卡方检验 (1)

1、第六章第六章 2 检检 验验 一、一、 2分布的定义分布的定义 2分布是从正态分布派生出来的一个连续型分布，与正分布是从正态分布派生出来的一个连续型分布，与正态分布和态分布和t分布关系密切。下面的定理清楚地表明了其间的关分布关系密切。下面的定理清楚地表明了其间的关系。系。定理定理1： 设设Z1,., Zn 是是n 个独立的标准正态变量个独立的标准正态变量N(0 1), 则其平方和则其平方和服从自由度为服从自由度为n的的 2 分布。分布。推论推论1： 标准正态变量标准正态变量Z的平方服从自由度为的平方服从自由度为1的的 2 分分布。即：布。即：Z2 = 2 (1) 在定理中令在定理中令n=1 即

2、得此推论即得此推论。)(2 2 21nnZZ 二、二、 2 2分布的性质分布的性质1 1、 2 2 分布的概率密度函数分布的概率密度函数f(f( 2 2 , , ) )的图形见下图。的图形见下图。 特点：特点： （1 1） 自由度自由度 越大，曲线越趋近于对称；越大，曲线越趋近于对称； （2 2） 当自由度当自由度， 2 2 分布趋向正态分布。分布趋向正态分布。2 2、若、若 2 2 , ,则则 E(X)= E(X)= , , Var(XVar(X)=2)=2 3 3、 2 2 分布具有可加性。分布具有可加性。 若若 X X1 1 2 2 X X2 2 2 2 ， 且且 X X1 1 与与 X

3、 X2 2 独立，独立， 则（则（X X1 1+X+X2 2） 2 2 检验的基本思想检验的基本思想 以两样本率比较的检验为例，介绍以两样本率比较的检验为例，介绍 检验的基本思检验的基本思想。想。 分布是一种连续型分布分布是一种连续型分布 分布的形状依赖于自由分布的形状依赖于自由度的大小，度的大小， 当自由度当自由度22时，曲线呈时，曲线呈L L型；随着的增加，曲线逐渐型；随着的增加，曲线逐渐趋于对称；趋于对称； 当自由度当自由度时时, , 分布趋向正态分布。分布趋向正态分布。 分布的具分布的具有可加性。有可加性。22222完全随机设计两样本率比较的四格表完全随机设计两样本率比较的四格表处理处

4、理属性属性 合计合计阳性阳性阴性阴性1 1A A1111(T(T1111) )A A1212(T(T1212) )n n1 1（固定值）（固定值）2 2A A2121(T(T2121) )A A2222(T(T2222) )n n2 2（固定值）（固定值）合计合计m m1 1m m2 2n n有时为方便用有时为方便用a a、b b、c c、d d分别为四格表中四个实际频分别为四格表中四个实际频数数22211211AAAA、 1.1.独立性假设与理论频数计算独立性假设与理论频数计算 在对在对2 2 2 2表作统计处理之前，通常都有一个笼统的检表作统计处理之前，通常都有一个笼统的检验假设，即属性验

5、假设，即属性A A与与B B 相互独立。为便于理解这个独立性假相互独立。为便于理解这个独立性假设，不妨给上表赋予实际内容。以研究吸烟与肺癌的关系设，不妨给上表赋予实际内容。以研究吸烟与肺癌的关系为例，设为例，设 A A 代表代表“吸烟与否吸烟与否”， A A1 1=“=“吸烟吸烟”， A A2 2=“=“不吸不吸烟烟”， B B 代表代表“患肺癌与否患肺癌与否”，B B1 1=“=“患肺癌患肺癌”, B, B2 2=“=“未患肺未患肺癌癌”。于是，于是，A A与与B B 相互独立，就意味着吸烟与肺癌无关联。相互独立，就意味着吸烟与肺癌无关联。 吸烟与不吸烟患者患肺癌的概率应当相等，吸烟与不吸烟

6、患者患肺癌的概率应当相等， 即即 P(BP(B1 1/A/A1 1)= P(B)= P(B1 1/A/A2 2)=P(B)=P(B1 1)=a+c/n)=a+c/n 而而 吸烟者出现的概率吸烟者出现的概率 P(AP(A1 1)= a+b/n, )= a+b/n, 不吸烟者出现的概率不吸烟者出现的概率 P(AP(A2 2)= c+d/n,)= c+d/n, 故故 吸烟者同时患有肺癌的概率为：吸烟者同时患有肺癌的概率为： P(AP(A1 1 B B1 1)= P(A)= P(A1 1) P(B) P(B1 1/ A/ A1 1) )公式公式 P(AP(A1 1 B B1 1)= P(A)= P(A

7、1 1) P(B) P(B1 1)=(a+b)/n)=(a+b)/n(a+c)/n(a+c)/n 故在前述独立性假设检验的前提下，与观察频数故在前述独立性假设检验的前提下，与观察频数a a对应对应的理论频数为：的理论频数为： 式中式中T TRCRC为第为第R R（rowrow）行、第）行、第C C（columncolumn）列的理论频）列的理论频数数, ,n nR R为相应行的合计，为相应行的合计，n nc c为相应列的合计，为相应列的合计，n n为总例数为总例数. .ncabaBAnPT)()(1111nnnTCRRC.l基本公式基本公式( (亦称亦称Pearson ) Pearson )

8、TTA22)(2 RiCjijijijTTO1122 值反映了实际频数与理论频数的吻合程度，其中值反映了实际频数与理论频数的吻合程度，其中 反映了某个格子实际频数与理论频数的吻合程反映了某个格子实际频数与理论频数的吻合程度。若检验假设度。若检验假设 成立，实际频数与理论频数的差值小，成立，实际频数与理论频数的差值小，则则 值也会小；反之，若检验假设不成立，实际频数与理值也会小；反之，若检验假设不成立，实际频数与理论频数的差值会大，则论频数的差值会大，则 值也会大。值也会大。 值的大小还取决于值的大小还取决于个数的多少（严格地说是自由度的大小）。个数的多少（严格地说是自由度的大小）。2TTA2)

9、(0H222 K.Pearson (1899) K.Pearson (1899)提出的拟合优度检验是用来检验提出的拟合优度检验是用来检验实际观察数于依照某种假设或模型计算出来的理论数之实际观察数于依照某种假设或模型计算出来的理论数之间的一致性，以便判断该假设或模型是否与观察数相配间的一致性，以便判断该假设或模型是否与观察数相配合。合。 包括两种类型：包括两种类型： 1 1、检验观察数与理论数之间的一致性。、检验观察数与理论数之间的一致性。 2 2、通过检验观测数与理论数之间的一致性来判断、通过检验观测数与理论数之间的一致性来判断 事物之间的独立性。事物之间的独立性。 Pearson Pears

10、on 拟合优度拟合优度（goodness of fit test goodness of fit test ） 2 2 检验检验 05. 0p 由于各由于各 皆是正值，故自由度愈大，皆是正值，故自由度愈大， 值也会愈大；值也会愈大；所以只有考虑了自由度的影响，所以只有考虑了自由度的影响， 值才能正确地反映实值才能正确地反映实际频数和理论频数的吻合程度。际频数和理论频数的吻合程度。 检验时，要根据自由检验时，要根据自由度查界值表。当度查界值表。当 时，时， 拒绝拒绝 ，接受，接受 ；当当 ， 时，尚没有理由拒绝时，尚没有理由拒绝 。2222222,2,05. 0p0H1H0H 检验的自由度取决于

11、可以自由取值的格子数目，检验的自由度取决于可以自由取值的格子数目，而不是样本含量而不是样本含量n n。四格表资料只有两行两列，自由。四格表资料只有两行两列，自由度度( (dfdf)=1)=1，即在周边合计数固定的情况下，即在周边合计数固定的情况下，4 4个基本个基本数据当中只有一个可以自由取值数据当中只有一个可以自由取值. . 自由度自由度=(=(行数行数-1)(-1)(列数列数-1) -1) 自由度自由度 22 表的计算表的计算 (1) 当当n 40, Tij 5的条件下的条件下 可用下列简化公式可用下列简化公式2(1) 四格表四格表 检验检验 1 ,2)(2dbcadcbabcadn 例例

12、1 工农业高血压患病率的比较工农业高血压患病率的比较(50岁以上男性岁以上男性)，首钢调查首钢调查50-59岁男性工人岁男性工人1281人、高血压患者人、高血压患者386人，患病率为人，患病率为30.13%。石景山区农民。石景山区农民387人，血压人，血压血患者血患者65人，患病率为人，患病率为16.80%，从事工农业生产的，从事工农业生产的男性患病率有无差别。男性患病率有无差别。50-59 岁男性工人与农民高血压患病比较岁男性工人与农民高血压患病比较 患高血压人数患高血压人数未患人数未患人数 合合 计计首钢工人首钢工人 3868951281石景山区农民石景山区农民65322387合合 计计4

13、5112171668解：解： 建立检验假设建立检验假设 H0：1 =2 (工人与农民的总体患病率相同工人与农民的总体患病率相同) =0.05估计总体某现象的发生或存在的概率，假定高血压的估计总体某现象的发生或存在的概率，假定高血压的发生和这两种工种众彼此独立无关，因此，这两组资发生和这两种工种众彼此独立无关，因此，这两组资料是一总体中的两个随机样本，估计料是一总体中的两个随机样本，估计 总体患病率总体患病率= 451/1668 =0.2704 未患率未患率= 1217/1668=0.7296 50-59 岁男性工人与农民高血压患病比较岁男性工人与农民高血压患病比较患高血压人数患高血压人数患高血

14、压人数患高血压人数 合合 计计观察数观察数理论数理论数观察数观察数理论数理论数首钢工人首钢工人386346.4895934.61281石景山区农民石景山区农民65104.6322282.4387合计合计451451121712171668 计算检验统计量计算检验统计量 2 值值 查查 2 分布界值表，作出统计结论。分布界值表，作出统计结论。 d.f = (r-1)(c-1)=1； 故按故按 p0.01 水准拒绝水准拒绝Ho 接受接受H1 。 结合具体问题作出专业结论：不同职业的高血压患病率极显著意结合具体问题作出专业结论：不同职业的高血压患病率极显著意义，工人的高血压患病率显著高于农民。义，工

15、人的高血压患病率显著高于农民。26.7505.55314.9921.6784.5274 .2824 .2823226 .1046 .104656 .9346 .9348954 .3464 .34638622222 843 21 .050 6.63 21 ,010应用简化公式计算应用简化公式计算: :75.2612174513871281)65895322386(1668)(222dbcadcbabcadn (2) n 40, 但有但有1 Tij 5756631. 建立检验假设建立检验假设 （H0: 手术长短与切口感染与否手术长短与切口感染与否 互相独立，互相独立， 或两种手术时间所对应的切口感

16、染或两种手术时间所对应的切口感染 率相等）率相等） =0.052. 计算检验统计量计算检验统计量 2 值值3.查查 2 分布界值表，作出统计结论分布界值表，作出统计结论4. 结合具体问题作出专业结论结合具体问题作出专业结论 :尚不能认为手术时间的尚不能认为手术时间的长短是导致切口感染的一个危险因素。长短是导致切口感染的一个危险因素。1 83212852063242230550712295611330520.05P 832. 1 84. 3221 ,005特例特例: 对对240240例心肌梗塞患者治疗例心肌梗塞患者治疗2424小时内的死亡情况进小时内的死亡情况进行观察，行观察，198198例用复

17、方丹参注射液静滴治疗，死亡例用复方丹参注射液静滴治疗，死亡1111例；例；4242例未用复丹参注射液静滴治疗，死亡例未用复丹参注射液静滴治疗，死亡6 6例，问例，问两组病死率相差是否显著两组病死率相差是否显著? ? 生存生存死亡死亡合计合计死亡率死亡率% %用丹参用丹参18718711111981985.565.56不用丹参不用丹参36366 6424214.2814.28合计合计2232231717240240H0：1 =2 (用不用丹参死亡率相同用不用丹参死亡率相同) 0.05,1 P40，按原理要求应进行校正计算，按原理要求应进行校正计算796.24219817223240)224011

18、366187(*)2(222dcdbcabannbcad 0.05，1 P 0.05 无显著性意义无显著性意义。22即不能得出使用丹参注射液降低死亡率的结论。即不能得出使用丹参注射液降低死亡率的结论。 (3) n40，或T0，须计算须计算满足满足DiD* 和和PiP*条件的各种组合下四格表的累计概条件的各种组合下四格表的累计概率。若率。若D*0.05。按。按=0.05检验水准检验水准,不拒绝不拒绝H0， 结论结论: 尚不能认为预防注射与非预防的新生儿尚不能认为预防注射与非预防的新生儿HBV的的 总体感染率不等。总体感染率不等。表表1、50-59 岁男性工人与农民高血压患病比较岁男性工人与农民高

19、血压患病比较 患高血压人数患高血压人数未患人数未患人数 合合 计计首钢工人首钢工人 3868951281石景山区农石景山区农民民65322387合合 计计45112171668表表2 2、变量变量1变量变量2合计合计阳性阳性阴性阴性阳性阳性abn1阴性阴性cdn2合计合计m1m2n（固定值）（固定值）（三）配对四格表资料的（三）配对四格表资料的 2检验检验 属于配对设计的两组频数分布的属于配对设计的两组频数分布的 2检验。这类问题检验。这类问题的原始数据可以表示为表的原始数据可以表示为表2所示的四格表形式。所示的四格表形式。 表表1和表和表2的区别仅在设计上，表的区别仅在设计上，表1中左边一列

20、是两个中左边一列是两个独立样本，行合计是事先固定的；而表独立样本，行合计是事先固定的；而表2这里的这里的“两份样两份样本本” 互不独立，样本量都是互不独立，样本量都是n n，是固定的，而行合计与，是固定的，而行合计与列合计却是事先不确定的。列合计却是事先不确定的。常用于：常用于：1 1、比较两种处理方法的阳性率的差别、比较两种处理方法的阳性率的差别2 2、检验两种方法的结果的相关性、检验两种方法的结果的相关性变量变量1 1的阳性率变量的阳性率变量2 2的阳性率的阳性率= =可见，两个变量阳性率的比较只和可见，两个变量阳性率的比较只和b b、c c有关，而与有关，而与a a、d d无关。无关。

21、ncbncanbaH H0 0：B=CB=C，即两种方法的总体检测结果相同即两种方法的总体检测结果相同H H1 1：BCBC，即两种方法的总体检测结果不相同即两种方法的总体检测结果不相同 若若H H 0 0 成立，变量成立，变量1 1与变量与变量2 2所示的结果不一致的两个格子所示的结果不一致的两个格子理论频数都应该是理论频数都应该是 。由。由 2 2检验基本思想得检验基本思想得2cb 22222)()(2222cbcbcbcbccbcbb 2 2统计量的计算公式为统计量的计算公式为当当b+cb+c4040时时, , 需对上式校正需对上式校正, , 校正公式为校正公式为cbcb 22)( cb

22、cb22) 1|(|例题：例题： 某市疾病预防控制中心用荧光抗体（甲法）和常某市疾病预防控制中心用荧光抗体（甲法）和常规培养基（乙法）两种检测方法测定了规培养基（乙法）两种检测方法测定了249249分食品检分食品检样中的沙门菌，检测结果见表。荧光抗体法的检出率样中的沙门菌，检测结果见表。荧光抗体法的检出率为为77.11%77.11%，常规培养基法的检出率为，常规培养基法的检出率为67.87%67.87%。试问两。试问两种方法的检测结果是否有差别？种方法的检测结果是否有差别？ 荧光抗体法和常规培养基法的检测结果荧光抗体法和常规培养基法的检测结果荧光抗体法荧光抗体法常规培养基法常规培养基法合计合计

23、+-+160（a）32(b)192-9（c）48(d)57合计合计16980249单一样本按两种处理交叉分类的配对设计资料，单一样本按两种处理交叉分类的配对设计资料，每种处理的观察结果只有阴性、阳性两种可能。从配每种处理的观察结果只有阴性、阳性两种可能。从配对结果看，共有对结果看，共有4种情况；种情况；两种方法检测结果均为阳性（甲两种方法检测结果均为阳性（甲+乙乙+）；）；两种方法均为阴性（甲两种方法均为阴性（甲-乙乙-）；）；甲方法为阳性而乙方法为阴性（甲甲方法为阳性而乙方法为阴性（甲+乙乙-）；）；乙方法为阴性而乙方法为阳性（甲乙方法为阴性而乙方法为阳性（甲-乙乙+）。）。这类资料有以下两

24、种分析目的，分析方法各异。这类资料有以下两种分析目的，分析方法各异。一、两种处理方法的阳性率比较一、两种处理方法的阳性率比较H0：两种方法的总体阳性检出率相同：两种方法的总体阳性检出率相同H1：两种方法的总体阳性检出率不同：两种方法的总体阳性检出率不同 =0.05 查界值表，得查界值表，得P0.05P0.05，按，按=0.05=0.05水准拒绝水准拒绝H H0 0，接，接受受H H1 1，可以认为两种方法的阳性检出率不同，荧光抗，可以认为两种方法的阳性检出率不同，荧光抗体法的阳性检出率高于常规培养基法。体法的阳性检出率高于常规培养基法。222(329)12.90329bcbc二、两种处理结果的

25、关联性分析二、两种处理结果的关联性分析此类设计，如果分析时考虑两种处理间有无关系或相此类设计，如果分析时考虑两种处理间有无关系或相互独立时，可按每个对象分别按两种处理而得到的结果互独立时，可按每个对象分别按两种处理而得到的结果分组，用一般四格表的处理办法。分组，用一般四格表的处理办法。H0：两种处理方法的结果无关：两种处理方法的结果无关H1：两种处理方法的结果有关：两种处理方法的结果有关=0.05查界值表，得查界值表，得P0.01，按，按=0.05水准拒绝水准拒绝H0，接受，接受H1，可以认为两种方法的检测结果具有相关性，即如果，可以认为两种方法的检测结果具有相关性，即如果荧光抗体法的阳性检出

26、率高，常规培养基法也高。荧光抗体法的阳性检出率高，常规培养基法也高。222()(160 48-32 9) 249=91.95 192 57 169 80adbc na b cdac bd(2) RC表资料的表资料的 2检验检验 R RC C表又称为行表又称为行列表列表, , 其其检验用于多个样本率的检验用于多个样本率的比较、两个或多个构成比的比较、以及双向无序分类资比较、两个或多个构成比的比较、以及双向无序分类资料的关联性检验。料的关联性检验。 基本数据有三种情况：基本数据有三种情况： 多个样本率比较时，有多个样本率比较时，有R行行2列，称为列，称为R2表；表； 两个样本的构成比比较时，有两个

27、样本的构成比比较时，有2行行R列，称列，称2R表；表； 多个样本的构成比比较，以及双向无序分类资料关联多个样本的构成比比较，以及双向无序分类资料关联性检验时，有性检验时，有R行行C列，称为列，称为RC表。表。 行列表资料的行列表资料的 检验仍可用检验仍可用Pearson 公式，公式，化简后得行化简后得行列表检验的专用公式：列表检验的专用公式： 但在使用时须注意，简化计算公式只有在所有但在使用时须注意，简化计算公式只有在所有Tij均大于均大于5的情况下使用。若出现一个理论数小于的情况下使用。若出现一个理论数小于1的格的格子，或子，或1T5的格子数超过总格子数的的格子数超过总格子数的1/5，都不宜

28、使，都不宜使用上述方法，应进行适当的处理。用上述方法，应进行适当的处理。22)1(22CRnnAnTTA22处理的方法处理的方法继续观察，适当扩大样本量。继续观察，适当扩大样本量。 将邻近有意义的将邻近有意义的( (或性质相同或性质相同) )分类进行合并，以适当分类进行合并，以适当 增加频数，满足计算公式的应用条件时，方可做出适增加频数，满足计算公式的应用条件时，方可做出适当的分析。当的分析。一、多个样本率比较一、多个样本率比较例：为了研究盐酸苯钠普利对原发性高血压病的例：为了研究盐酸苯钠普利对原发性高血压病的治疗效果，某医师对治疗效果，某医师对1019例原发性高血压病人进行例原发性高血压病人

29、进行了了6个月的用药治疗，并观察不同类型高血压患者的疗个月的用药治疗，并观察不同类型高血压患者的疗效，试问盐酸苯钠普利治疗不同类型高血压病的有效效，试问盐酸苯钠普利治疗不同类型高血压病的有效率是否有差别？率是否有差别？类型类型有效人数有效人数无效人数无效人数合计合计单纯收缩性单纯收缩性11819137轻度轻度37981460中度中度235107342重度重度463480合计合计7782411019H H0 0：盐酸苯钠普利治疗不同类型高血压病的有效率相同：盐酸苯钠普利治疗不同类型高血压病的有效率相同H H1 1：盐酸苯钠普利治疗不同类型高血压病的有效率不全相同：盐酸苯钠普利治疗不同类型高血压病

30、的有效率不全相同=0.05=0.052222222222118193798111019 137 778137 241460 778460 2412351074634 143.34342 778342 24180 77880 241RcAnnn（）（R-1R-1）(C-1)(C-1)（4-14-1）（2-12-1）3 32界值表，得界值表，得P0.05，按，按=0.05水准，不拒绝水准，不拒绝H0，尚不能认，尚不能认为为有行为问题和无行为问题儿童的意外伤害类型分布不同，有行为问题和无行为问题儿童的意外伤害类型分布不同，即可认为发生过意外伤害的儿童中，有行为问题和无行为问即可认为发生过意外伤害的儿

31、童中，有行为问题和无行为问题儿童的意外伤害类型分布一致。题儿童的意外伤害类型分布一致。三、趋势检验三、趋势检验当某因素是按自然顺序的等级分层或连续资料等级化再分层的当某因素是按自然顺序的等级分层或连续资料等级化再分层的分析，可采用分析，可采用Cochran Armitage趋势分析，以分析是否随分层等趋势分析，以分析是否随分层等级而变化的趋势。级而变化的趋势。 式中：式中：N=总人数总人数n各组人数各组人数T=阳性总数阳性总数t各组阳性数各组阳性数Z=各组的分数各组的分数)2)(2)(2)(2nZnZNTNTnZTtZNN例、调查了不同工龄的纺织女工神经衰弱的患病情况，例、调查了不同工龄的纺织

32、女工神经衰弱的患病情况，按工龄长短分别统计患病率见下表，问纺织女工神按工龄长短分别统计患病率见下表，问纺织女工神经衰弱的患病率有无随工龄增加而增加的趋势？经衰弱的患病率有无随工龄增加而增加的趋势？不同工龄纺织女工神经衰弱患病率不同工龄纺织女工神经衰弱患病率工龄（年）工龄（年）11-2-4-6-8-合计合计患病人数（患病人数（t）1725303228123(T)未患病人数（未患病人数（c)53113230154137110总人数（总人数（n）54120255184169138920(N)患病率（）患病率（）1.855.839.816.318.9320.29分数（分数（Z）-4.5-3.5-2025tz-4.5-24.5-50064140125nz-243-420-5100338690145nz21093.514701020067634507710H0:纺织女工神经衰弱的患病率无随年龄增加而增加趋势纺织女工神经衰弱的患病率无随年龄增加而增加趋势H1:纺织女工神经衰弱的患病率有随年龄增加而增加趋势纺织女工神经衰弱的患病率有随年龄增加而增加趋势=0.05=0.05工龄的组中值分别为：工龄的组中值分别为：0.50.5、1.51.5、3 3、5 5、7 7、1010为计算简化各组分