平面与平面垂直的判定说课稿教案教学设计

1、平面与平面垂直的判定整体设计教学分析在空间平而与平而之间的位宜关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较 多，而且是空间问题平而化的典范空间中平而与平而垂直的立义是通过二而角给出的，二 而角是髙考中的重点和难点.使学生掌握两个平而互相垂直的判左，提高学生空间想象能力, 提高等价转化思想渗透的意识，进一步提髙学生分析问题、解决问题的能力；使学生学会多 角度分析、思考问题，培养学生的创新精神.三维目标1. 探究平而与平而垂直的判立定理，二而角的左义及应用，培养学生的归纳能力.2. 掌握平而与平而垂直的判泄定理的应用，培养学生的空间想象能力3. 引导学生总结求二面角的方法,培养学生归纳问题的

2、能力 貳点难点教学重点:平面与平面垂直判泄. 教学难点:平面与平而垂直判定和求二面角.课时安排1课时教学过程两平而的位置关系：（1）如果两个平而没有公共点，则两平而平行O若« =0,则 B.（2）如果两个平而有一条公共直线，则两平而相交O若« CB二AB,则与B相交. 两平面平行与相交的图形表示如图1.导入新课思路1.（情境导入）为了解决实际问题，人们需要研究两个平而所成的角修筑水坝时，为了使水坝坚固耐 用必须使水坝而与水平而成适当的角度：发射人造地球卫星时，使卫星轨道平而与地球赤道 平面成一定的角度.为此，我们引入二面角的概念，研究两个平而所成的角.思路2.（直接导入）前

3、边举过门和墙所在平而的关系，随着门的开启，苴所在平而与墙所在平面的相交程度 在变，怎样描述这种变化呢？今天我们一起来探究两个平而所成角问题 推进新课 新知探究 提出问题 二而角的有关概念、画法及表示方法. 二而角的平而角的概念. 两个平而垂直的定义. 用三种语言描述平而与平而垂直的判定定理，并给岀证明. 应用而而垂直的判定宦理难点在哪里？讨论结果：二面角的有关概念.二而角的泄义：从一条直线岀发的两个半平而所组成的图形叫做二面角这条直线叫二而角 的棱，这两个半平而叫二而角的面.二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图2 （教师和学生共同动手）.直立式：平卧式：10二而角的表示方法：如图3中，棱为A

4、B,而为a、B的二而角，记作二而角« -AB- . 有时为了方便也可在u、B内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二而角记作 二面角 P-AB-Q.如果棱为1,则这个二面角记作al或P1Q 二而角的平面角的概念.如图4,在二而角al的棱上任取点0,以0为垂足，在半平面«和内分别作垂直 于棱的射线OA和0B,则射线OA和OB组成ZAOB.再取棱上另一点0',在CI和B内分别作1的垂线0' Ar和0' B',则它们组成角 ZA, 0, B'.因为0A"0' A, ,OB（/ B',所以ZAOB及ZA

5、9; 0' B'的两边分别平行且方向相同， 即ZAOB=ZAz Or Bz .从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关.由此结果引岀二面角的平而角槪念：以二而角的棱上任意一点为端点，在两个而内分别 作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平而角.图中的ZAOBI ZA, 0' B'都是二而角al的平而角. 直二而角的定义.二而角的大小可以用它的平而角来度量，二而角的平而角是多少度，就说二而角是多少 度平而角是直角的二面角叫做直二而角.教室的墙面与地面,一个正方体中每相邻的两个而、课桌的侧而与地面都是互相垂直的.两个平面

6、互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所 成的角为直角来泄义，二而角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角.两个平面互相垂直的能义可表述为：如果两个相交平而所成的二而角为直二面角，那么这两个平而互相垂宜.直二而角的画法：如图5 两个平而垂直的判泄左理如果一个平而经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平而互相垂直.、两个平面垂直的判能泄理符号表述为：A"丄0 =>丄BA3 u a证明如下：已知 AB 丄 B, ABCB=B, ABU U .求证：a丄B .分析：要证a丄B,需证a和B构成的二而角是直二面角，而要证明一个二面角是直二而 角，需找到

7、其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.证明：设UCB二CD,则由ABUj知AB. CD共而.VAB± , CD , AB丄CD,垂足为点 B.在平面内过点B作直线BE丄CD,则ZABE是二面角a CD B的平面角.又AB丄BE,即二而角aCD是直二而角， a丄0 应用而而垂直的判定定理难点在于：在一个平而内找到另一个平面的垂线，即要证面而垂 直转化为证线线垂直.应用示例思路1例1如图7, 00在平面a内，AB是OO的直径，PAda, C为圆周上不同于A、B的任意 一点图7求证：平而PAC丄平面PBC.证明：设G)O所在平而为a,由已知条件，PA丄a,BCua,.PA丄BC.

8、 VC为圆周上不同于A、B的任意一点,AB是(Do的直径， BCdAC.又TPA与AC是APAC所在平而内的两条相交直线，BC丄平而PACTBCu平而PBC, 平面PAC丄平而PBC. 变式训练如图8,把等腰RtABC沿斜边AB旋转至ZXABD的位置，使CD二AC,（1）求证：平而ABD丄平而ABC：（2）求二而角CBDA的余弦值.（1）证明：由题设，知AD二CD二BD,作Do丄平面ABC, 0为垂足，则OA=OB=OC0是AABC的外心，即AB的中点.OAB> 即 OEl求证:平而PBD丄平面PAC；JfiiABD.0Du 平而 ABD.平而ABD丄平而ABC.（2）解:取BD的中点E

9、,连接CE、OE、OC,VBCD为正三角形，CE丄BD.又ABOD为等腰直角三角形，0E±BD.ZOEC为二面角CBDA的平而角.同（1）可证OC丄平面ABD.0C丄0E. COE为直角三角形31OE3设 BCp,贝JCE=-, OE=-a , ACOSZOEC=22CE3点评：欲证而面垂直关键在于在一个平而内找到另一个平而的垂线.例2如图9所示，河堤斜而与水平而所成二而角为60° ,堤而上有一条直道CD,它与堤 角的水平线AB的夹角为30° ,沿这条直道从堤脚向上行走到IOln时人升高了多少？（精 确到0. 1 m）解：取CD上一点E,设CE=IOnh过点E作直

10、线AB所在的水平而的垂线EG,垂足为G,则 线段EG的长就是所求的髙度.在河堤斜而内，作EF丄AB,垂足为F,并连接FG,则FG丄AB,即ZEFG就是河堤斜而与水平而ABG所成二面角的平面角，(m) 答：沿直道行上到10 In时人升高约4. 3 m.变式训练已知二面角 ABB 等于 45° , CDU , DAB, ZCDB=45° 求CD与平面所成的角.解：如图10,作CO丄B交于点0,连接D0,则ZCDO为De与所成的角.图10过点0作OE丄AB于E,连接CE,则CElAB ZCE；0为二面角a AB B的平面角,即 ZCEO=45° 2设 CDP 则 CE=

11、 a , TCO 丄 0E, OC二0E,21 CO1C0=-rt .TCOdDO, AsinZCDO=一2 CD 2 ZCDO=30° ,即 DC 与 B 成 30° 角.点评：二而角是本节的另一个重点，作二而角的平而角最常用的方法是：在一个半平而O 内找一点C,作期一个半平而的垂线，垂足为0,然后通过垂足0作棱AB的垂线，垂足为 E,连接AE,则ZCEO为二而角a-AB-的平而角.这一过程要求学生熟记.思路2例 1 如图 11, ABCD 是菱形，PA丄平而 ABCD, PA=AD=2, ZBAD二60° 点A到平而PBD的距离为 岂丄.(3) 解：作AF丄P

12、B于点F,连接EF, TAE丄平而 PBD, AEIPB PB丄平而 AEF, PBdEF. ZAFE为二面角APBD的平而角.*7 /71在 RtAEF 中，AE=, AF= y2,7AsinZAFE=二而角APBD的余弦值为77变式训练(1)(2)(3)如图12, PA丄矩形ABCD所在平而，M、N分别是AB、PC的中点. 求证：MN平而PAD；求证：MN丄CD：若二面角PDCA=45°证明：如图13所示，（1）取PD的中点Q,连接AQ、NQ,则QNE丄DC,山座丄DC,2 2 QNAM 四边形AMNQ是平行四边形MN7AQ 又TMN<Z平而 PAD, AQU 平面 PAD

13、-IMN平面 PAD.(2) TPA丄平而 ABCD, PA丄CD.又TCD丄AD, PAnAD=A, /.CD丄平面 PAD.又TAQu 平而 PAD, CD丄AQ.又 VAQ/7 MN, 丄 CD.(3) 由(2)知，CD丄平而PAD, CD丄AD, CDdPD. ZPDA是二而角PDCA的平而角 ZPDA=45°又TPA丄平面 ABCD, PA丄ADAQ丄PD.又.3fN7AQ, MN 丄 CD.又TMN丄PD, MN丄平IffiPDC.例2如图14,已知直四棱柱ABCD-AiB1C1Di的底而是菱形，且ZDAB二60° , XW=AA1, F为棱BBL的中点,M为线

14、段AG的中点(1) 求证：直线MF平而ABCD：(2) 求证：平而AFG丄平而ACC1A1:(3) 求平面AFG与平ABCD所成二而角的大小.(1) 证明：延长GF交CB的延长线于点N,连接AN.F是BB冷勺中点，F为ClN的中点,B为CN的中点又M是线段AG的中点，故MF/7 AN.又 VMFa 平而 ABCD, ANU 平面 ABCD,MF平而 ABCD.(2) 证明：连接BD,由直四棱柱ABCD-AlBIClD1,可知AA,丄平面ABCD,又TBDu 平而 ABCD, .AiA丄BD.四边形ABCD为菱形，AC丄BD.又 IAC AiA=A, AC、A：A U 平而 ACCIABD丄平而

15、 ACC1A1.在四边形DANB中，DABN且DA二B4四边形DANB为平行四边形.故 NABD, NA丄平面 ACCIAI又TNAu平而AFCb平而AFG丄平而ACC1Ai.(3) 解：由(2),知 BD丄平面 ACGA,又 AGU 平而 ACC1A1, 'BD丄AGVBDNA, AG丄NA.又由BD丄AC,可知NA丄AC,. ZClAC就是平面AFG与平而ABCD所成二而角的平面角或补角.C C 1在 RtC1AC 中，tanZC1AC=-=故ZCIAC=30° CA 3平而AFG与平 ABCD所成二而角的大小为30°或150°变式训练如图15所示,在

16、四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形侧而SDC丄底而ABCD,且AB=2,SC=SD=2(1)求证：平W SAD丄平面SBC：(2)设BC=x, BD与平而SBC所成的角为S 求Sina的取值范風(1) 证明：在 ASDC 中，V SC=SD= 2 , CD=AB=2, ZDSC=90° ,即 DSlSC底而ABCD是矩形，BC丄CD.又Y平而SDC丄平而ABCD, BC丄而SDC.DS 丄 BC. ADS 丄平面 SBC.VDS平而SAD, 平面SAD丄平而SBC.(2) 解：由(1),知DS丄平而SBC, ASB是DB在平而SBC ±的射影. ZDBS就是BD与平面

17、SBC所成的角，即ZDBS= .HQ那么Sina=.DB BC=x, CD=2 =>DB二 4 + X2由 OVXV+8,得 OVSina < 2知能训练课本本节练习.拓展提升如图16,在四棱锥P-ABCD中，侧而PAD是正三角形，且与底而ABCD垂直，底而ABCD 是边长为2的菱形，ZBAD二60° , N是PB中点，过A、D、N三点的平而交PC于M, E为AD 的中点(1) 求证：EN平面PCD；(2) 求证：平而PBC丄平而ADMN：(3) 求平面PAB与平而ABCD所成二而角的正切值.(1)证明：V ADBC, BC U 而 PBC, AD(Z 面 PBC,AD而

18、 PBC.又而 ADMel 而 PBC二MN,ADMNMN"BC点M为PC的中点MnW-BC.2又E为AD的中点，四边形DENM为平行四边形ENDMEN而 PDC.(2)证明：连接PE、BE, V四边形ABCD为边长为2的菱形，且ZBAD二60° , BEdAD.又TPE丄AD, AAD丄面 PBE. AAD丄PB.又VPA=AB且N为PB的中点，AN丄PB. /.PB丄而 ADMN.平而PBC丄平而ADMN(3) 解：作 EF丄AB,连接 PF, TPE丄平 ABCD, AB丄PF. ZPFE就是平而PAB与平而ABCD所成二而角的平而角又在RtAEB中,BE=TL AE=I, AB=2, AEF=又 VPE=3 , AtanZPFE=- = i=2,EF 32即平面PAB与平而ABCD所成的二而角的正切值为2. 课堂小结（2）求点A到平而PBD的