2015数学广东卷(理科)

1、2015数学广东卷(理科)参考公式：样本数据 Xl,x 2,Xn的方差s2=- (x 1-x)2+(x 2-X)2+- +(X n-D2，其中表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,满分40分.在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2015高考广东卷，理1)若集合M=x|(x+4)(x+1)=0,N=x|(x-4)(x-1)=0, 则 MA N等于(D )(A)1,4(B)-1,-4(C)0(D) 一解析：化简集合得M=-4,-1,N=1,4,显然MH N=?,故选D.2.(2015高考广东卷，理2)若复数z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则W等于(A

2、)(A)2-3i(B)2+3i(C)3+2i(D)3-2i解析：因为 i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以 z=2+3i,所以?二2-3i,故选A.3.(2015高考广东卷，理3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(D )c1(A)y=(B)y=x+ -jt(C)y=2 x+-(D)y=x+ex解析：易知y=>'l +螃与y=2x*是偶函数,y=x+ ；是奇函数，故选D.S4 .(2015高考广东卷，理4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为(B )(A)(B)-(C)-(

3、D)1Z1 2121解析：从15个球中任取2个球，取法共有续种，其中恰有1个白球,1个红球的取法有 *X*种，所以所求概率为P您§,故选B. 验215 .(2015高考广东卷，理5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是(A )(A)2x+y+5=0 或 2x+y-5=0(B)2x+y+ 4=0 或 2x+y-、g=0(C)2x-y+5=0 或 2x-y-5=0(D)2x-y+ 6=0 或 2x-y-怖=0解析：切线平行于直线2x+y+1=0，故可设切线方程为2x+y+c=0(c半1),结合题意可得曰='解得c=± 5.故选A. 喟4x4-

4、5y >8*6 .(2015高考广东卷，理6)若变量x,y满足约束条件则z=3x+2y的最小值为(B )(A)4(B)(C)6(D)-R解析：由约束条件画出可行域如图MO由 z=3x+2y 得 y=-：x+二, 易知目标函数在直线4x+5y=8与x=1的交点A（1,1）处取得最小值，故Zmin=,故选 B.7.（2015高考广东卷，理7）已知双曲线C:id=1的离心率e=,且其右 也V4焦点为F2（5,0）,则双曲线C的方程为（C ）J JJ(A).=1(B) (C) =1(D) - 二116 93 4解析：由已知得X解得二,1c = 5/（口= 4,故b=3,从而所求的双曲线方程为 匚

5、匚=1,故选C.16 98.（2015高考广东卷，理8）若空间中n个不同的点两两距离都相等则正整数n的取值（B ）（A）至多等于3 （B）至多等于4（C）等于5（D）大于5解析：首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等，于是可以排除C,D.又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等 ，于是 排除A,故选B.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满 分30分.（一）必做题（913题）9.（2015高考广东卷，理9）在（、区-1）4的展开式中，x的系数 为._ 4 rrr一人解析：（&-1） 4 的展开式通项为 Tr+i=C：（Vi） （-1） r=（-1） r

6、C； 灯 ,令 弓=1，得r=2,从而x的系数为域（-1） 2=6.2答案：610 .（2015高考广东卷,理10）在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=25, 贝 U a2+a8=.解析：利用等差数列的性质可得a3+a7=a4+a6=2a5,从而 23+&+注+8+&=58=25,故 a5=5,所以a+a=28=10.答案:1011 .（2015高考广东卷，理11）设4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 右 a=、3,sin B= -,C=-,贝U b=.16解析：在 ABC中，由sin B= 1可得8=或B=结合C=可知B=.从而 26 L 66A=

7、兀,利用正弦定理=,可得b=1.3sinJ 侬答案：112 .(2015高考广东卷，理12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言.(用数字作答)解析：因为同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，且全班共有40人，所以全班共写了 40X 39=1560(条)毕业留言.答案:156013 .(2015高考广东卷，理13)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若 E(X)=30,D(X)=20,则 p=.解析：因为XB(n,p),所以E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得 n=90,p=二.答案： 3(二)选做题(1415题,

8、考生只能从中选做一题)14 .(2015高考广东卷，理14)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2 P sin( 02)=。,点A的极坐标为A(2M=),则点A44到直线l的距离为.It解析：将直线l的极坐标方程2psin（ 0）=於化为直角坐标方程为4 x-y+1=0.由A（2也,乙）得A点的直角坐标为（2,-2）,从而点A到直线l的距离d= '三3 A a答案： 215 .（2015高考广东卷，理15）（几何证明选讲选做题）如图，已知AB是 圆O的直径,AB=4,EC是圆。的切线，切点为C,BC=1.过圆心。作BC的 平行线，分别交EC和AC于点D和点P,则OD=.解

9、析：易得AC='42-l2=i5,由OP/ BC,且O为AB的中点可知CP=AC二, 、32OP=BC=, /APOM ACB=90 .所以/ CPD=90 . 22因为EC是切线，所以/ DCPM B,CP M从而 CPS BCA 故一, 3l AC所以 DP=".故 OD=DP+OP+=8. 21 2答案:8三、解答题:本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明 过程和演算步骤.16 .（本小题满分12分）（2015高考广东卷，理16）在平面直角坐标系 xOy中，已知向量m=（f,- 7），n=（sin x，cos x），x （明.211 2/（1）若ml n,

10、求tan x的值；若m与n的夹角为二求x的值.3解:（1） 因为 ml n,所以 m- nsin x- -cos x=0.21即 sin x=cos x, 又 x 6 （0,-）,所以 tan x= =1.2 CDS1 易求得 |m|二1,|n|= Vsin2x + cos:x=1.因为m与n的夹角为、 a所以 cos-=.3 HN 1X1M 微的 z 入：sin x -cos x=sin（x-）=-.124 2又因为x （0,-）,所以x-6 （- ：）.I 44 4所以x-解得x二 i 6 鳌17 .（本小题满分12分）（2015高考广东卷，理17）某工厂36名工人的年龄数据如下表.工人编

11、号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值评口方差s2;(3)36名工人中年龄在s与Hs之间有多少人？所占的百分比是多少？(精确到0.01%)?解：(1)由系统抽样知识知，将36名工

12、人分为9组(4人一组)，每组抽 取一名工人.因为在第一分段里抽到的是年龄为 44的工人，即编号为2的工人，故 所抽样本的年龄数据为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)均值彳=445T例3+36+37+4邮锄 _ =40;方差 s2=- X (44-40) 2+(40-40) 2+(36-40) 2+(43-40) 2+(36-40) 2+(37-40)2+(44-40) 2+(43-40) 2+(37-40) 2=. 由(2)可知s=±.由题意，年龄在片 与产s之间，即在区间37,43 3内的工人共有23人，所占的百分比为-X100%63.89%.拓18 .(

13、本小题满分14分)(2015高考广东卷，理18)如图，三角形PDCf在的平面与长方形 ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3点E是CD边的中点，点F,G分另U在线段 AB,BC上，且 AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PELFG;(2)求二面角P-AD-C的正切值；求直线PA与直线FG所成角的余弦值.(1)证明：因为PD=PC点E为DC中点，所以PEI DC.又因为平面PDCL平面ABCD,平面PD3平面ABCD=DC,所以PE1平面ABCD.又FG?平面ABCD所以PE! FG.解：由(1)可知PEJ_AD.因为四边形ABC的长方形，所以AD! DC.又因为PEA

14、DC=E所以ACL平面PDC.而PD?平面PDC所以ADL PD.由二面角的平面角的定义可知/ PD二面角P-AD-C的一个平面角. 在 RtPDE中,PE= PDDER,所以 tan / PDC=E.DE 3从而二面角P-AD-C的正切值为工3解:连接AC.因为些上二， AB 8C 3所以 FG/ AC.易求得 AC=3-,PA=二-一- =5.所以直线PAW直线FG所成角等于直线PA与直线A喇成角，即/ PAC,在 PAB ,cos Z PAC鬻孝拶所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为三19 .(本小题满分14分)(2015 高考广东卷，理 19)设 a>1,函数 f(x)=(1+

15、x 2)ex-a.求f(x)的单调区间； 证明:f(x)在(-s,+ s)上仅有一个零点； 若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m,n)处的切线与直线O呼行(O是坐标原点)，证明:mw-1.解：函数f(x)的定义域为R.因为 f' (x)=2x - ex+(1+x2)ex=(x 2+2x+1)ex=(x+1) 2ex>0,所以函数f(x)在R上单调递增，即f(x)的单调递增区间为(- oo,+ 00), 无单调递减区间.(2)证明：因为 a>1,所以 f(0)=1-a<0,f(lna)=(1+ln 2a)eln a-a=aln 2a>0,所以

16、f(0) f(ln a)<0,由零点存在性定理可知f(x)在(0,ln a)内存在零点.又由(1)知f(x)在R上单调递增，故f(x)在(-s,+ s)上仅有一个零点.(3)证明：设点P(x0,y 0),由题意知,2f (x 0)=(x 0+1)：初=0,解得X0=-1.所以 y0=(1+ -)静-a=-a,所以点P的坐标为(-1, ；-a).自所以 kop=a-.由题意可得 f' (m)=(m+1)2em=a-.要证明me 我-1,只需要证明m+K 网,只需要证明(m+1)3< a-=(m+1)2em,自只需要证明m+K em.构造函数:h(x)=e x-x-1(x R)

17、,则 h' (x)=e x-1.当x<0时,h ' (x)<0,即h(x)在(-8,0)上单调递减;当x>0时,h ' (x)>0,即h(x)在(0,+ s)上单调递增；所以函数h(x)有最小值，为h(0)=0,则h(x) >0.所以ex-x-1 A0,故em-m-1 >0,即m+K e故原不等式成立.20.(本小题满分14分)(2015高考广东卷，理20)已知过原点的动直线l与圆G:x 2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆。的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k,使得直线L:y=

18、k(x-4)与曲线C只有一个交点？若 存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.解：(1)由题意知：圆Ci方程为：(x3)2+y2=4圆G的圆心坐标为(3,0)(2)由图可知，令 M(x1,y)|OM |= x2 y12,|GM |=国-3)2 y22221 |OC1 I2 =|OM 121clM |2222223 =x1 y1 (X1 -3) y(X1 -|)2 y2直线L与圆G交于A、B两点直线L与圆C1的距离：0 4dM24<X /.V - 9 - 4 +,0 <(x1 -3)2 y2 ：:42.0 <(xi -3)2.-：xi .333 00 95二轨迹C的万程为：

19、(x -)+y =- xw(,3 243(3)直线L: y-与曲线(x.2)2+y2=4仅有1个交点y=k(x-4)联立方程：33 22 9，xw(三,3(x-2)y =43得：(k2 +1)x2 (8k2 +3)x+16k2 =0,在区间(5,3有且仅有 1 个解3当.=(8k2 3)2-64k2(k2+1) = 0时，k = 43此时，x="w (5,3,仅有一个交点，符合题意 53当.-一0时，令 g(x)=(k2 1)x2 -(8k2 3)x 16k2则有:解得:5 , g(3)Lg(3)<0."的取值范围为：3差乎或k巡 21.(本小题满分14分) (201

20、5 高考广东卷,理 21)数歹！Jan满足:a+2a+nan=4-f,n N.(1)求a3的值;(2)求数列a n的前n项和Tn;"v b1=a1,bn+(1+:+:+ - +)an(n >2),证明：数列bn的前 n 项和 n 2 3 aS 满足 Sn<2+2ln n.(1)解：当 n=1 时,a 1=1;当 n=2 时,a 1+2&=2,解得a2=;11T当 n=3 时,a i+2a2+3a3=-,解得 a3M. 44(2)解：当 nA2 时,a i+2a2+(n-1)a n-i+nan=4-二，a1+2a2+(n-1)a n-i =4-T,(2由-得 nan=i，所以 an=-；(n A2),经检验,a i=1也适合上式，所以an=(n Nl).所以数列an是以1为首项，；为公比的等比数列. f凶1不；1所以 Tn=2- -叼 2(3)证明:b i=1,b n=二-二 +(1+-+-+- 管k *2 3 相当 n=1 时,Si=1<2+2ln 1.当 n>2 0(*,b n=+(1+-+-+,+-) , an<1 3ft= +(1+-+-+-) , (T n-T n-1 )ft2 3 m1、T J