线性代数 第三章矩阵初等变换与线性方程组ppt课件

1、线性方程组的解线性方程组的解 设一般线性方程组为设一般线性方程组为11112211211222221122(1) nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb 线性方程组有解，我们称它们是相容的；如果无解，则线性方程组有解，我们称它们是相容的；如果无解，则称它们是不相容的。称它们是不相容的。AX=B (2)方程方程1对应的矩阵方程为对应的矩阵方程为其中：其中：12nxxX=x 12mbbB=b 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 11121121222212(, )nnmmmnmaaabaaabBA baaaa 称为方程组称为方程组(1)的增

2、广矩阵。的增广矩阵。其中其中111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 为方程组为方程组(1)的系数矩阵。的系数矩阵。称为方程组称为方程组1的导出组，的导出组，或称为或称为1对应的齐次线性方程组。对应的齐次线性方程组。当当0 (1,2,)ibim 时时,齐次线性方程组齐次线性方程组11112212112222112200 (2)0nnnnmmmnna xaxaxaxaxaxaxaxax 11112211211222221122(1) nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb 齐次与非齐次线性方程组齐次与非齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方

3、程组 定义：线性方程组的初等变换定义：线性方程组的初等变换（1） 用一非零的数乘某一方程用一非零的数乘某一方程（2） 把一个方程的倍数加到另一个方程把一个方程的倍数加到另一个方程（3） 互换两个方程的位置互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换，所得可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换，所得到的新的线性方程组与原方程组同解。到的新的线性方程组与原方程组同解。 对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵；做初等行变换阵；做初等行变换( , )BA b 初等行变换初等行变换111211,1112212,122,1100

4、0000 0 0000 0 00000 0 00rrnrrnrrr rrnrrssssstsssstssstt 化为行阶化为行阶梯形矩阵梯形矩阵则以矩阵则以矩阵3为增广矩阵的方程组与方程组为增广矩阵的方程组与方程组1同解。同解。1,1112,122,11100010001 (3)000 0 0000 0 00000 0 00rnrnr rrnrrccdccdccdd 化为行最化为行最简形矩阵简形矩阵由矩阵由矩阵3可讨论方程组可讨论方程组1的解的情况的解的情况 有唯一解。有唯一解。有无穷多解。有无穷多解。特别地，方程组特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组的导出组，即对应的齐次线性

5、方程组 一定有解。一定有解。当当rnrn 有唯一的零解。有唯一的零解。有无穷多解，即有非零解。有无穷多解，即有非零解。1) 假设假设 ，即，即 则方程组无解。则方程组无解。10rd ()(,)R AR A B 2) 假设假设10,rd 则方程组有解，则方程组有解，( )( ,)R AR A B rn 当当( )( ,)R AR A B 时，时，rn 举例说明消元法具体步骤：举例说明消元法具体步骤：例：解线性方程组例：解线性方程组1231231232314254240 xxxxxxxxx 解：解： 100021001312213100120011 最后一行有最后一行有301,x 可知方程组无解。

6、可知方程组无解。2131( , )42542140A b 例：解线性方程组例：解线性方程组123423412423423410331730 xxxxxxxxxxxxx 解：解： ),(bA12341011100024000480 0000002100011101432112341011101303107310 12021010100012000000 10001010100012000000 对应的方程组为对应的方程组为124341020 xxxxx 1243412xxxxx 即即所以一般解为所以一般解为123412xxkxkxk （k为任意常数）为任意常数）齐次线性方程组齐次线性方程组110

7、 (2)m nnmAx 1. 齐次线性方程组齐次线性方程组2有解的条件有解的条件定理定理1:齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解有非零解110m nnmAx r An定理定理2:齐次线性方程组齐次线性方程组 只有零解只有零解110m nnmAx r An 推论推论:齐次线性方程组齐次线性方程组 只有零解只有零解110n nnnAx r An 即即0,A 即系数矩阵即系数矩阵A可逆。可逆。例例: 求齐次方程组的通解。求齐次方程组的通解。12341234123240(1) 24803620 xxxxxxxxxxx 解：解：124124813620A 11205124130010300110000

8、00000 初等行变换初等行变换行最简形矩阵对应的方程组为行最简形矩阵对应的方程组为求通解求通解1243412053010 xxxxx 即即12434125310 xxxxx 24,xx是自由是自由未知量。未知量。令令2142,xcxc 那么那么112213242125 3 10 xccxcxcxc 即即12123412510031001xxccxx 12,c c为任意常数。为任意常数。12312312312323036100(2)2570240 xxxxxxxxxxxx 解：解：1233610257124A 123011001000 初等行变换初等行变换 3,r An所以只有零解。所以只有零

9、解。 000100010021 000100010001三三. 非齐次性线性方程组非齐次性线性方程组11 (1)m nnmAxb 有解的条件有解的条件 定理定理3：非齐次线性方程组：非齐次线性方程组11m nnmAxb 有解有解 ,R AR A b 并且，当并且，当 ,R AR A bn时，有唯一解；时，有唯一解；当当 ,R AR A bn时，有无穷多解。时，有无穷多解。求解非齐次方程组求解非齐次方程组1234123412341234512333819377xxxxxxxxxxxxxxxx 解：解：1511112133(,)3811119377A b 15111072440000000000

10、3131310777244017770000000000 13423413313777424777xxxxxx 令令3142,xcxc 那么那么112212314213313777424777 xccxccxcxc 12(,c c为任意常数）为任意常数）例例k取何值时有唯一解取何值时有唯一解,无穷多解或无解，无穷多解或无解，有无穷多解时求出通解有无穷多解时求出通解.1231232353218522kxxxxxkxkxx 115,321850122kA bkk321851150122kkk 解：解：法法1： 23218542001251852 133330122kkkkkkk 22321 850

11、1224151 400133333kkkkkk 时时，有有唯唯一一解解且且即即时时3, ,31,013134 12 nbArArkkkk .,3 )3(, 32,1 2无无解解时时有有无无穷穷多多解解时时bArArkbArArk 法法2：利用：利用Cramer法则法则1132(1)(3)012kDkkk 2210131235111),(bA 000022103101有无穷多解，有无穷多解， 3231223xxxx 121023321cxxx即即当当 时，时，1k 当当 时，即时，即 且且 时，方程组有唯一解。时，方程组有唯一解。0D 1k 3k 时，时，当当3 k 221033235113),

12、(bA 400022105113所以方程组无解。所以方程组无解。),()(bArAr 线性方程组讨论例题线性方程组讨论例题12312321231xxxxxxxxx 取何值时，取何值时，（1 1有唯一解；（有唯一解；（2 2无解；无解；（3 3有无穷多组解有无穷多组解21 11111 1 解：解：12rr 32rr 2220 11111011 当当 时；时； 1 11r 31r 0 11 111011 220 0 211 0 10 11 23rr 13(1)rr 线性方程组讨论例题线性方程组讨论例题(2) 220 02110 10 11 12r 2210 01210 10 11 232210 0

13、 1211 0 0 ()210 1 02 211 0 0210 1 0210 0 12 当当 时；时； 2 31rr 21(1)rr 线性方程组讨论例题线性方程组讨论例题(3) 2110021010210012 当当 时；时；原方程组有唯一解原方程组有唯一解 1 2 102 102 2102 ,3R AR A B 当当 时；时；1 2220 11111011 0 0 0 01 1 1 10 0 0 0 显然此时方程显然此时方程有无限多组解有无限多组解显然此时方程显然此时方程有无限多组解有无限多组解线性方程组讨论例题线性方程组讨论例题(4)当当 时；时；2 220 02110 10 11 0 0

14、01101 20 11 2 原方程组无解原方程组无解 ,R AR A B 当当 时；时；原方程组有唯一解原方程组有唯一解 1 2 当当 时时,2 原方程组无解原方程组无解 当当 时；时；1 方程有无限多组解方程有无限多组解线性方程组讨论例题线性方程组讨论例题12312321232222xxxxxxxxx 取何值时有解，并求出它的解取何值时有解，并求出它的解22112121112 解：解：122rr 32rr 203322121033 13rr 220002121033 时，无解时，无解 1 2 线性方程组讨论例题线性方程组讨论例题220002121033 时：时： 1 00001211033

15、0 33r232rr 0 0001 01 10 11 0 线性方程的解为：线性方程的解为：1 01 10 11 00 000 132310 xxxx 3xc 得：得：1231xcxcxc 123xxxx 111010c 线性方程组讨论例题线性方程组讨论例题220002121033 时：时： 2 000012120336 33r232rr 0 0001 01 20 11 2 线性方程的解为：线性方程的解为：1 01 20 11 20 000 132322xxxx 3xc 得：得：12322xcxcxc 123xxxx 121210c 线性方程组讨论例题线性方程组讨论例题123123123(2)2

16、212(5)4224(5)1xxxxxxxxx 222125422451 解：解：12rr 32rr 时时1 为何值时，有唯一解、无为何值时，有唯一解、无解或有无限多解？并在有无限解或有无限多解？并在有无限多解解求通解。多解解求通解。 32125420111 31r 212rr 2670221225420111 线性方程组讨论例题线性方程组讨论例题26 702 21225420111 121r 212rr 0 64 12 54 20111 13(6)rr 212rr 001052 5420111 10 时，无解时，无解10 、1时，唯一解时，唯一解1 时，无穷多解时，无穷多解线性方程组讨论例题

17、线性方程组讨论例题时时1 32125420111 122124420000 122100000000 212rr 1r 123221xxx 1122132221xccxcxc 123xxxx 12221100010cc 01112022200111111001 设矩阵A =求矩阵A的秩(42 )AB XC X设有矩阵方程211111612 其中A=122112611 100132 ，B=， C=，求矩阵4 2 2 14 1 2 24 1 2 24 1 2 ( 1)4 1 2 14 1 2 24 6 2 64 ( 1) 2 ( 1) 4 2 2 1 (42 )AB 600620122 6 (42

18、)ABC6001062001122 632 600100201102 652 21rr 312rr 101 0 060 2 0110 0 661 1061 0 0110 1 0220 0 1116 32rr 116r 212r 316r 1061122116X 123412341231242202200220 xxxxxxxxxxxxxx 1212212111102102A 0324022311100122 13rr 24rr 432rr 00410002710120122 是否有非零解143rr 34rr 242rr 122rr 0004002710120122 4R A 方程组只有零解111naaaaaaDaaa 解线性方程组1234123412342823223232xxxxxxxxxxxx 211181232213232 Ab 057541232205550 122rr 32rr 13rr 315r 002041232201110 13rr 315r 232rr 112r 001021010201110 21rr 31rr 001021000401012 12