多元函数求极值(拉格朗日乘数法)

1、第八节多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、 求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。教学重点：多元函数极值的求法。教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数z f (x, y)在点(x0，y0)的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于(xo, y0)的点，如果都适合不等式f(x, y) f(x0, y0) ，则称函数f(X,y)在点(x0,y0)有极大值f(x0,y0) 0如果都适合不等式f (x, y)f(x0 , y0 ) ，则称函数f(x,y)在点(

2、X0,y0)有极小值f(X0,y0).极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。22例 1 函数 z 3x 4y 在点(0， 0)处有极小值。因为对于点(0， 0)的任一邻域内异于(0 ， 0) 的点，函数值都为正，而在点(0， 0)处的函数值为零。从22几何上看这是显然的，因为点 ( 0， 0， 0) 是开口朝上的椭圆抛物面z 3x 4y的顶点。例2函数z Vx y在点（0, 0）处有极大值。因为在点（0, 0）处函 数值为零，而对于点（0, 0）的任一邻域内异于（0, 0）的点，函数值都为负， 点（0, 0, 0）是位于xOy平面下方的锥面zvx2 y2的顶点。例3 函数z

3、xy在点（0, 0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在 点（0, 0）处的函数值为零，而在点（0, 0）的任一邻域内，总有使函数值为正 的点，也有使函数值为负的点。定理i （必要条件）设函数z f（x，y）在点（x0，y”具有偏导数，且在点（x0，y。）处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：fx（x0,y0）0, fy（x0,y“0证 不妨设z f（x，y）在点（x0，y0）处有极大值。依极大值的定义，在点（X0,y）的某邻域内异于（x0,y）的点都适合不等式f（x,y） f（x0,y）特殊地，在该邻域内取y y0,而x X0的点，也应适合不等式f（x, y0） f（x0,y）这表明一元函

4、数f（x，y在x x0处取得极大值，因此必有fx（x0,y0）0类似地可证fy(x0,y0)0从几何上看，这时如果曲面z f (x，y)在点(x0,yo，zo)处有切平面，则切平面z z0fx(x0,y0)(x x0) fy(x0, y0)(y y0)成为平行于xOy 坐标面的平面z z0 0 。仿照一元函数，凡是能使fx(x，y) 0，fy(x，y) 0同时成立的点(x0,yo)称为函数 z f (x, y) 的驻点， 从定理 1 可知， 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点(0， 0)是函数z xy 的驻点，但是函数在该点并无极值。怎样判定一个驻点是否

5、是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。定理2 (充分条件)设函数z f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0, y0) 0, fy(x0,y0) 0， 令fxx(x0,y0) A, f xy (x0, y0) B, fyy(x0,y0) C则f(x，y)在(x0，y0)处是否取得极值的条件如下：2(1) AC B 0 时具有极值，且当A 0时有极大值，当A 0时有极小值；2(2) AC B 2 0 时没有极值；2(3) AC B 2 0 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数z f

6、( x, y ) 的极值的求法叙述如下：第一步 解方程组fx (x, y) 0, fy(x, y) 0求得一切实数解，即可以得到一切驻点。第二步 对于每一个驻点(x0，yo) ,求出二阶偏导数的值 A , B和C。第三步 定出 AC B 2的符号，按定理2 的结论判定f (x0, y0) 是否是极值、是极大值还是极小值。3322例1求函数f(x,y) x y 3x3y9x(极值。解 先解方程组2 fx(x, y) 3x 6x 9 0, fy(x, y)3y2 6y 0,求得驻点为(1,0)、(1,2)、(-3,0 )、(-3,2 )。再求出二阶偏导数fxx(x,y) 6x 6, fxy(x,

7、y) 0, fyy(x, y) 6y 6在点 (1,0) 处， AC B2 12 6 0又 A 0，所以函数在(1,0)处有极小值f (1,0)5；2在点 (1,2) 处， AC B 12 ( 6) 0，所以 f (1,2) 不是极值；在点 (-3,0) 处， AC B212 6 0，所以 f (-3,0) 不是极值；2在点(-3,2)处，AC B 12 ( 6) 0又A 0所以函数在(-3,2)处有极大值 f (-3,2)=31 。例2某厂要用铁板作成一个体积为2m的有盖长方体水箱。问当长、宽、 高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。2m解设水箱的长为xm,宽为ym,则其高应为xy ,此水箱所

8、用材料的面积22A 2(xy y x ) xyxy ,2 2、A 2( xy )即x y (x 0, y )可见材料面积A是x和y的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点(X，y)。Ax 2(y 马)0令x ,Ay 2(x 马)0 y解这方程组，得：x V2, y %2从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。二、条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法要找函数z f(x,y) 在附加条件(x, y) 0下的可能极值点，可以先构成辅助函数F (x, y) f (x, y) (x, y)其中为某一常数求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联fx

9、(x,y)x(x, y) 0,fy(x, y)y(x,y) 0,(x, y) 0.( 1)由这方程组解出x, y及，则其中x, y就是函数f(x，y)在附加条件下(x, y) 0 的可能极值点的坐标。这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如，要求函数u f (x, y, z, t)在附加条件(x, y,z,t) 0，(x, y,z,t) 0(2)下的极值，可以先构成辅助函数F(x, y,z,t) f (x, y, z,t) 1 (x,y,z,t)2 (x, y, z,t)其中 12 均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2) 中的两个方程联立起来求解，这样得出的x、y

10、、z、t就是函数f(x,y,z,t)在附加条件(2)下的 可能极值点的坐标。至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。2例 3 求表面积为a 而体积为最大的长方体的体积。解 设长方体的三棱长为x, y, z，则问题就是在条件2(x, y,z,t) 2xy 2yz 2xz a 0(下，求函数V xyz (x 0， y 0， z 0)的最大值。构成辅助函数2F (x, y, z) xyz (2xy 2yz 2xz a )求其对x、y z的偏导数，并使之为零，得到yz2(yz)0xz2(xz)0xy2(yz)0(4)再与 (10) 联立求解。x、 y 、 z 都不等于零，所以由(11) 可得xy x yy=y z, z=x z.由以上两式解得将此代入式（10）,使得6 ax y z= 6这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在， 所以最大值就在2这个可能的极值点处取得。也就是说，表面积为a的长方体中，以棱