第3章三铰拱课件

1、（一）拱的特点及其分类（一）拱的特点及其分类拱结构是指杆轴为曲线，在竖向荷载作用下，除产生拱结构是指杆轴为曲线，在竖向荷载作用下，除产生竖竖向反力向反力外还产生外还产生水平反力水平反力的结构。的结构。拱的主要特点是：拱的主要特点是：拱轴一般为曲线且在竖向荷载作用下能产生水平反力；拱轴一般为曲线且在竖向荷载作用下能产生水平反力；拱内的弯矩比梁小，主要承受轴向压力。拱内的弯矩比梁小，主要承受轴向压力。第三章第三章 静定结构静定结构三铰拱三铰拱拱中横截面上拱中横截面上应力的分布应力的分布均匀，主要是压应力均匀，主要是压应力，可用，可用抗压性能好而抗拉性能差抗压性能好而抗拉性能差的的材料材料(砖、石、

2、混凝土砖、石、混凝土)来建来建造。造。由于水平反力由于水平反力(推力推力)的存的存在，对拱脚处的在，对拱脚处的支承支承要求高。要求高。为此可把两端的支座改成简为此可把两端的支座改成简支形式，其间增加一根拉杆，支形式，其间增加一根拉杆，水平反力由拉杆承担。水平反力由拉杆承担。 按单跨拱中所包含按单跨拱中所包含铰的个数铰的个数而把拱分为而把拱分为三三铰拱、两铰拱铰拱、两铰拱和和无铰拱无铰拱三种三种。 1. 三铰拱三铰拱 两曲杆之间用铰连两曲杆之间用铰连接，另两端用固定铰支接，另两端用固定铰支座与基础连接而成。座与基础连接而成。 三铰拱可以做成带三铰拱可以做成带拉杆的三铰拱，三铰拱拉杆的三铰拱，三铰

3、拱是是静定结构静定结构，其反力和，其反力和内力均可由平衡条件求内力均可由平衡条件求出。出。2. 两铰拱两铰拱 拱中只有两个拱脚铰，拱中只有两个拱脚铰，称为两铰拱。两铰拱可以是称为两铰拱。两铰拱可以是带拉杆的或不带拉杆的两铰带拉杆的或不带拉杆的两铰拱。两铰拱是拱。两铰拱是一次超静定一次超静定结结构。构。3. 无铰拱无铰拱 中间无铰，两端是固定中间无铰，两端是固定端支座者，称为无铰拱。它端支座者，称为无铰拱。它是是三次超静定三次超静定结构。结构。（二）（二） 对称三铰拱对称三铰拱的数解法的数解法计算支座反力计算支座反力图示三铰拱中，共有图示三铰拱中，共有四个反力：四个反力：VA、HA、VB、HB。

4、 根据整体的平衡根据整体的平衡条件可建立三个条件可建立三个平衡方程：平衡方程： MA=0 MB=0 X=0再取中间铰一侧隔离再取中间铰一侧隔离体，体， MC=0，由这四个方程可由这四个方程可解出四个反力。解出四个反力。由由MB= 0，得：，得：VAlP1b1 P2b2= 0VA= (P1b1 P2b2 )/ l由由MA= 0，得：，得：VB= (P1a1 P2a2)/ l 把两个竖向反力把两个竖向反力VA 、VB与相应简支梁支座反力与相应简支梁支座反力V0A 、V0B 相比，可知相比，可知竖向荷载竖向荷载作用下，对称三铰拱的作用下，对称三铰拱的竖向反力竖向反力与其相与其相应简支梁的反力应简支梁

5、的反力完全相同完全相同。V0AV0B由由X= 0，得：，得：HA= HB = H中间铰左侧隔离体中间铰左侧隔离体MC=0 得：得： MC = VAl1P1(l1 a1) P2(l1 a2) P3(l1 a3) H f = 0 得：得： H=VAl1P1(l1 a1) P2(l1 a2) P3(l1 a3) / f 因因 VA = V0A ，得：，得：H= M0C / f M0C为相应简支梁截面为相应简支梁截面C的弯矩。的弯矩。归纳分析结果，可得竖向荷载作用下，对称归纳分析结果，可得竖向荷载作用下，对称三铰拱的反力公式：三铰拱的反力公式：VA = V0A = 相应简支梁支座相应简支梁支座A的反力

6、的反力 (4-1)VB = V0B = 相应简支梁支座相应简支梁支座B的反力的反力 (4-2)H= M0C / f = 相应简支梁截面相应简支梁截面C的弯矩的弯矩 / 矢高矢高 (4-3)2. 内力计算内力计算 以左拱脚铰以左拱脚铰A点为坐标点为坐标原点原点，规定，规定左半拱左半拱D取正取正号，右半拱号，右半拱D取负号取负号。 截面是位于拱轴截面是位于拱轴D点点的法线方向。确定该截面的法线方向。确定该截面的位置，用的位置，用坐标坐标xD，yD和和倾角倾角D。MD=0，得：，得： MD = VA xDP1(xD a1) P2(xD a2) H yD = V0A xDP1(xD a1) P2(xD

7、 a2) HyD = M0D HyD M0D为相应简支梁截面为相应简支梁截面D的弯矩。的弯矩。n = 0 ，得：，得：QD = VA cosD P1 cosD P2 cosD H sinD = (V0AP1P2) cosD H sinD = Q0D cosD H sinD t = 0 ，得：，得：ND = VA sinD - P1 sinD -P2 sinD +H cosD = (V0AP1P2) sinD +H cosD = Q0D sinD + H cosD Q0D为相应简支梁截面为相应简支梁截面D的剪力。的剪力。两个投影方程可用拱轴在该点的法线两个投影方程可用拱轴在该点的法线n和切线和切

8、线t为为投影轴。投影轴。从内力公式可知，三铰拱的内力不仅与三个铰的位置从内力公式可知，三铰拱的内力不仅与三个铰的位置有关，而且与拱轴的形状有关。有关，而且与拱轴的形状有关。拱内力计算的一般法则：拱内力计算的一般法则：任一截面弯矩该截面左边任一截面弯矩该截面左边(或右边或右边)所有外力所有外力(包括包括反力反力)对截面形心力矩代数和，对截面形心力矩代数和，内侧受拉为正内侧受拉为正；任一截面任一截面剪力剪力该截面左边该截面左边(或右边或右边)所有外力所有外力(包括包括反力反力)，在拱轴该点的，在拱轴该点的法线上法线上投影代数和，顺时针取正，投影代数和，顺时针取正，反之则负；反之则负；任一截面任一截

9、面轴力轴力该截面左边该截面左边(或右边或右边)所有外力所有外力(包括包括反力反力)，在拱轴该点，在拱轴该点切线上切线上投影代数和，受压为正。投影代数和，受压为正。 MD = M0D HyD QD = Q0D cosD H sinD ND = Q0D sinD + H cosD 得到的右边式适用于得到的右边式适用于竖向荷载作用下竖向荷载作用下对称三铰拱对称三铰拱。3. 拱的受力特点拱的受力特点与相应简支梁相比较，拱的受力情况具有如下与相应简支梁相比较，拱的受力情况具有如下特点：特点： (1) 在竖向荷载作用下，在竖向荷载作用下，拱存在水平推力拱存在水平推力。(2) 三铰拱横截面上的三铰拱横截面上

10、的弯矩要比梁的弯矩小弯矩要比梁的弯矩小，这是拱的跨度可以比梁大的原因。按绝对值相比较，这是拱的跨度可以比梁大的原因。按绝对值相比较，拱内大多数截面的剪力比梁小拱内大多数截面的剪力比梁小。(3)在竖向荷载作用下，拱有在竖向荷载作用下，拱有较大轴压力存在较大轴压力存在，是是主要内力主要内力。一般。一般不出现拉应力不出现拉应力，所以可用砖、石，所以可用砖、石或素混凝土等脆性材料来建造。或素混凝土等脆性材料来建造。例例 试绘出所示二次抛物线三铰拱的内力图。三铰拱试绘出所示二次抛物线三铰拱的内力图。三铰拱的跨度的跨度l =16m，矢高，矢高f =4m。拱承受全跨均布荷载。拱承受全跨均布荷载q=4kN/m

11、。以以A点为坐标原点，拱轴线方程为：点为坐标原点，拱轴线方程为：xxllfy24解：求解此题时，暂不作具体数字的运算，而首解：求解此题时，暂不作具体数字的运算，而首先按一般文字常数进行讨论，则可得到一个具有先按一般文字常数进行讨论，则可得到一个具有普遍意义的结论。普遍意义的结论。(1) 反力反力 VA=VB= V0A = q l / 2 H = M0C / f = (q l 2 / 8) / f(2) 任一截面的弯矩任一截面的弯矩 M = M0 Hy = 0可见，拱内可见，拱内无弯矩无弯矩。xxlqqxqlxM21212120 xxlqxxllffqlHy214822(3) 任一截面的剪力任一

12、截面的剪力由于由于拱内拱内无剪力无剪力。xxllfy24cos84coscossin2xlflfdxdytgxlflfdxdy2840cos848cos21sincos220lfxlffqlqxqlHQQ(4) 任一截面的轴力任一截面的轴力由于已知任一截面的剪力均等于零由于已知任一截面的剪力均等于零:coscoscossincossincossin20HHHtgHHQN0sincos0HQQtgHQ 0由由得得 结论：结论：拱内只产生轴力，而拱内只产生轴力，而弯矩和剪力均为零弯矩和剪力均为零,是拱中是拱中最理想最理想的受力状态，截面上应力均匀分布，能充分的受力状态，截面上应力均匀分布，能充分利

13、用材料。当均布荷载向下时，拱内的轴力是压力，利用材料。当均布荷载向下时，拱内的轴力是压力，可用抗压性能好的砖、石或混凝土等材料建造。可用抗压性能好的砖、石或混凝土等材料建造。由轴力公式可知，由轴力公式可知，轴力与轴力与cos成反比，两端的成反比，两端的cos小，轴力大；中段小，轴力大；中段cos大，轴力小大，轴力小。为了使拱内各点的应力相同，常采用变截面拱，为了使拱内各点的应力相同，常采用变截面拱，各截面高各截面高h = hc / cos ，hc为拱顶截面高。为拱顶截面高。最后根据本例的已知条件，进行具体计算。最后根据本例的已知条件，进行具体计算。VA=VB= V0A = q l / 2= 4

14、 16 / 2 = 32kNH = (q l 2 / 8) / f = (4 162 / 8) / 4 = 32kNN = H / cos = 32 / cos 由于对称，只计算半边拱。由于对称，只计算半边拱。 x (m) y (m) cos N(kN)00450.70745.321.7536520.840.04326340.89435.863.7514020.97033.0840132.0根据表中根据表中数值，可数值，可画出画出N图图如图所示。如图所示。（三）（三） 三铰拱的合理拱轴三铰拱的合理拱轴1. 合理拱轴的概念合理拱轴的概念 当拱内任一截面的当拱内任一截面的弯矩等于零弯矩等于零，处于

15、无弯矩，处于无弯矩状态，各截面均只有轴力，截面上的应力均匀分状态，各截面均只有轴力，截面上的应力均匀分布，材料得到最充分的利用，这样，拱的受力状布，材料得到最充分的利用，这样，拱的受力状态达到最理想的情况。态达到最理想的情况。 在固定荷载作用下，使拱处于在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩无弯矩状态的状态的拱轴线称为拱轴线称为“合理拱轴合理拱轴”。2. 合理拱轴求法合理拱轴求法合理拱轴求法合理拱轴求法利用下面弯矩方程式，并令它等于零，即利用下面弯矩方程式，并令它等于零，即 M = M0 Hy = 0于是有于是有 y = M0 / H =K M0 其中其中 K= 1/ H = 1/ (M0C / f

16、 ) = f / M0C 说明，在说明，在竖向荷载竖向荷载作用下，作用下，合理拱轴的纵坐标合理拱轴的纵坐标( y )与相应简支梁的弯矩与相应简支梁的弯矩( M0 )成正比成正比。在固定的竖向荷载作用下，如果两个拱脚铰的位在固定的竖向荷载作用下，如果两个拱脚铰的位置已确定，则置已确定，则M0图就不变了，这时，图就不变了，这时，y将随将随 C铰的位置铰的位置( 即即M0C )而变化。而变化。若顶铰的位置亦已选定，则合理拱轴只有一个。若顶铰的位置亦已选定，则合理拱轴只有一个。若若C铰的位置可以任意选择的话，则合理拱轴可以有无铰的位置可以任意选择的话，则合理拱轴可以有无限多个。限多个。无论如何，合理拱

17、轴的形状始终与无论如何，合理拱轴的形状始终与M0图相似，即图相似，即 (y 与与M0成正比成正比)。显然，当拱上受显然，当拱上受集中荷载集中荷载或或不连续的分布荷载不连续的分布荷载作作用时用时M0图就是折线形或很不规则。此时合理拱轴虽然图就是折线形或很不规则。此时合理拱轴虽然在理论上能够找到，但实际上却难以采用。在理论上能够找到，但实际上却难以采用。y = M0 / H =K M0其中其中 K= 1/ H = 1/ (M0C / f ) = f / M0C例中，已知二次抛物线拱在全跨受竖向均布例中，已知二次抛物线拱在全跨受竖向均布荷载作用下，荷载作用下，各截面均无弯矩各截面均无弯矩。现假设拱轴

18、方程。现假设拱轴方程y为未知，但三个铰的位置已定，铰为未知，但三个铰的位置已定，铰C在拱顶处，在拱顶处，如图示。如图示。现按照上述方法，求其合理拱轴方程。现按照上述方法，求其合理拱轴方程。由平衡条件可求出三铰拱的反力。由平衡条件可求出三铰拱的反力。任一截面的弯矩为：任一截面的弯矩为：令令M M0 0，得合理拱轴方程得合理拱轴方程：yfqlxxlqyfqlqxqlxHyMM8218)2121(222008212yfqlxxlqxxllfy24可见，合理拱轴方程是可见，合理拱轴方程是二次抛物线二次抛物线，与前，与前例所给的拱轴方程完全一致。例所给的拱轴方程完全一致。要使拱处于要使拱处于无弯矩无弯矩状