2017届四川资阳高三第二次诊断性考试理科数学试题及答案

1、资阳市高中2017级第二次诊断性考试数学(理工类)本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)。第I卷1至2页，第n卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。第I卷(选择题共50分)注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。第I卷共10小题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给由的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .复数m2.1十(m十1)i是纯虚数，则实数m的值为(A)-1(B)1(C)_1(D).22 .集合M=x|(x-1)(x-2

2、)<0,N=x|x<a,若MEN,则实数a的取值范围是(A)2,二)(B)(2,二)(C)1,二)(D)(1,二)3.“a=2”是“直线信2-加+丫-1=0和2*+丫+1=0互相平行”的(A)充要条件(B)必要不充分条件(C)充分不必要条件(D)既不充分又不必要条件4 .设抛物线y2=4x上的一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离为(A)3(B)4(C)5(D)65 .有5名同学站成一排照相，则甲与乙且甲与丙都相邻的不同排法种数是(A)8(B)12(C)36(D)486在不等式组，0：y：2,所表示的平面区域内任取一点P,若点P的坐标(x,y)满足y之kx的概率(WI7

3、3=0为3,则实数k=4(A)4(B)2i=i+l(C)3(叫s=s+%=sin-j-/输阪/:国Ji?否7.执行如图所示的程序框图，则输由S的值为(A)3(C)0(D)-.38.已知a、b为平面向量，若a+b与a的夹角为a+b与b的夹角为4,则|:卜(A)-f(B)裳(C)-y(D)停229.已知Fi、F2是双曲线与_2=i(a>0,b>0)的左、abFi关于渐近线的对称点恰好落在以F2为圆心，的圆上，则该双曲线的离心率为(A)2(B)3(C)2(D)310.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=：f(x),口2.-2x,0.x：:1,f(x)=20,1"2.函数g

4、(x)=x3+3x2+m.若Vs-4,-2)右焦点，点|OF|为半径IxE0,2)时，,HW32),不等式“加成立，则实数m的取值范围是(A)(-：,-12(B)(-二,h(C)(-二,8(D)(-：31第n卷(非选择题共100分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘由，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。第n卷共11小题。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11 .二项式(2.x)5展开式中x3的系数是.12 .某年级有1000名学生，现从中抽取100,人作为样本，采用系统抽样的方法，将

5、全-正视图侧视图体学生按照11000编号，并按照编号顺/序平均分成100组(110号，1120俯视图号，9911000号).若从第1组抽由的编号为6,则从第10组抽出的编号为.13 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为14 .若直线xy+2=0与圆C(x3)2+(y-3)2=8相交于A、B两点,则ACCB=.15 .已知函数f(x),若对给定的ABC它的三边的长a,b,c均在函数f(x)的定义域内，且f(a),f(b),f(c)也为某三角形的三边的长，则称f(x)是“保三角形函数”，给由下列命题：函数f(x)=x2+1是“保三角形函数”；函数f(x)=6(xA0)是“保三角形函数”；

6、若函数f(x)=kx是“保三角形函数”，则实数k的取值范围是(0,依)；若函数f(x)是定义在R上的周期函数，值域为(0*),则f(x)是“保三角形函数”；_-2xx若函数f(x)=e2：te+1是保三角形函数，则实数t的取ee1值范是J,4.2其中所有真命题的序号是.三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写由文字说明，证明过程或演算步骤。16 .(本小题满分12分)已知函数f(x)=sinx(2cosx-sinx)+cos2x.(I)求函数f(x)的最小正周期；(II)设:，且f(a)=-5132,求sin2a的值.17 .(本小题满分12分)在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名

7、学生的6次培训成绩(百分制)制成甲|乙如图所示的茎叶图：9：；I5(I)若从甲、乙两名学生中选择1人参加86g246sQ4该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的一知识说明理由；(n)若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为"求巴的分布列和数学期望.18 .(本小题满分12分)四棱锥SABCDK侧面SAD是正三角形，底面ABCD1正方形，且平面SAD，平面ABCDMN分别是ABSC的中点.(I)求证：MNZ平面SAD(n)求二面角S-CM-D的余弦值.19 .(本小题满分12分)等差数列an的前n项和为Sn,数列bn是等比数列，满足a1=3,0=1,b2+

8、S2=10,a52b2=a3.(I)求数列an和bn的通项公式；2(n)令Cn=衿，n为奇数,设数列Cn的前n项和Tn,求T2n.1b-n为偶数，20 .(本小题满分13分)已知椭圆Q：4+彳二的/。)的焦距为2而，且经过点(1,打).ab2(I)求椭圆Q的方程；(n)A是椭圆Q与y轴正半轴的交点，椭圆Q上是否存在两点MN,使得AMW以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由21 .（本小题满分14分）已知函数f（x）=ex_ax.a（其中awR,e是自然对数的底数，e=2.71828）.（I）当2=3时，求函数f（x）的极值；（n）若f（x）30恒成立，求实数

9、a的取值范围；2n（田）求证：对任意正整数n,都有3M“乂二.212121e资阳市高中2017级第二次诊断性考试（数学学科）参考答案及评分意见（理工类）一、选择题：BACCBDADCC二、填空题：11.40;12.96;13.8;14.4;15.3.三、解答题：16 .（本小题满分12分）解析：（I）f（x）=sin2x-sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=/2sin(2x+；),4分故函数f(x)的最小正周期是兀.6分(II)由f=-警，即我新化”1-5需，得sin(2«)=,7分因为所以<2«+-<,可得cos(2«+-)=-99分42

10、444413则s-i*/一小糖吟字一coseN分二二(-1).J(上)=7121321326分111217 .(本小题满分12分)解析：(I)学生甲的平均成绩/=68+76+79(+88+953学生乙的平均成绩x乙=71+75+82+84+86+94=82,6又备=-(6882)2+(7682)2+(7982)2+(86-82)2+(8882)2+(9582)2=77,621_2_2_2_2_2_2167s乙二(7182)+(7582)+(8282)+(8482)+(8682)+(9482)二,63贝Ux甲=*乙,S2甲s2乙,说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学

11、生乙参加知识竞赛.6分注：（1）由茎叶图的分布可知应选择乙同学.（可给2分）（2）由茎叶图可以看到甲的平均成绩在80分左右，其分布对称，乙的平均成绩在80分左右，但总体成绩稳定性较好，故应选择乙同学.（可给4分）P(=。)名=2,P(=1)=C651的分布列为012P28151515c4c2C2=3P(=2)噌所以数学期望E（j=021621二51515312（n）u的所有可能取值为0,1,2,则分18.（本小题满分12分）解析：（I）如图，取SD的中点R,结ARRN则RMCD且RN=CDAM/CD2所以RN/AM且RN=AM所以四边形AMN里平行四边形，所以MMAR由于aru平面SADMN&

12、amp;平面SAD7卜，所以MM平面SAD4分（n）解法1：取AD的中点Q连结OS过O作AD的垂线交BC于G分别以OAOGOSJx,y,z轴，建立坐标系，C(-1,2,0),设面贝Un1M(1,1,0),S(0,0j3),CM=(2,1,0),SM=(1,1f/3),SCM勺法向量为n1=(x,y,z),6分CM=0,有SM=0,令x=1,m=(1,2,量%二(0,0,1),2xy=0,i一xyr：/3z=0,西)，取面ABCD勺法向(Gy贝!Jcosn1,n2=mini84'所以二面角S-CWD的余弦值为娓.4分解法2:如图，取AD的中点O,连结OS连结SH由SOLAD且面SADL面

13、ABCD所以SOL平面ABCDSOLCM易得ABHBCM所以/ABO=/BCM则/BMW/ABO=/BMW/BC阵90,所以OBLCM则有SHLCM所以/SH盅二面角S-CMI-D的平日角，设AB=2,贝UOB=召，BH=返OH=逅5，5，OS=.3,SH=.(3)2(3：)2=21°，5512OBcmCMH,则cos/SHG型=近SH4直.4分,所以二面角SCWD的余弦值为1219.（本小题满分12分）解析：（I）设数列%的公差为d,数列bn的公比为q,则由th,&=10,得q6d=10,a-2b2=a3,34d-2q=32d,所以an=3+2(n1)=2n+1,bn=2.

14、(II)由ai=3,an=2n+1得Sn=n(n+2),211、，I/6，n为奇数,日门J1;，n为奇数，贝fJg=m(n+2)即g=Jnn+2n1n112一，n为偶数，12，n为偶数，T2n=(C1C3一一C2n)QC4C2n)111二()()(33512(1-4n)=1-2n11-42n2n32n1、-24+2一)丁”分20.（本小题满分13分)4分5分6分9分12a2=4,b2=1.a2-b2=3,一1解析：（I）由题h3解得1 +-12 2T，a4b4分x轴,，,一'一、2所以椭圆Q的万程为土+y2=14（n）由题意可知，直角边AMAN不可能垂直或平行于故可设AM所在直线的方程

15、为y=kx+1,不妨设k0,则直线AM所在的方程为联立方程kk/=4,消去y整理得（-8kx=0解得8kXm二-2,14kXm8k214k代入y=kx+1可得-8k2yM-214k占八、M(-8k2-8k2,14k14k21).所以AM=.(8k214k)2(8k214k2)8k1k2214k同理可得AN=8.1k4k2,由AM=AN,得k(4+k2)=1+4k2,10352分所以k34k2+4k1=0,则(k1)(k23k+1)=0,解得卜=1或女12当AMM率k=i时，AN斜率一1；当AMM率k=75时，AN斜率七月当AM斜率k=375时,AN斜率土史.222综上所述，符合条件的三角形有3

16、个.13分21.(本小题满分14分)解析：(I)当a=e时，f(x)=ex_ex_e,(x)=exe,当x<1时，(x)<0；当x>1时，(x)>0.所以函数f(x)在(1)上单调递减，在(1,收)上单调递增，所以函数f(x)在x=1处取得极小值f(1)=.函数f(x)无极大值.4分(II)由f(x)=ex-ax-a,fr(x)=ex-a,若a<0,则f(x)0,函数f(x)单调递增，当x趋近于负无穷大时，f(x)趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，f(x)趋近于正无穷大，故函数f(x)存在唯一零点x0,当xcx。时，f(x)<0；当x时，f(x)>0.故a<0不满足条件.6分若a=0,f(x)=ex至0恒成立，满足条件.7分若a>0,由f<x)=0,得x=lna,当x<lna时，(x)<0；当x：>lna时,f(x)A0,所以函数f(x)在(q,lna)上单调递减，在(lna,收)上单调递槽，所以函数f(x)在x=lna处取得极小值f(lna)=elna-a,lna-a=-a,lna,由f(lna)之0得-aln