偏设函数000(,)P xy z( , , ),( , , )F x y zG x y z则方程组( , , )0,( , , )0F x y zG x y z0 x在点的单值连续函数单值连续函数( ),( ),yy xzz x且有偏导数公式 : 在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:( , )0,( , )PF GJPy z000(,)

13、0;G xy z导数；00(),yy x00()zz x目录 上页 下页 返回 结束 222222320zxyxyz 例例5. 设,.yzxx求解解: 方程组两边对 x 求导，并移项得462yzyzxxx 22yzyxxx 系数行列式1,xzxzFFdyGGdxJ1yxyxFFdzGGdxJ214 (31)46yJy zyz 21126xdyxzdxJ2 (61)4 (3z 1)xzy(61),2 (3z 1)xzy目录 上页 下页 返回 结束 222222320zxyxyz 例例5. 设,.yzxx求解解: 方程组两边对 x 求导，并移项得462yzyzxxx 22yzyxxx 当214 (

14、31)46yJy zyz 21126xdyxzdxJ22142yxdzyxdxJ2 (61)4 (3z 1)xzy(61),2 (3z 1)xzy4( 1)4 (3z 1)xyy.(3z 1)x0 解方程组得时,目录 上页 下页 返回 结束 二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏导数组成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(称为F、G 的雅可比雅可比 行列式行列式.2.以两个方程确定两个隐函数的情况,即雅可比 目录 上页 下页 返回 结束

15、 x y uvx y,F Gxy目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4. .,0),(0000vuyxF的某一邻域内具有连续偏设函数),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF则方程组0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在点的单值连续函数单值连续函数),(, ),(yxvvyxuu且有偏导数公式 : 在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:,0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG导数；, ),(000yxuu ),(000yxvv 目录 上页 下页 返回 结束 vuvuGGFFvuGFJ),(),(定理证明略.仅推导偏导数公式如下：)

16、,(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1(P86-87)xxGFyyGFxxGFyyGF目录 上页 下页 返回 结束 0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组则两边对 x 求导得,),(),(yxvvyxuu设方程组,0vuvuGGFFJ在点P 的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0解的公式 故得系

17、数行列式xuvuvuGGFFvxvxGGFF目录 上页 下页 返回 结束 xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0同样可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:在求方程组所确定隐函数的导数或偏导数时，可以对方程组求导数或偏导数，获得隐函数的导数或偏导数所满足的线性方程组，从而将要求的偏导数计算出来。 小结:隐函数求偏导数的程序(方程组的情形):(1) 弄清哪个是因变量,哪些是中间变量,哪些是自变量; (2) 将方程两边对自变量求导;(3) 解由(2)得到的方程组,求出要求的偏

18、导数.自变量个数 = 变量总个数 方程总个数自变量与因变量由所求对象判定目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程组两边对 x 求导，并移项得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx练习练习: 求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案答案:由题设故有自变量个数 = 变量总个数 方程总个数目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJ1uyJ22yxvxuyyu方程组两边对 y 求导，并移项得求

19、uvyxuyy vyux22xvyuxyvyux1vyJ22xuyvxy 练习练习: 求yvyu,uvxyvyy022yx22yxvyuxyv答案答案:由题设故有目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu求解解法法2（微分法）（微分法） 方程组两边同时微分方程组两边同时微分0udxxduvdyydv0udyyduvdxxdvxduydvudxvdy yduxdvvdxudy 用用Gramer法则法则udxvdyyvdxudyxduxyyx22()()xudxvdyyvdxudyxy2222xuyvxvyudxdyxyxy 目录 上页 下页 返回 结

20、束 2222xuyvxvyududxdyxyxy 22,uxuyvxxy 22uxvyuyxy显然，利用全微分法求偏导数更简便显然，利用全微分法求偏导数更简便目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu求解解法法3解方程组得解方程组得1,yuxv0,xuyv1vJ1uJxyyxJ022yx由题设01yx22yxy01xy22xxy得得2222,()uxyxxyvx222222()2()uxyyyxy22222,()xyxyvy222222()2()xyxxy22222,()yxxy222.xyxy目录 上页 下页 返回 结束 例例5. .设函数在点(

21、u,v) 的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 证明函数组),(),(vuyyvuxx( x, y) 的某一邻域内. ),(, ),(yxvvyxuu2) 求),(, ),(yxvvyxuu解解: 1) 令0),(),(vuxxvuyxF0),(),(vuyyvuyxG对 x , y 的偏导数.在与点 (u, v) 对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数目录 上页 下页 返回 结束 0),(),(vuxxvuyxF0),(),(vuyyvuyxG),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式两边对 x 求导, 得

22、uy0 xvxu1xuxvuxvxvy则有),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由定理 4 可知结论 1) 成立.2) 求反函数的偏导数. 目录 上页 下页 返回 结束 uy0 xvxu1xuxvuxvxvy, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ从方程组解得同理, 式两边对 y 求导, 可得,1vxJyuuxJyv1目录 上页 下页 返回 结束 xuxv例例5的应用的应用: 计算极坐标变换sin,cosryrx的反变换的导数 .),(),(ryxJxrx同样有22yxyyr22yxxy所以由于vyJ 1uyJ 1cos1rrsin1rcossinsi

23、ncosrrryJ1cos22yxxryJ 122yxyrruv目录 上页 下页 返回 结束 2(,),(,),uf ux vyvg ux v y例例5. 设,.uvxx求解解: 方程组两边对 x 求导，得12(1)2,vuvgg yvxxx12(),uuvf uxfxxx当1212121xffyJgg v 0 解方程组得时,f,g具有连续偏导数,121( 21),uvgg yvgxx121(1),uvxffufxx 移项整理后得1221(1)(21)xfg yvf g 目录 上页 下页 返回 结束 121( 21),uvgg yvgxx121(1),uvxffufxx 1212121uffu

24、gg yvxJ111111xfufvggxJ12211221(21),1)(21)(ufg yvf gxfg yvf g 1111221(1).1)(21)(g xfufxfg yvf g 目录 上页 下页 返回 结束 小结小结: :隐函数求偏导数的程序隐函数求偏导数的程序( (方程组的情形方程组的情形):):(1) 弄清哪个是因变量弄清哪个是因变量, ,哪些是中间变量哪些是中间变量, ,哪些是哪些是 自变量自变量; (2) 将方程两边对自变量求导将方程两边对自变量求导; ;(3) 解由解由(2)(2)得到的方程组得到的方程组, ,求出要求的偏导数求出要求的偏导数. .目录 上页 下页 返回

25、结束 内容小结内容小结1. 隐函数( 组) 存在定理2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式 .思考与练习思考与练习设, ),(zyxzyxfz求.,yxzxxz目录 上页 下页 返回 结束 zx 提示提示:),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf目录 上页 下页 返回 结束 ),(zyxzyxfz解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导

26、数.,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd121yfzxfd21作业作业 预习下一节预习下一节P89 2 , 8， 9 , 10(1); (3)，.zx第六节 由d y, d z 的系数即可得目录 上页 下页 返回 结束 )()(xzzxyy及,2e yxyx备用题备用题.ddxu求分别由下列两式确定 :又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数 ,1. 设解解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得1ddfxuuzyxx x0)()(eyxyyxyyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(e1zxzxzx,dsi

27、ne0tttzxx(2001考研)解得因此2fxy3)sin()(e1fzxzxx目录 上页 下页 返回 结束 zxFyFy0zFz fx)1 (y2. 设)(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所确定的函数 , 求.ddxz解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得ffxfzyfx xzyFzFyF)0( zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx(1999考研)目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 微分法.0),(),(zyxFyxfxz对各方程两边分别求微分:化简得消去yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1可得二元线性代数方程组解的公式222111cybxacybxa解解:22111babax 2211bcbc2211caca22111babay 雅可比雅可比(1804 1851)德国数学家. 他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础. 他对行列式理论也作了奠基性的工作. 在偏微分方