平面向量基本定理

1、百度文库-让每个人平等地提升自我平面向量基本定理教学目标1 . 了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平 面内任一向量.（重点）2 .掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义.（难点）3 .两个向量的夹角与两条直线所成的角.（易混点）基础初探教材整理1平面向量基本定理阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题.1 .定理：如果6，是同一平面内的两个不共线向量,那么对 于这一平面内的任意向量。，有且只有一对实数为,A2f使。=2必 +丸2幺.2 .基底：不共线的向量右,叫做表示这一平面内所有向量的 一组基底.判断（正确的打“，错误的打“X”）（1） 一个平面内只有一对不共线

2、的向量可作为表示该平面内所有 向量的基底.（）（2）若白，02是同一平面内两个不共线向量，则九。1+22。2（2， 为实数）可以表示该平面内所有向量.（）（3）若 4。1+加2=虑1+4。2（4，b, c, £R）,则 a=c, =，/.（）解：（1）错误.根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可 以作为该平面内向量的基底.(2)正确.根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由 向量3，G线性表示.错误,当均与以共线时，结论不一定成立.【答案】(1)X (2)V (3)X教材整理2两向量的夹角与垂直阅读教材P94第六行以下至例1内容，完成下列问题.1 .夹角：己知两个非零向量和

3、作ffh=b,则NAOB =6叫做向量。与力的夹角(如图23 1所示).图231(1)范围：向量。与力的夹角的范围是0° WW180。.(2)当6=0。时，a与b同向;当6=180,时，a与b反向.2 .垂直：如果。与力的夹角是90° ,我们说。与垂直，记作°微体验0如图2 3 2,在AABC中，At,前的夹角与A&的夹角的 关系为.图2-3 -2解：根据向量夹角定义可知向量助,冠夹角为N6AC ,而向量CA ,油夹角为TTZBAC .故二者互补.【答案】互补小组合作型用基底表示向量(1)已知AD是ABC的BC边上的中线，若筋=,疣=5,则初=()A. ：

4、(一)D.乙(2)如图23 3,设点P,。是线段A3的三等分点，若殖=防施=b,则汾=, 丽=.(用4，b表示)图233用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则 或平行四边形法则.解：如图所示，因为曲=油+疵=匈),所以助=+ b).（2师二份A5二加+醇=- OA） + OA2 一 1- 21,=OA + OB = w” + 下，22诙=-劭=彳助+/=宇防-O4） + 5AJwX1【答案】(1)D|a+$ 5+下平面向量基本定理的作用以及注意点：(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向 量.用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法 则，进行向

5、量的加减法运算.(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知 向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观 点求出未知向量.再练一题1 .已知ABC中，。为BC的中点，E,厂为BC的三等分点， 若4&=，公=力用，表示AT), AE, AF.图2-3 -4【解】Ab = A + Bb=A + Bt1ZL 、 1 J=。+ 利-Q)= 5 + 效；AE = A + b£ = A6 + g(b . a) = I” +，;AF = A + BF' = A += a+ |(Z> - a) = + 乎.向量的夹角问题例国(1)(2016韶关高

6、一检测)己知向量a, b, c满足lal=l, b =2, c=a+b, c_L，则m 的夹角等于.(2)若 aW, bro,且l4l = l5l = l-Al,求 a 与+b 的夹角.可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决.解：(1)作沈二。,CA=b ,则c=a +5=明(如图所示)，则Q，力夹角为180° - ZC.因为kzl = 7 , b= 2 , C-La ,所以NC = 60° ,所以的夹角为120°.【答案】120°(2)由向量运算的几何意义知 + , a 是以纵b为邻边的平 行四边形两条对角线.如图，=11 = a-b ,&

7、quot;BOA = 60°.又,求= +，且在菱形OACB中,对角线0c平分N3O4 , 与 +的夹角是30°.两向量夹角的实质与求解方法：(1)两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的 不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决.(2)求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个 向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.再练一题2 .已知=族1=2,且Q与的夹角为60° ,则与。的夹 角是, ab与a的夹角是.解：如图所示，0作坊1 = a ,防=，则 ZAOB = 60° XXOA ,OB 为邻边作口 04 CB , 贝！J

8、沅+ 防= + 力，BA = OA - 0 = (1 - b ,.因为 kzl二份I = 2 ,所以046为正三角形，所以N 048 = 60°= ZABC ,即a b与a的夹角为60°.因为=，所以平行四边形OACB为菱形， 所以OCA.AB ,所以NC0A = 90° - 60。= 30。，即。+与。的夹角为30°.【答案】30°60°探究共研型平面向量基本定理的综合应用探究/在向量等式改=入+），仍中，若x+），=l,则三点P、 A、5具有什么样的位置关系？【提示】 三点P、A、B在同一直线上.在向量等式成=xOA + 初中，若

9、x +），= 1 ,则P , A , 3三点共线；若P , A , 3三点共线, 则 x + y = 1.探究2如图2-3-5所示，有点O, A, D, B,以04和OB 为邻边作一平行四边形ADBO,将此平行四边形的各边所在直线延 长，将平面分成9部分，对于平面上任一向量而，存在唯一有序实 数对（x, 丁），使求=工岳1+y防成立. /A / ：D/01 IR/图235对于点C的位置与实数x, y的取值情况需分几种讨论?【提示】需分12种情况.点C与点。重合，贝!Jx = y = 0.点C与点4重合，贝鼠=1 ,），= 0.点C与。重合，则x = y=l.(4)点。与点8重合，则x = 0

10、, y=l.(5)点C在直线04上，贝！Jx£R , y = 0.(6)点C在直线AO上，贝1=1 ,y£R.(7)点 CffiS 线 BO 上，贝！Jx£R,)，二l.(8)点C在直线08上，贝!Jx = O , >ER.点C在直线OD上，则x = y.(10)点C在直线A8上，则x + y= 1.(11)点。在区域上，则x>l ；点C在区域上，则 04<1 ；点C在区域上，则x<0.(12)点C在区域上,则)，<0 ；点C在区域上，则 0<>'<1 ；点C在区域上，则)>1.例图 如图2 36所示，

11、在OAB中，OA=af彷=力，点M 是A5的靠近B的一个三等分点，点N是04的靠近A的一个四等分 点.若OM与BN相交于点P,求5k图236可利用律=1狗1及OP - O'N +种=+ S而两种形式来表示 6 ,并都转化为以Q , b为基底的表达式.根据任一向量基底表示的 唯一性求得S ,t ,进而求得物.解：6k=oa+aM=oa2 f12=OA +- 5%) = 2a + 3因为办与加共线，.t 2,故可设必=tdl二+3b.又种与柿共线，可设种二丽，由二两+ s防二沥+s(防-3办丁）二j（ 1 - s）a + sb ,f3 z 、 t94（ 1 -s） , f,所以j 2解得j

12、 333所以办=办+私.1 .任意一向量基底表示的唯一性的理解：条件一平面内任一向量”和同一平面内两个不共线向量ei , 2条彳牛二a =九01 +162且。二义20+2«2Ml 二石，结论二22 .任意一向量基底表示的唯一性的应用：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平 面内两个不共线向量ei ,。2的线性组合九d+义2。2.在具体求九，九时 有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理.3 2)利用待定系数法，即利用定理中九，4的唯一性列方程组求解.再练一题3.如图237所示，在ABC中，点M是的中点，旦新=：欣;，8N与CM相交于E,设筋=

13、°, AC=b,试用基底。，力表 乙示向量痣.解：易得荻=，Al =a ,由N , E , 5三点共线,设存在实数加,；茜足花-+ (1 - inb + (1 - ni)a.由C,E,M三点共线，设存在实数满足：恁=海法+(1)因 =na + (1 - n)b.所以针出 + (1 - ni)a =于口 + (1 - n)b ,C 11 - m= , 由于Q”为基底，所以(q机=1 - n ,IJr 3 y 21解之得j4所以Al =于+/，构建体系厂I基本定理IT向阳梳基本丽|向景的任底|向吊的一力I1. （2016.黄石高一检测）已知平行四边形ABCD,则下列各组向量中，是该平而内

14、所有向量基底的是（）B. AT), BCC.册,盘D. AB. DA13解：由于祛，殖不共线，所以是一组基底.【答案】D2.已知向量a=e 2e5=2右+«2，其中白，右不共线，则。+b与c=6e一2«2的关系是（B.共线A.不共线D.不确定解:a + 5=3ei - %：.c = 2(a + b),.a+b与c共线.【答案】B3.如图2 3 8,在矩形ABC。中，若反?=50，庆=3e2,则必=()A. 7(5ei+3«2)图2 - 3 - 8B.13«2)C. 5(302-5e)D. 1(523ei)解：ot =+ A&)L乙=；(比 + D

15、'C) - ；(5ei + 3e2).【答案】A4.(2016.福州市八县一中高一联考)己知A, B,。三点共线，且4 _对任一点C,有=彳5+/1彷，贝14=()21A- 3B- 3C.-；D. -|解：A , B ,。三点共线,存在实数，使AT) =,则-CA = r(C - CA),即=CAf 4I 1 - f = Q,1+- CA) = (1 - OCA + tci , BD A = - T. t-k,【答案】c5.己知ei，«2是平面内两个不共线的向量，。=3«2约，b= 2右+«2，c = 7C4。2，试用向量。和b表示c.解：a,b不共线，可

16、设 c =xa +yb ,贝! xa + yb = x(3ci - lei) + y(- 2。1+ ei)=(3x - 2y)g + (- 2x + y)2 = 7g - 4e2.百度文库-让每个人平等地提升自我又g,G不共线，f3x - 2y = 7 ,fx= 1 ,解得I - 2x + y= - 4 ,y= - 2 ,：.c-a - 2b.学业分层测评学业达标一、选择题1. （2016.衡水高一检测）设幻，&是平面内所有向量的一组基底, 则下列四组向量中，不能作为基底的是（）A.。1+。2 和 2B. 3。和 81 8&C. 61+22 和 26+。2D. C和 C +。2

17、解：B 中，高幻 82 2（31 - 42）,- 8。2）（3。1-4f2）,.3。4e?和6。 - 8。2不能作为基底.【答案】B2. （2016.合肥高一检测）如图2 39,向量。一方等于（）图239A. -4。12七B. 1 2g4内C.均一3%D. 3ee?解：不妨令a = C ,贝（45=3魂二明,由平行四边形法则可知BA = e - 3%【答案】C3 .（2016.大连高一检测）如图2-3-10,已知E、F分别是矩形 ABC。的边BC、CO的中点，E/与AC交于点G,若4&=，口力=从 用。、力表示血=（）图2310A. %+%B. %+*3133C甲一十口.甲+心解：易知

18、次=/&,在设花失色，则由平行四边形法则可得芯=仍+ &） = 2/1在+ 2人声，由于E, G ,b三点共线，则 22 + 22=1 ,即2 =",从而芯=CA ,r 3 f 3从而AS =泳? = （“ + b）.【答案】D4 .若。点在三角形ABC的边BC上，且=4协=）届+痴乙 则3r+s的值为（）角翠：.宜二4份=”2+嬴，：.Cb =- (A& - At) = rAB + sA ,444_85 = 5,【答案】c5 .如要6，g是平面a内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是（）A.若实数九,-2,使2/1+2262 = 0'则-=及=0

19、B.空间任一向量可以表示为。=九d+义2。2,其中九，C.对实数21, 42, 4十义2。2不一定在平面。内D.对平面a中的任一向量。，使”=九幻+/12。2的实数九， 有无数对解：选顼B错误,这样的。只能与白，也在同一平面内，不能是 空间任一向量；选项C错误，在平面a内任一向量都可表示为2 +石02的形式，故九ei +石。2 一定在平面a.内；选项D错误，这样的九， 儿是睢一的，而不是有无数对.【答案】A二、填空题6 .已知与力是两个不共线的向量，且向量与一（b-3a） 共线，贝底=.解：由题意可以设a +劝二九（b + 3。）= 3九。-kb ,因为。与力不共线，rC -1l=32i ,所

20、以有土解得彳A= -y【答案】TJ7 .设幻，是平面内一组基向量，且=勾+蚤2, b=-ei+e2, 则向量e/+c2可以表示为另一组基向量，力的线性组合，即e/+c2 解：因为a = ei + 2e2，5=-G + &， 显然。与力不共线， + I导 a + b = 3e2 ,a+b所以二三一代入f导a + b 12ei = C2 - b= § - =于-予,+八上 1 2t a b 2SxW 以 + & = -乎 + § + 3 =丁 一21【答案】和一5三、解答题8.如图23 11,平面内有三个向量醇，防，Ot,其中(5A与防 的夹角为120。，与而的

21、夹角为30。，且1/1 = 1附1=1, I沆1 = 2小，若求=2/+防(2, £2，求入+的值.【导学号006800470 A图2311解：如图，E CO A D以04 ,。8所在射线为邻边QC为对角线作平行四边形ODCE , 贝I求二勘 +无，在直角OCD中，因为1(5& = 2"，NCOO = 30° , AOCD - 90° ,所以1必1=4,121 = 2,故(52) = 4醇，改=2仍，艮D 2=4 ,，=2 ,所以2+ = 6.9.(2016.马鞍山二中期末)如图23 12所示，-BCD中,E, F分别是BC, 0c的中点，BF与DE交于点、G,设Ab=b.图23 - 1219(1)用 a, b 表不。£1；(2)试用向量方法证明：A、G、C三点共线.解:(1)防=恁劭=彳2 +既才力= a + b - b=a -b.(2)证明：连接AC、BD交于O ,J1IJCO = |CA ,. E ,尸分别是BC , DC的中点，：.G是CBO的重心,.-.g& = |c5 = 1xJJ又C为公共点，.A ,