第一章数字电路基础

1、第一章、数字电路基础第一章、数字电路基础 重点重点：掌握基本的逻辑关系；：掌握基本的逻辑关系；掌握逻辑代数的五种表掌握逻辑代数的五种表示方法及相互转化；示方法及相互转化； 掌握掌握逻辑代数的定律和逻辑代数的定律和运算规则运算规则；Ma Liming Electronic Technique21.1.1 数字信号与模拟信号数字信号与模拟信号模拟信号模拟信号：在时间上和：在时间上和数值上连续的信号。数值上连续的信号。数字信号数字信号：在时间上和：在时间上和数值上不连续的（即离数值上不连续的（即离散的）信号。散的）信号。uu模拟信号波形模拟信号波形数字信号波形数字信号波形tt对模拟信号进行传输、处理

2、的电子线路称为对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为模模拟电路。拟电路。对数字信号进行传输、处理的电子线路称为对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数数字电路。字电路。Ma Liming Electronic Technique31.1.2 1.1.2 数字电路的特点与分类数字电路的特点与分类 （1 1）工作信号是二进制的数字信号，在时间上和）工作信号是二进制的数字信号，在时间上和数值上是离散的（不连续），反映在电路上就是数值上是离散的（不连续），反映在电路上就是低电平和高电平两种状态（即低电平和高电平两种状态（即0 0和和1 1两个逻辑值两个逻辑值）。）。1 1、数字电路的特点、数字电路的特

3、点 （2 2）在数字电路中，研究的主要问题是电路的逻）在数字电路中，研究的主要问题是电路的逻辑功能，即辑功能，即输入信号的状态和输出信号的状态输入信号的状态和输出信号的状态之之间的关系。间的关系。Ma Liming Electronic Technique4（3 3）和模拟电路相比，组成数字电路的元器件的）和模拟电路相比，组成数字电路的元器件的精度要求不高，只要在工作时能够可靠地精度要求不高，只要在工作时能够可靠地区分区分0 0和和1 1两种状态两种状态即可。即可。Ma Liming Electronic Technique52 2、数字电路的分类、数字电路的分类（2 2）按所用器件制作工艺的

4、不同按所用器件制作工艺的不同：数字电路可分：数字电路可分为双极型（为双极型（TTLTTL型）和单极型（型）和单极型（MOSMOS型）两类。型）两类。（1 1）按集成度分类按集成度分类：数字电路可分为小规模：数字电路可分为小规模（SSISSISmall Scale IntegrationSmall Scale Integration，每片数十器，每片数十器件）、中规模（件）、中规模（MSIMSI，每片数百器件）、大规模，每片数百器件）、大规模（LSILSI，每片数千器件）和超大规模（，每片数千器件）和超大规模（VLSIVLSI，每片，每片器件数目大于器件数目大于1 1万）数字集成电路。集成电路从

5、应万）数字集成电路。集成电路从应用的角度又可分为通用型和专用型两大类型。用的角度又可分为通用型和专用型两大类型。Ma Liming Electronic Technique6（3 3）按照电路的结构和工作原理的不同按照电路的结构和工作原理的不同：数字电路：数字电路可分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两类。可分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两类。组合逻辑电路组合逻辑电路没有记忆功能，其输出信号只与当时没有记忆功能，其输出信号只与当时的输入信号有关，而与电路以前的输出状态无关。的输入信号有关，而与电路以前的输出状态无关。时序逻辑电路时序逻辑电路具有记忆功能，其输出信号不仅和当具有记忆功能，其输出信号不仅

6、和当时的输入信号有关，而且与电路以前的输出状态有时的输入信号有关，而且与电路以前的输出状态有关。关。Ma Liming Electronic Technique71.2、 逻辑代数逻辑代数 逻辑代数也称为布尔代数，它是描述逻辑代数也称为布尔代数，它是描述输入信号输入信号(条件条件)与输出信号与输出信号(结果结果)之间存在一定的因果关系，之间存在一定的因果关系，称其为逻辑关系。它可以用称其为逻辑关系。它可以用逻辑表达式、逻辑表达式、 逻辑图和逻辑图和真值表真值表来描述。来描述。 逻辑代数中的逻辑变量用字母逻辑代数中的逻辑变量用字母A， B， C， X，Y，Z等来表示；变量取值只有等来表示；变量取

7、值只有0和和1，而这里的，而这里的0和和1并不表示具体的数值大小，而是表示两种相互对立并不表示具体的数值大小，而是表示两种相互对立的逻辑状态。的逻辑状态。1.2.1、 基本概念基本概念Ma Liming Electronic Technique8 例如例如: 电灯的亮和灭、电灯的亮和灭、 电动机的旋转与停止、电动机的旋转与停止、生物的活与死、射击导弹的击中目标与未击中目标生物的活与死、射击导弹的击中目标与未击中目标及竞选的成功与失败等及竞选的成功与失败等 ，把这种，把这种描述相互对立的逻描述相互对立的逻辑关系且仅有两个取值的变量称为逻辑变量。辑关系且仅有两个取值的变量称为逻辑变量。 一般地，高

8、电平用一般地，高电平用“1”表示，低电平用表示，低电平用“0”表示，称为表示，称为正正逻辑；反之称为逻辑；反之称为负负逻辑。逻辑。 这两种对立的逻辑状态我们可以用这两种对立的逻辑状态我们可以用“0”0”和和“1”1”来表示，来表示， 但注意此时的但注意此时的“0”0”，“1”1”并不代表数并不代表数量的大小，量的大小， 只表示只表示两种对立的状态两种对立的状态。Ma Liming Electronic Technique9 1. 与运算与运算 只有当决定事物结果的所有条件全部具备时，结只有当决定事物结果的所有条件全部具备时，结果才会发生，果才会发生， 这种逻辑关系称为这种逻辑关系称为与与逻辑关

9、系。逻辑关系。与逻辑模型与逻辑模型电路如图所示电路如图所示, A、是两个串联开关，是灯，、是两个串联开关，是灯，用开关控制灯亮和灭的关系如表用开关控制灯亮和灭的关系如表1.1所示。所示。1.2.2 三种基本逻辑运算三种基本逻辑运算ABEYMa Liming Electronic Technique10表表 1.1 与逻辑关系表与逻辑关系表ABY断断断断灭灭断断通通灭灭通通断断灭灭通通通通亮亮如果用二值量中的如果用二值量中的1来表示灯亮和开关闭合来表示灯亮和开关闭合，用用0表示灯灭和开关断开，表示灯灭和开关断开， 则可得到与辑真值表。则可得到与辑真值表。表表 1.2 与逻辑真值表与逻辑真值表AB

10、Y000010100111Ma Liming Electronic Technique11 由于每个变量有由于每个变量有“0”和和“1”两种可能，对于两种可能，对于n个输个输入变量而言，输入部分入变量而言，输入部分(条件变量条件变量)有有N=2n项组合。项组合。与运算也称与运算也称“逻辑乘逻辑乘”。 与运算的逻辑表达式与运算的逻辑表达式为为: Y = AB或或 Y = A B （“”号可省略）号可省略）与逻辑的运算规律为：与逻辑的运算规律为： 输入有得，输入有得， 全得。全得。 和数学上和数学上=完全等价于不同，逻辑表完全等价于不同，逻辑表达式等式的达式等式的一端为条件，另一端为对应的结果。一

11、端为条件，另一端为对应的结果。Ma Liming Electronic Technique12图图 1.2与逻辑符号图与逻辑符号图&ABYABY与逻辑的逻辑符号如图与逻辑的逻辑符号如图1.所示。所示。与逻辑的波形图如图与逻辑的波形图如图1.3所示。所示。 该图直观地描述了该图直观地描述了任意时刻输入与输出之间的对应关系及变化的情况。任意时刻输入与输出之间的对应关系及变化的情况。1.3与逻辑波形图与逻辑波形图Ma Liming Electronic Technique13 2. 或运算或运算 当决定事物结果的几个条件中，当决定事物结果的几个条件中， 只要有一个或只要有一个或一个以上条件得

12、到满足，一个以上条件得到满足， 结果就会发生，这种逻结果就会发生，这种逻辑关系称为辑关系称为或或逻辑。或逻辑模型电路如图所示。逻辑。或逻辑模型电路如图所示。ABEYMa Liming Electronic Technique14表表 1.3 或逻辑关系表或逻辑关系表ABY断断灭 断通亮通断亮通通亮表表 1.4 或逻辑真值表或逻辑真值表ABY000011101111Ma Liming Electronic Technique15或运算也称或运算也称“逻辑加逻辑加”。 或运算的逻辑表达式或运算的逻辑表达式为为 Y = A + B1ABY或逻辑运算的规律为：有得，全得。或逻辑运算的规律为：有得，全得

13、。 或逻辑的逻辑符号如图或逻辑的逻辑符号如图1.5所示。所示。Ma Liming Electronic Technique16图图 1.6 非逻辑电路图非逻辑电路图3. 非运算非运算 在事件中，结果总是和条件呈相反状态，这种逻辑在事件中，结果总是和条件呈相反状态，这种逻辑关系称为关系称为非非逻辑。非逻辑的模型电路如图逻辑。非逻辑的模型电路如图1.6所示。所示。EYAMa Liming Electronic Technique17表表 1.5 非逻辑的关系表非逻辑的关系表AY断亮通灭表表 1.6 非逻辑的真值表非逻辑的真值表AY0110Ma Liming Electronic Technique

14、18图图 1.7 非逻辑符号非逻辑符号 非运算也称非运算也称“反运算反运算”。非运算的逻辑表达。非运算的逻辑表达式为式为YAY1A运算的规律为运算的规律为: 变变, 变变, 即即“始终相反始终相反”。逻辑符号如图逻辑符号如图1.7所示。所示。Ma Liming Electronic Technique19 1.2.3 常见的几种复合逻辑关系常见的几种复合逻辑关系 与、或、非运算是逻辑代数中最基本的三种与、或、非运算是逻辑代数中最基本的三种运算，几种常见的复合逻辑关系的逻辑表达式、运算，几种常见的复合逻辑关系的逻辑表达式、 逻辑符号及逻辑真值表如表逻辑符号及逻辑真值表如表1.7 所示。所示。 M

15、a Liming Electronic Technique20ABY CDABY&ABY1YAB表1.7 常见的几种逻辑关系Ma Liming Electronic Technique21 1.2.4 逻辑函数及各表示方法间互换逻辑函数及各表示方法间互换 分析研究各种逻辑事件、逻辑电路，就必须借助逻辑分析研究各种逻辑事件、逻辑电路，就必须借助逻辑代数这一数学工具。逻辑代数中的变量称为逻辑变量，代数这一数学工具。逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用字母用字母A、B、C表示，例如前述的照明灯控制开关表示，例如前述的照明灯控制开关A、B等。等。 逻辑变量只有两种取值：真和假，一般用逻辑变量只有两

16、种取值：真和假，一般用“1”表示真，表示真，用用“0”表示假。表达式表示假。表达式F=AB等称为逻辑函数。掌握逻等称为逻辑函数。掌握逻辑函数的运算法则是研究数字电路的基础。辑函数的运算法则是研究数字电路的基础。1. 逻辑函数逻辑函数 Ma Liming Electronic Technique222. 逻辑函数的表示方法及转换逻辑函数的表示方法及转换 与、或、非是三种基本的逻辑运算，即三与、或、非是三种基本的逻辑运算，即三种基本的逻辑函数。种基本的逻辑函数。 逻辑函数可以用逻辑真值表、逻辑函数可以用逻辑真值表、 逻辑表达式、逻辑表达式、 逻辑图、波形图、逻辑图、波形图、 卡诺图等方法来表示。卡

17、诺图等方法来表示。 Ma Liming Electronic Technique23 (1) 根据逻辑表达式，根据逻辑表达式， 画出逻辑图如图所示。画出逻辑图如图所示。1&1ACYB例：已知函数的逻辑表达式例：已知函数的逻辑表达式 。 要求要求:1)、画出逻辑图；画出逻辑图；2)列出相应的真值表；列出相应的真值表；3)已知输入波形，已知输入波形，画出输出波形；画出输出波形；YBACMa Liming Electronic Technique24(2) 将将A, B, C的所有组合代入逻辑表达式中进行计的所有组合代入逻辑表达式中进行计算，得到真值表如表算，得到真值表如表1.8所示。所示。

18、表表 1.8 例例1的真值表的真值表 A B C Y 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 Ma Liming Electronic Technique25图图 1.9 例例 1 的波形图的波形图ABCY(3) 根据真值表，根据真值表， 画出例画出例1的输出波形，如图的输出波形，如图1.9所示。所示。Ma Liming Electronic Technique26 例例 2：已知函数：已知函数Y的逻辑图如图的逻辑图如图1.10所示，写出所示，写出函数函数Y的逻辑表达式。的逻辑表达式。 图图 1.10 例例

19、2逻辑图逻辑图1&BACBACBACYY1Y2Y3Ma Liming Electronic Technique27解：据逻辑图逐级写出输出端函数表达式如下：解：据逻辑图逐级写出输出端函数表达式如下： 1YABC=2YABC=3YABC=YA B CA B CA B C=+最后得到函数最后得到函数Y的表达式为的表达式为:Ma Liming Electronic Technique28 通过真值表也可以直接写出逻辑表达通过真值表也可以直接写出逻辑表达式。方法是将真值表中式。方法是将真值表中Y为为1的输入变量的输入变量相与，取值为相与，取值为1用原变量表示，用原变量表示，0用反变用反变量表示

20、，量表示， 将这些与项相加，就得到逻辑将这些与项相加，就得到逻辑表达式。表达式。 Ma Liming Electronic Technique29 A B C Y 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0例：写出下列真值表所对应的逻辑表达式。例：写出下列真值表所对应的逻辑表达式。YA B CA B CA B CA B C=+Ma Liming Electronic Technique301.3.1 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律 1.3逻辑代数的定律和运算规则逻辑代数的定律和运算规则例 :00? =01

21、? =1 1? =00?+=01?+=11?+=0?A =1?A =?AA =?AA =0?A+=1?A+=?AA+=?AA+=?A=Ma Liming Electronic Technique31定律名称逻辑与逻辑或1 0-1律2 交换律3 结合律4 分配律5 互补律6 重叠律7 还原律8 反演率（摩根定律）A 0=0A 1=AA B=B AA (B C)=(A B) CA (B + C)=AB+ACA =0A A =A =AA+0=AA+1=1A+B=B+AA+(B+C)=(A+B)+CA+(B C)=(A+B) (A+C)A+ =1A+A=AAAABABAABA B逻辑代数的基本定律逻辑

22、代数的基本定律Ma Liming Electronic Technique32续表（续表（2）AABA定律名称逻辑与逻辑或9 吸收律隐含律 A (A+B)=AA (B C)=(A B) CABAAB(A +B)(A+ ) =ABA ( +B)=ABA(A+B)( +C)(B+C)=(A+B)()AA C)()(DCBCABA)(CABABABAAABACBCABACCAABBCDCAABMa Liming Electronic Technique33证明：AA BA+=证明：(1)AA BABA+=+=A BABB+=证明：证明：()A BABAA B+=+= B BAABAB+=+证明：证明

23、：()()AABAAABAB+=+=+()A ABA+=证明：证明：()A ABAA BA+=+=Ma Liming Electronic Technique34作业：试证明：A BACB CA BAC+=+Ma Liming Electronic Technique35表表1.10 例例3的真值表的真值表例 3 证明反演律ABA B A B 0 0 0 1 1 0 1 110001000ABBABA证: 列出 及 的真值表如表 1.10所示。ABMa Liming Electronic Technique36 1.3.2 基本规则基本规则1. 代入规则代入规则 在任何一个逻辑等式中，在任何一

24、个逻辑等式中， 如果将等式两边的某一如果将等式两边的某一变量都用一个函数代替，则等式依然成立。这个规变量都用一个函数代替，则等式依然成立。这个规则称为代入规则。则称为代入规则。CBABCA)(若用若用BC代替等式中的，即：代替等式中的，即：A BAB=+已知等式已知等式 例例4:证明证明CBABCA)(证明:Ma Liming Electronic Technique37 2. 反演规则反演规则 若求一个逻辑函数的反函数时，若求一个逻辑函数的反函数时， 只要将函数中只要将函数中所有所有“”换成换成“”， “”换成换成“”； “”换成换成“”， “”换成换成“”；原变量换成反；原变量换成反变量，

25、变量， 反变量换成原变量；反变量换成原变量； 则所得到的逻辑函则所得到的逻辑函数式就是逻辑函数的反函数。数式就是逻辑函数的反函数。 运用规则必须注意运算符号的先后顺序运用规则必须注意运算符号的先后顺序, 必须按照先必须按照先括号，然后按再与、后或的顺序变换，而且应括号，然后按再与、后或的顺序变换，而且应保持保持两个及两个以上变量的非号不变两个及两个以上变量的非号不变，应保持变换前后应保持变换前后运算顺序不变。运算顺序不变。 Ma Liming Electronic Technique38 例例5:求求 的反函数的反函数。 YAB BCDEYABBCDE解解:Ma Liming Electron

26、ic Technique39 例例 6：求的对偶式：求的对偶式Y。解解: : () ). 对偶规则对偶规则 是一个逻辑表达式，如果将中的是一个逻辑表达式，如果将中的“”换换成成“”，“”换成换成“”， 所得到新的逻辑函所得到新的逻辑函数式数式Y，就是的对偶函数。，就是的对偶函数。保持两个及两个以上保持两个及两个以上变量的非号不变变量的非号不变；应保持变换前后运算顺序不变。应保持变换前后运算顺序不变。对于两个函数对于两个函数, 如果原函数相等如果原函数相等, 那么其对偶函数、那么其对偶函数、反函数也相等。反函数也相等。Ma Liming Electronic Technique401.4逻辑函数

27、的代数化简法逻辑函数的代数化简法 根据逻辑定律和规则，根据逻辑定律和规则， 一个逻辑函数可以有多一个逻辑函数可以有多种表达式。例如：种表达式。例如：CAABYA BAC=()()ABAC=+g与与 -或表达式或表达式与非与非-与非表达式与非表达式(摩根定律摩根定律)或与非表达式（利用反演规则）或与非表达式（利用反演规则）或非或非表达式或非或非表达式(将或与非式用摩根将或与非式用摩根定律）定律）()()ABAC=+Ma Liming Electronic Technique41 因为与或表达式比较常见且容易同其他形式因为与或表达式比较常见且容易同其他形式的表达式相互转换，所以化简时一般要求化为的

28、表达式相互转换，所以化简时一般要求化为最最简与或表达式。简与或表达式。 逻辑函数化简的方法有逻辑函数化简的方法有代数法和卡诺图法代数法和卡诺图法。代。代数法它可是直接运用基本定律及规则化简逻辑函数。数法它可是直接运用基本定律及规则化简逻辑函数。方法有并项法、吸收法、方法有并项法、吸收法、 消去法和配项法。消去法和配项法。Ma Liming Electronic Technique42例 7:1YABCAB C=+2YABCA BAC=+1. 并项法并项法 利用 的公式，将两项合并为一项，并消去一个变量。1AA()AC BBAC=+=()A BCBC=+()A BCBCA=+=Ma Liming

29、 Electronic Technique43例8:)(EDBCABAY1()ABC DEBA 3. 消去法消去法 利用 ，消去多余的因子。BABAACBCAABYCBAAB)(CABAB ABC 2. 吸收法吸收法 利用A+AB=A的公式消去多余的乘积项。 例9:Ma Liming Electronic Technique44 4. 配项法配项法 利用 ， 增加必要的乘积项， 然后再用公式进行化简。()AA BBCBCABAY)(AACBCABACBACBACABA(1)(1)ABCACBCABA例 10:Ma Liming Electronic Technique45 实际解题时，往往需要

30、综合运用上述几种方法实际解题时，往往需要综合运用上述几种方法进行化简，才能得到最简结果。进行化简，才能得到最简结果。BCBCABCAY1BCBCABCABCCACA（摩根定律）（摩根定律）例例11: 化简函数化简函数。（合并法）（合并法）（吸收法）（吸收法）（摩根定律）（摩根定律）BCCAMa Liming Electronic Technique46DEFGEFBACEFBDCAABDAADY2AA BACB DA C EFBEFD EFG=+DEFGEFBBDCAADEFGEFBBDCAEFBBDCA()ABACBCDABAC+=+Ma Liming Electronic Techniqu

31、e471.5 逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数的卡诺图化简 卡诺图是指按相邻性原则排列的最小项的方格图。卡诺图是指按相邻性原则排列的最小项的方格图。 , , ().AAB B A AB+而根据定义,不是最小项对对n个输入变量的逻辑函数来说，共有个输入变量的逻辑函数来说，共有2n个最小项。个最小项。,AB AB AB A B是最小项.例如：在两变量逻辑函数例如：在两变量逻辑函数Y=F(A, B)中，根据最小项的定中，根据最小项的定义，它们组成的四个乘积项：义，它们组成的四个乘积项：1.5.1逻辑函数的最小项逻辑函数的最小项 1. 最小项的定义最小项的定义 在在n个输入变量的逻辑函数中，如果一个个输入

32、变量的逻辑函数中，如果一个与项（乘积项）与项（乘积项）包含包含n 个变量，而且每个变量以原变量或反变量的形式出现且个变量，而且每个变量以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次，那么该乘积项称为该函数的一个最小项。仅出现一次，那么该乘积项称为该函数的一个最小项。Ma Liming Electronic Technique48 2. 最小项的性质最小项的性质 (1) 对于任意一个最小项，只有对于任意一个最小项，只有一组变量取值一组变量取值使得使得它的值为它的值为1，而取其他值时，这个最小项的值都，而取其他值时，这个最小项的值都是是0。 (2) 若两个最小项之间只有一个变量不同，其余若两个最小项之间只

33、有一个变量不同，其余各变量均相同，则称这两个最小项满足各变量均相同，则称这两个最小项满足逻辑相邻逻辑相邻。 (3) 对于任意一种取值全体最小项之和为对于任意一种取值全体最小项之和为1。Ma Liming Electronic Technique49 3最小项的编号最小项的编号 最小项通常用最小项通常用mi表示，下标表示，下标i即最小项编号，用即最小项编号，用十进制数表示。十进制数表示。 编号的方法是编号的方法是：先将最小项的原变量用：先将最小项的原变量用1、反、反变量用变量用0表示，构成二进制数；将此二进制数转换表示，构成二进制数；将此二进制数转换成相应的十进制数就是该最小项的编号。三个变量成

34、相应的十进制数就是该最小项的编号。三个变量的最小项编号如表的最小项编号如表1.11所示。所示。Ma Liming Electronic Technique50表表1.11 三变量的最小项编号三变量的最小项编号最小项 变量取值 A B C最小项编号0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 1 1 1 01 1 1m0m1m2m3m4m5m6m7CBACBACBABCACBACBACABABCMa Liming Electronic Technique51 卡诺图的结构特点是按卡诺图的结构特点是按几何相邻反映逻辑相邻几何相邻反映逻辑相邻进行排列。进行排列。n个变量的逻辑函数，由个变

35、量的逻辑函数，由2n个最小项组个最小项组成。卡诺图的变量标注均采用循环码形式，成。卡诺图的变量标注均采用循环码形式，目的目的是使逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻。是使逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻。 二变量卡诺图：它有二变量卡诺图：它有22=4个最小项，因此有四个最小项，因此有四个方格，卡诺图上面和左面的个方格，卡诺图上面和左面的0表示反变量，表示反变量，1表表示原变量，左上方标注变量示原变量，左上方标注变量, 斜线下面为斜线下面为A, 上面为上面为B, 也可以交换也可以交换, 每个小方格对应着一种变量的取值每个小方格对应着一种变量的取值组合组合, 如图如图1.11（a）所示。）所示。

36、Ma Liming Electronic Technique52m1AB0101(a)ABABABABm3m2m0m1AB0101ABABABABm3m2m0三变量卡诺图：有23=8个最小项，图1.11（b）所示。00011110(b)m1AB01ABCABCABCABCm3m2m0ABCABCABCABCm5m7m6m4Ma Liming Electronic Technique5300011110(c)m1ABCDABCDm3m2m0m5m7m6m4m13m15m14m12m9m11m10m800011110ABCDABCDABCDABCD ABCDABCDABCDABCD ABCDABC

37、DABCDABCD ABCDABCDABCD四变量卡诺图：有24=16个最小项，如图1.11（c）所示。 Ma Liming Electronic Technique545. 最小项表达式最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最小项之和的形式，这样的逻辑表达式称为最小小项之和的形式，这样的逻辑表达式称为最小项表达式。项表达式。( , ,)Y A B CABBC例例12: 将逻辑函数将逻辑函数 展开成展开成最小项之和的形式。最小项之和的形式。解解:CBABCBAY),()()(AACBCCABCBACBACABABC也可以写为也可以写为)7 , 6

38、, 5 , 1 (),(1567mmmmmCBAYMa Liming Electronic Technique55 例例13: 将逻辑函数将逻辑函数Y(A, B)=A+B展开成最展开成最小项之和的形式。小项之和的形式。解:BABAY),(BABAAB321mmm(1,2,3)mMa Liming Electronic Technique56 例例14:写出三变量函数写出三变量函数 的最小项表达式。的最小项表达式。BACBAABCBAY),(解解: 利用摩根定律将函数变换为与或表达式，然后展开成利用摩根定律将函数变换为与或表达式，然后展开成最小项之和形式。最小项之和形式。( , ,)Y A B

39、CABABCABBACBAAB)()(CCBACBABAABCABCABCABCBCACBACBA)4 , 3 , 2(mMa Liming Electronic Technique57 1.5.2卡诺图化简逻辑函数卡诺图化简逻辑函数 1. 逻辑函数的卡诺图逻辑函数的卡诺图 (1) 根据逻辑函数的根据逻辑函数的最小项表达式最小项表达式求函数卡诺求函数卡诺图。只要将表达式图。只要将表达式Y中包含的最小项对应的方格中包含的最小项对应的方格内填内填1，没有包含的项填，没有包含的项填0（或不填），就得到函（或不填），就得到函数卡诺图。数卡诺图。 例例15:将例将例13中中Y(A, B)=A+B用卡诺图

40、表示。用卡诺图表示。 解解: (1)将表达式将表达式Y中包含的最小项的形式。中包含的最小项的形式。(2)对应的方格内填对应的方格内填1，如图，如图1.12所示画卡诺图。所示画卡诺图。( ,)Y A BABABABABMa Liming Electronic Technique58图 1.12 例 15 的卡诺图BA1110101Ma Liming Electronic Technique59表表1.12 例例16的真值表的真值表 A B C Y 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0例例16:已知三变量已知

41、三变量Y的真值表如表的真值表如表1.12所示，所示， 画出画出卡诺图。卡诺图。Ma Liming Electronic Technique60图图 1.13 例例16 的卡诺图的卡诺图BCA11100010111110解解 根据真值表直接画出卡诺图如图根据真值表直接画出卡诺图如图1.13所示。所示。Ma Liming Electronic Technique61 例例17:将将 用卡诺图表示。用卡诺图表示。 YBCCDBCDACDACD: 在在A=C=0, D=1 的方格中填的方格中填1，即，即m1, m5。BCD : 在在B=0，C=D=1的方格中填的方格中填1，即，即m3,m11；CD :

42、 在在C=1, D=0 对应的方格中填对应的方格中填1，即，即m2, m6, m10, m14;解解:BC：在：在B=1，C=1对应的方格（无论对应的方格（无论A，D取取何值）得何值）得m6, m7, m14, m15在对应位置填在对应位置填1；Ma Liming Electronic Technique62CDAB11111111110001111000011110图 1.14 例17的卡诺图Ma Liming Electronic Technique63 解解:（1）利用摩根定律去掉非号，）利用摩根定律去掉非号， 直到最后直到最后得到一个与或表达式，即得到一个与或表达式，即:ACCBACA

43、BCBAY),(ACCBACABACCBACBA)(ACCBACBCA （2） 根据与或表达式画出卡诺图，如图根据与或表达式画出卡诺图，如图1.15所示。所示。例例18:将将 卡诺图表示。卡诺图表示。 ( , ,)()Y A B CABCABCACMa Liming Electronic Technique64图 1.15 例 18 的卡诺图BCA111110001111001Ma Liming Electronic Technique65 2. 逻辑函数卡诺图化简法逻辑函数卡诺图化简法(1) 化简依据。化简依据。 利用公式利用公式 将两个最小项合并消去将两个最小项合并消去表现形式不同的变量。

44、表现形式不同的变量。ABABA(2) 合并最小项的规律。合并最小项的规律。 利用卡诺图合并最小项有两种方法：圈利用卡诺图合并最小项有两种方法：圈0得到得到反函数，反函数，圈圈1得到原函数，得到原函数， 通常采用圈通常采用圈1的方法。的方法。 (3) 化简方法。化简方法。 消去不同变量，消去不同变量， 保留相同变量。保留相同变量。 Ma Liming Electronic Technique66 两个相邻项可合并为一项，消去一个表现形式两个相邻项可合并为一项，消去一个表现形式不同的变量，保留相同变量。不同的变量，保留相同变量。 四个相邻项可合并为一项，四个相邻项可合并为一项， 消去两个表现形式消

45、去两个表现形式不同的变量，保留相同变量。不同的变量，保留相同变量。 八个八个(非六个非六个)相邻项可合并为一项，消去三个表相邻项可合并为一项，消去三个表现形式不同的变量，保留相同变量。依次类推，现形式不同的变量，保留相同变量。依次类推，2m个相邻项合并可消去个相邻项合并可消去m个不同变量，个不同变量， 保留相同保留相同变量。如图变量。如图1.16所示为最小项合并的过程。所示为最小项合并的过程。Ma Liming Electronic Technique67图 1.16 最小项合并卡诺图CDAB11110001111000011110CDAB1111111100011110000111101CD

46、AB111111100011110000111101CDAB11111110001111000011110(a)(b)(c)(d)BCDABDBDBDBDCDBMa Liming Electronic Technique68 (4) 读出化简结果的方法。读出化简结果的方法。 一个卡诺圈得到一个与项，一个卡诺圈得到一个与项， 将各个卡诺圈将各个卡诺圈所得的乘积项相或，得到化简后的逻辑表达式。所得的乘积项相或，得到化简后的逻辑表达式。 总结总结: 用卡诺图法化简逻辑函数的步骤。化简步骤如用卡诺图法化简逻辑函数的步骤。化简步骤如下：下： 画出函数的卡诺图。画出函数的卡诺图。 画卡诺圈：画卡诺圈： 按

47、合并最小项的规律，将按合并最小项的规律，将2m个相个相邻项为邻项为1的小方格圈起来。的小方格圈起来。 读出化简结果。读出化简结果。 Ma Liming Electronic Technique69画卡诺圈时应注意：画卡诺圈时应注意： 卡诺圈应按卡诺圈应按2 2n n方格来圈方格来圈; ;圈越大越好，卡诺圈越少越好圈越大越好，卡诺圈越少越好; ;从小圈开始圈起从小圈开始圈起; ;新画的圈中至少有一个新画的圈中至少有一个“1”1”没有被圈过没有被圈过; ; 注意左右相邻注意左右相邻, ,上下相邻上下相邻; ; Ma Liming Electronic Technique70 例 19化简:ABCD

48、DBADBDCBAY),(DCBADCBA1CDAB11111110001111000011110解解:化简步骤如下：化简步骤如下： 函数的卡诺图如图函数的卡诺图如图1.17所所示，示， “0”可以不填。可以不填。 画卡诺圈：画卡诺圈： 如图如图1.17所示所示 按消去不同、按消去不同、 保留相同的保留相同的方法方法,写出逻辑表达式。写出逻辑表达式。YABCDACDABBDMa Liming Electronic Technique71 例 20化简（1） 画出函数的卡诺图, 如图1.18所示。 (2) 按合并最小项的规律可画出三个卡诺圈， 如图1.18所示。 (3) 写出化简后的逻辑表达式。

49、Y(A, B, C, D)= m(0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11)Ma Liming Electronic Technique72图 1.18 例 20 的卡诺图1CDAB111111110001111000011110YACBCBDMa Liming Electronic Technique73解:画函数的卡诺图， 化简过程如图1.19所示。 合并最小项得到的逻辑表达式为:ABCDCACDACBAYCDAB111111110001111000011110例 21:化简Y（A, B, C, D）= m（3, 4, 5, 7, 9, 13, 14, 15）例如，在图1.1

50、9中，m5, m7, m13, m15虽然可画成一个圈，但它的每一个最小项均被别的卡诺圈圈过，因此是多余圈。Ma Liming Electronic Technique74 1.5.3 具有约束项的逻辑函数的化简具有约束项的逻辑函数的化简 1. 约束项约束项 在实际的逻辑问题中，在实际的逻辑问题中， 有些变量的取值是不允有些变量的取值是不允许、不可能、不应该出现的，这些取值对应的最许、不可能、不应该出现的，这些取值对应的最小项称为约束项，时又称为禁止项、无关项、任小项称为约束项，时又称为禁止项、无关项、任意项，在卡诺图或真值表中用意项，在卡诺图或真值表中用或或来表示。来表示。 约束项的输出是任

51、意的，可以认为是约束项的输出是任意的，可以认为是“1”，也可，也可以认为是以认为是“0”。 对于含有约束项的逻辑函数的化对于含有约束项的逻辑函数的化简，简， 如果它对函数化简有利，则认为它是如果它对函数化简有利，则认为它是“1”；反之，则认为它是反之，则认为它是“0”。Ma Liming Electronic Technique75逻辑函数中的约束项表示方法如下：如一个逻辑逻辑函数中的约束项表示方法如下：如一个逻辑函数的约束项是函数的约束项是 、 、 、 ABC, 则可以写成下列等式：则可以写成下列等式： CBACABCBA0ABCCBACABCBA或 d(0, 2, 6, 7)=0Ma Li

52、ming Electronic Technique762. 具有约束项的函数化简具有约束项的函数化简 具有约束项的化简步骤如下：具有约束项的化简步骤如下： 填入具有约束项的函数卡诺图。填入具有约束项的函数卡诺图。 画卡诺圈合并（约束项画卡诺圈合并（约束项“”使结果简化使结果简化看作看作“1”，否则为，否则为“0”）。）。 写出简化结果（消去不同，写出简化结果（消去不同， 保留相同）。保留相同）。Ma Liming Electronic Technique77 例例 22 :已知已知 ，约束，约束条件为条件为 ，求最简的函数表达式。，求最简的函数表达式。YACDACDABCDABCDBD+CD=

53、0A（2） 画卡诺圈，约束项可以为画卡诺圈，约束项可以为“0”或者为或者为“1”。 从卡诺图看，约束项全从卡诺图看，约束项全“1”时得到最简逻辑函数时得到最简逻辑函数表达式及其约束项如下：表达式及其约束项如下：解解:（1） 根据与或表达式和约束条件画卡诺图，根据与或表达式和约束条件画卡诺图，如如1.20所示。所示。Ma Liming Electronic Technique78CABADY0CDBDA（约束条件）图 1.20 例22的卡诺图1CDAB111110001111000011110Ma Liming Electronic Technique79 解解:(1) 根据最小项表达式画卡诺图

54、如图根据最小项表达式画卡诺图如图1.21所所示。示。例例23:已知已知 Y（A, B, C, D）=m（0, 2, 7, 8, 13, 15）+ d(1, 5, 6, 9, 10, 11, 12)求最简的函数表达式。求最简的函数表达式。(2) 画卡诺圈，画卡诺圈， 得到逻辑函数表达式：得到逻辑函数表达式：Ma Liming Electronic Technique801CDAB111110001111000011110图 1.21 例23的卡诺图YBDBD d(1, 5, 6, 9, 10, 11, 12)=0(约束条件)Ma Liming Electronic Technique81 例例

55、24：十字路口的交通信号灯：十字路口的交通信号灯, 红、红、 绿、绿、 黄灯分黄灯分别用别用A、B、C来表示。灯亮用来表示。灯亮用1来表示，灯灭用来表示，灯灭用0来来表示。车辆通行状态用表示。车辆通行状态用Y来表示，停车时来表示，停车时Y为为0，通，通车时车时Y为为1。用卡诺图化简此逻辑函数。用卡诺图化简此逻辑函数。解解: (1) 在实际交通信号灯工作时，在实际交通信号灯工作时， 不可能有两个不可能有两个或两个以上的灯同时亮或两个以上的灯同时亮(灯全灭时灯全灭时, 允许车辆感到安允许车辆感到安全时可以通行全时可以通行)。根据题目要求列出真值表，如表。根据题目要求列出真值表，如表1.22所示。所示。(2) 根据真值表画卡诺图，根据真值表画卡诺图， 如图如图1.23所示。所示。Ma Liming Electronic Technique82表表1.22 例例24的真值表的真值表 A B CY 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 11010Ma Liming Electro