概率论与数理统计ch6

1、数理统计数理统计第一节第一节 随机样本随机样本总体和样本总体和样本小结小结数理统计数理统计 数理统计学是一门应用性很强的学科数理统计学是一门应用性很强的学科. 它是研究它是研究怎样以怎样以有效的方式有效的方式收集、收集、 整理和分析整理和分析带有随机性的带有随机性的数据数据，以便对所考察的问题作出推断和预测，以便对所考察的问题作出推断和预测. 由于大量随机现象必然呈现它规由于大量随机现象必然呈现它规律性，只要对随机现象进行足够多次律性，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的规律性一定能清楚地观察，被研究的规律性一定能清楚地呈现出来呈现出来. 客观上，客观上， 只允许我们对随机现象只允许我们对

2、随机现象进行次数不多的观察试验进行次数不多的观察试验 ，我们只，我们只能获得局部观察资料能获得局部观察资料.数理统计数理统计 数理统计的任务就是研究有效地收集、整理、数理统计的任务就是研究有效地收集、整理、分析所获得的分析所获得的有限有限的资料，对所研究的问题的资料，对所研究的问题, 尽尽可能地作出精确而可靠的结论可能地作出精确而可靠的结论. 在数理统计中，不是对所研究的对象全体在数理统计中，不是对所研究的对象全体 ( 称称为为总体总体)进行观察，而是抽取其中的部分进行观察，而是抽取其中的部分(称为称为样本样本)进行观察获得数据（进行观察获得数据（抽样抽样），并通过这些数据对总），并通过这些数

3、据对总体进行推断体进行推断.数理统计方法具有数理统计方法具有“部分推断整体部分推断整体”的的特征特征 .数理统计数理统计 在数理统计研究中，人们往往研究有关对象的在数理统计研究中，人们往往研究有关对象的某一项某一项(或几项或几项)数量指标和为此，对这一指标进行数量指标和为此，对这一指标进行随机试验，观察试验结果全部观察值，从而考察该随机试验，观察试验结果全部观察值，从而考察该数量指标的分布情况数量指标的分布情况.这时，每个具有的数量指标的这时，每个具有的数量指标的全体就是总体全体就是总体.每个数量指标就是个体每个数量指标就是个体.某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命该批灯泡寿命的全该批灯泡寿命的全体就

4、是总体体就是总体国产轿车每公里国产轿车每公里的耗油量的耗油量国产轿车每公里耗油量国产轿车每公里耗油量的全体就是总体的全体就是总体数理统计数理统计 一一个统计问题总有它明确的研究对象个统计问题总有它明确的研究对象.1.1.总体总体研究某批灯泡的质量研究某批灯泡的质量 研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体，总体总体一、总体和样本一、总体和样本总体中所包含的个体的个数称为总体的总体中所包含的个体的个数称为总体的容量容量.总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体，总体总体有限总体有限总体无限总体无限总体 数理统计数理统计因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来因此在理论上可以把总体与概率分

5、布等同起来. 我们关心的是总体中的个体的某项指标我们关心的是总体中的个体的某项指标( (如人的如人的身高、灯泡的寿命身高、灯泡的寿命, ,汽车的耗油量汽车的耗油量) ) . 由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性标的出现也带有随机性 . 从而可以把这种数量指标看从而可以把这种数量指标看作一个随机变量作一个随机变量X ，因此随机变量，因此随机变量X的分布就是该数的分布就是该数量指标在总体中的分布量指标在总体中的分布. 总体就可以用一个随机变量及其分布来描述总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.数理统计数理统计 例如例如:研究

6、某批灯泡的寿命时，关心的数量指标研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示，表示，或用其分布函数或用其分布函数F(x)表示表示.某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命总体总体 寿命寿命 X 可用一概率可用一概率（指数）分布来刻划（指数）分布来刻划鉴于此，常用随机变量的记号鉴于此，常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体或用其分布函数表示总体. 如如说总体说总体X或总体或总体F(x) .体体寿命总体是指数分布总寿命总体是指数分布总数理统计数理统计 类似地，在研究某地区中学生的营养状况时类似地，在研究某地区中学生的营养状况时 ，若关

7、心的数量指标是身高和体重，我们用若关心的数量指标是身高和体重，我们用X 和和Y 分分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量量(X,Y)或其联合分布函数或其联合分布函数 F(x,y)来表示来表示. 统计中，总体这个概念统计中，总体这个概念 的要旨是：的要旨是：总体就是一个概总体就是一个概率分布率分布.数理统计数理统计参数的分布，为推断总体分布及各种特征，按一参数的分布，为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息获得有关总体的信息 ，这一抽取过程称为，这一抽

8、取过程称为 “抽抽样样”，所抽取的部分个体称为，所抽取的部分个体称为样本样本. 样本中所包样本中所包含的个体数目称为样本容量含的个体数目称为样本容量.2. 样本样本从国产轿车中抽从国产轿车中抽5辆辆进行耗油量试验进行耗油量试验样本容量为样本容量为5抽到哪抽到哪5辆是随机的辆是随机的 总体分布一般是未知，或只知道是包含未知总体分布一般是未知，或只知道是包含未知数理统计数理统计 一旦取定一组样本一旦取定一组样本X1， ,Xn ,得到得到n个具体的数个具体的数 (x1,x2,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值，称为样本的一次观察值，简称样本值 .n称为这个样本的容量称为这个样本的容量.21nX

9、XXnX，观察，其结果依次记为观察，其结果依次记为次重复、独立次重复、独立在相同的条件下，进行在相同的条件下，进行对总体对总体.,21分布分布同的同的与总体随机变量具有相与总体随机变量具有相的一个简单随机样本，的一个简单随机样本，是来自总体是来自总体这样得到的随机变量这样得到的随机变量XXXXn最常用的一种抽样叫作最常用的一种抽样叫作“简单随机抽样简单随机抽样”，其特点：，其特点：1. 代表性代表性： X1,X2,Xn中每一个与所考察的总体有中每一个与所考察的总体有 相同的分布相同的分布.2. 独立性独立性： X1,X2,Xn是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量.数理统计数理统计定义：定义

10、：.nXx,x,xnXFFX,X,XFX,X,XFXn21n21n21个个独独立立的的观观察察值值的的又又称称为为称称为为样样本本值值，值值简简称称样样本本，它它们们的的观观察察为为的的简简单单随随机机样样本本，）得得到到的的容容量量、或或总总体体（或或总总体体为为从从分分布布函函数数变变量量，则则称称的的、相相互互独独立立的的随随机机是是具具有有同同一一分分布布函函数数的的随随机机变变量量，若若是是具具有有分分布布函函数数设设 由简单随机抽样得到的样本称为由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本简单随机样本，它可以用与总体独立同分布的它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机个相互独立的随

11、机变量变量X1,X2,Xn表示表示.数理统计数理统计 简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到当说到“X1,X2,Xn是取自某总体的样本是取自某总体的样本”时，若时，若不特别说明，就指简单随机样本不特别说明，就指简单随机样本.=F(x1) F(x2) F(xn) 若总体的分布函数为若总体的分布函数为F(x)、概率密度函数为、概率密度函数为f(x),则其简单随机样本的联合分布函数为则其简单随机样本的联合分布函数为),(2*nxxxF其简单随机样本的联合概率密度函数为其简单随机样本的联合概率密度函数为),(2*nxxxf=f(x1) f(x2) f(x

12、n) 数理统计数理统计 事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值定的值. 如我们从某班大学生中抽取如我们从某班大学生中抽取10人测量身高人测量身高,得到得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.3. 总体、样本、样本值的关系总体、样本、样本值的关系数理统计数理统计总体（理论分布）总体（理论分布） ？ 样本样本 样本值样本值 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料-样本值，去推断总样本值，去推断总体的情况体的情况-总体

13、分布总体分布F(x)的性质的性质. 总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体总体. 样本是联系二者的桥梁样本是联系二者的桥梁数理统计数理统计二、小结二、小结研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体.nXFFX,X,XFX,X,XFXnn为为的的简简单单随随机机样样本本）得得到到的的容容量量、或或总总体体（或或总总体体为为从从分分布布函函数数变变量量，则则称称的的、相相互互独独立立的的随随机机是是具具有有同同一一分分布

14、布函函数数的的随随机机变变量量，若若是是具具有有分分布布函函数数设设2121.简称样本简称样本数理统计数理统计第二节第二节 样本及抽样分布样本及抽样分布统计量与经验分布函数统计量与经验分布函数统计三大抽样分布统计三大抽样分布几个重要的抽样分布定理几个重要的抽样分布定理课堂练习课堂练习小结小结 布置作业布置作业数理统计数理统计 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行行“加工加工”，这就要构造一些样本的函数，它把，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.1. 统计量统计量 这种这种不含任何未

15、知参数的样本的函数称为统不含任何未知参数的样本的函数称为统计量计量. 它是完全由样本决定的量它是完全由样本决定的量.一、统计量与经验分布函数一、统计量与经验分布函数数理统计数理统计定义定义.),(,),(,21212121个个统统计计量量称称是是一一中中不不含含未未知知参参数数，则则的的函函数数，若若是是的的一一个个样样本本，是是来来自自总总体体设设nnnnXXXggXXXXXXgXXXX请注意请注意 :.),X(),(,X21212121的观察值的观察值计量计量也是统也是统则则是一个样本的观察值是一个样本的观察值的一个样本的一个样本是来自总体是来自总体设设nnnnXXgxxxgxxxXXX数

16、理统计数理统计 几个常见统计量几个常见统计量样本平均值样本平均值niiXnX11它反映了它反映了总体均值总体均值的信息的信息样本方差样本方差niiXXnS122)(11它反映了总体它反映了总体方差的信息方差的信息 niiXnXn12211样本标准差样本标准差 niiXXnS12)(11数理统计数理统计nikikXnA11它反映了总体它反映了总体k 阶矩的信息阶矩的信息样本样本k阶原点矩阶原点矩样本样本k阶中心矩阶中心矩nikikXXnB1)(1 k=1,2,它反映了总体它反映了总体k 阶阶中心矩的信息中心矩的信息数理统计数理统计统计量的观察值统计量的观察值, 2 , 1)(11, 2 , 11

17、;)(11)(11;111121212 kxxnbkxnxxnsxxnsxnxnikiknikikniiniinii数理统计数理统计请注意请注意 :., 2 , 11)(1 kXnAnXEkXkpnikikkk时，时，存在，则当存在，则当阶矩阶矩的的若总体若总体.),(),(2121为连续函数为连续函数其中其中可将上述性质推广为可将上述性质推广为由依概率收敛性质知，由依概率收敛性质知，再再ggAAAgkpk .根据根据这就是矩估计法的理论这就是矩估计法的理论., 2 , 1)(,2121上述结论上述结论再由辛钦大数定律可得再由辛钦大数定律可得同分布同分布独立且与独立且与有有同分布，同分布，独立

18、且与独立且与由由事实上事实上nkXEXXXXXXXXkkikknkkn 数理统计数理统计 2. 经验分布函数经验分布函数.,)(,2121的随机变量的个数的随机变量的个数中不大于中不大于表示表示的一个样本，用的一个样本，用是总体是总体设设xxxxxxsFXXXnn xxsnxFn)(1)(经验分布函数为经验分布函数为定义定义 2, 121,321, 0)()(21133xxxxFxFF若若若若若若的观察值为的观察值为，则经验分布函数，则经验分布函数，具有一个样本值具有一个样本值设总体设总体例例数理统计数理统计)1, 2 , 1(, 1, 0)()(.,)()1()()1()()2()1(21

19、nkxxxxxnkxxxFxFxxxnxxxnkknnnn若若若若若若的观察值为的观察值为则经验分布函数则经验分布函数如下：如下：将它们按大小次序排列将它们按大小次序排列值值的样本的样本是总体的一个容量为是总体的一个容量为一般，设一般，设经验分布函数经验分布函数 请看演示请看演示数理统计数理统计 二、统计三大抽样分布二、统计三大抽样分布)(22n记为记为2分布分布1、定义定义: 设设 相互独立相互独立, 都服从正态分布都服从正态分布N(0,1), 则称随机变量：则称随机变量： 所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为 n 的的 分布分布.nXXX,21222212nXXX22分布是由正态分

20、布派生出来的一种分布分布是由正态分布派生出来的一种分布. . 2 2 分布分布请看演示请看演示数理统计数理统计2分布的密度函数为分布的密度函数为000)2(21);(2122xxexnnxfxnn来定义来定义.其中伽玛函数其中伽玛函数 通过积分通过积分0,)(01xdttexxt)(x注注.2 ,2.2 ,21),1(.2 ,21)1(1222222 nXXXniiii可加性知可加性知再由再由即即由定义由定义分布分布就是就是已知已知数理统计数理统计),(2N1. 设设 相互独立相互独立, 都服从正态分布都服从正态分布nXXX,21则则)()(121222nXnii).(21221nnXX 则则

21、),(),(222121nXnX这个性质叫这个性质叫 分布的可加性分布的可加性.2分布的性质分布的性质2 ,),(22充充分分大大时时则则当当 nn 3若若的的分分布布nnX2 近似正态分布近似正态分布N(0,1).(应用中心极限定理可得应用中心极限定理可得 ) 2设设 且且X1,X2相互独立，相互独立， 数理统计数理统计E(X)=n, D(X)=2n.,),(.222分分布布的的数数学学期期望望与与方方差差若若 n1)()(),1 , 0(2 iiiXDXENX故故事实上，由事实上，由213)()()(2242 iiiXEXEXD.2)()(,)()(122122nXDDnXEEniinii

22、 数理统计数理统计分布的分位点分布的分位点2. 5 )(222)()(ndyyfnP, 10 ，对于给定的正数对于给定的正数称满足条件称满足条件.382.34)25()(.)()(20.1222 可通过查表求，例可通过查表求，例如图所示如图所示分位点，分位点，分布的上分布的上为为的点的点nnn)(2n 数理统计数理统计概率密度函数为：概率密度函数为： tntnnnthn212)1()2(2)1()( 定义定义: 设设XN(0,1) , Y , 且且X与与Y相互相互 独立，则称变量独立，则称变量nYXt 所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为 n的的 t 分布分布.)(2n2、t 分布分布

23、).(ntt记为记为分布的分布的分布又称为学生氏分布分布又称为学生氏分布)(. ntt数理统计数理统计分布的性质：分布的性质：t)2()2()(, 0)(),(. 1 nnntDtEntttn与与方方差差为为：其其数数学学期期望望分分布布的的具具有有自自由由度度为为.21)(lim,.0. 222tnethntt 函函数数的的性性质质有有由由再再分分布布概概率率密密度度的的图图形形，其其图图形形近近似似于于标标准准正正态态充充分分大大时时当当对对称称分分布布的的密密度度函函数数关关于于).1 , 0(Ntn近似近似足够大时，足够大时，即当即当数理统计数理统计.)()(如图所示如图所示分位点分位

24、点分布的上分布的上为为的点的点 ntnt)(nt )()()(ntdtthnttp称满足条件称满足条件，对于给定的对于给定的分布的分位点分布的分位点, 10. 3 t数理统计数理统计)(nt )()(1ntntt 分位点的性质：分位点的性质：分布的上分布的上.1315. 2)15()(025. 0 tntt求得，例求得，例可查表可查表分位点分位点分布的上分布的上 zntn)(45的值，可用正态近似的值，可用正态近似时，对于常用的时，对于常用的当当请看演示请看演示t 分布分布数理统计数理统计由定义可见，由定义可见，3、F分布分布121nUnVF F(n2,n1),(),(2212nVnU 定义定

25、义: 设设 U 与与V 相互相互独立，则称随机变量独立，则称随机变量服从服从自由度为自由度为n1及及 n2 的的F分布分布，n1称为称为第自第自由度由度，n2称为称为第二自由度第二自由度，记作，记作21nVnUF FF(n1,n2) .数理统计数理统计即它的数学期望并不依赖于第一自由度即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1. 0001)()()()()()(2222221211211212121yyyyynnnnnnnnnnnn1.F分布的数学期望为分布的数学期望为:2)(22 nnFE若若n22若若FF(n1,n2)， F的概率密度为的概率密度为分分布布的的性性质质F数理统计数理统计 ),(

26、21nnF 2.F分布的分位数分布的分位数称满足条件称满足条件，对于给定的对于给定的, 10 ),(2121)(),(nnFdyynnFFp.),(),(2121如图所示如图所示分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点 nnFnnF分位点的性质：分位点的性质：分布的上分布的上 F),(1),(12211nnFnnF 357. 080. 21)12, 9(1)9 ,12(,.05. 095. 0 FFF例例分位点可查表求得分位点可查表求得分布的上分布的上数理统计数理统计三、几个重要的抽样分布定理三、几个重要的抽样分布定理有有和样本方差和样本方差则样本均值则样本均值来自总体的一个样本，来自总体的一

27、个样本，是是，方差为，方差为的均值为的均值为设总体设总体2212,XSXXXXn 2(),(),E XD Xn 22)( SE数理统计数理统计 当总体为当总体为正态分布正态分布时，给出几个重要的抽样分时，给出几个重要的抽样分布定理布定理. niiXnXnEsE122211)(事实上事实上 niiXnEXEn122)()(11 21222211 ninnn数理统计数理统计 定理定理 1 (样本均值的分布样本均值的分布) 设设 X1, X2, , Xn 是来自正态总体是来自正态总体),(2 N的样本，的样本， 是样本均值，则有是样本均值，则有),(2nNX ) 1 , 0( NnX 即即X数理统计

28、数理统计01( , )XNn n取不同值时样本取不同值时样本均值均值 的分布的分布X请注意请注意 :.X2本均值本均值可用本定理计算样可用本定理计算样时，时，在已知总体在已知总体 ),(2nNX 数理统计数理统计 定理定理 2 (样本方差的分布样本方差的分布) 1() 1() 1 (222nSn 设设X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差, 则有则有.)2(2独独立立与与SXn取不同值时取不同值时 的分布的分布22) 1(Sn 数理统计数理统计 定理定理 3 (样本均值的分布样本均值的分布) 设设X1,X2

29、,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有) 1(ntnSX 且相互独立且相互独立分布的定义可得分布的定义可得、由定理由定理证证)1()1(,)1 , 0(t2,1222 nSnNnX)1()1(22 ntSnnX则则.X2本均值本均值时，可用本定理计算样时，可用本定理计算样，在未知总体在未知总体 数理统计数理统计 定理定理 4 (两总体样本均值差、样本方差比的分布两总体样本均值差、样本方差比的分布) ) 2(112) 1() 1()(221212122221121 nntnnnnSnSnYX、，设),(),(

30、2221 NYNXYX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,1nX是来自是来自X的样本的样本,是取自是取自Y的样本的样本,这两个样本的样本方差这两个样本的样本方差,则有则有2221SS 和Y1,Y2,2nY样本均值，样本均值，分别是分别是)1, 1(12122222121 nnFSS、数理统计数理统计四、例题四、例题例例1.57. 522)1(.5 .12,25),12(22 SXNX未止，但已知样本方差未止，但已知样本方差）；（；（知知已已如果如果的概率的概率大于大于求样本均值求样本均值的样本的样本抽取容量为抽取容量为服从正态分布服从正态分布设总体设总体解解

31、 2512125 .122512125 .12)1(XPXP1063. 0)25. 1(125. 14 . 012 XP 059. 1255 .1225125 .12)2( TPSSXPXP .15. 05 .12.15. 0059. 1,059. 1)24(,2415. 0 XPTPtt故故有有即即分分布布表表的的查查自自由由度度为为数理统计数理统计例例2.85. 2)(2;401.,)5 . 0 ,(101210121012 iiiiXXpXpXXN）未知，求概率）未知，求概率（，求概率，求概率）已知）已知（中抽取样本中抽取样本从正态总体从正态总体解解)10(5 . 01)1 , 0(5

32、. 00)1(2101222 iiiXYNX，则，则有有，由由 165 . 045 . 01421012221012 YpXpXpiiii数理统计数理统计.10. 04.16)10(1012210. 0 iiXp由此可得由此可得查表求查表求)9()(5 . 015 . 092)2(22101222 iiXXSZ，由题设及定理由题设及定理 10122210125 . 085. 2)(5 . 0185. 2)(iiiiXXpXXp 4 .112 ZP由此可求得由此可求得查表得查表得, 4 .11)9(225. 0 .25. 085. 2)(1012 iiXXp数理统计数理统计例例3).()(),(

33、2,1,)(211SEXDXEXXXXnn和和）计算）计算（的概率分布；的概率分布；）写出）写出（是一个样本：是一个样本：，设总体服从泊松分布设总体服从泊松分布 解解 0, 2 , 1 , 01 iixiixexxXPi）由于）由于（的概率分布为的概率分布为因此样本因此样本nXX,1 niniixnixxeexniii11!1 niiixXP1数理统计数理统计例例4.)()(,6)1 , 0(226542321621分布分布服从服从，使随机变量，使随机变量试决定常数试决定常数设设，的样本的样本量为量为，从此总体中取一个容，从此总体中取一个容若总体若总体 CYCXXXXXXYXXXNXnnXDX

34、DXEXEXDXE )()(,)()(,)()()2(则有则有由于，由于， niiXXnESE122)(11)(数理统计数理统计)2(33312232123212 XXXXXXY分布的性质可知分布的性质可知由由.31 C故故解解)1 , 0(3)3 , 0(321321NXXXNXXX 所以所以因为因为)1(322321 XXX从而从而)1(322654 XXX同理可知同理可知数理统计数理统计五、五、课堂练习课堂练习 .10),min(;15),max(211.,5)4 ,12(1543215432151 XXXXXPXXXXXPXXN）求概率）求概率（的概率；的概率；值之差的绝对值大于值之差

35、的绝对值大于）求样本均值与总体均）求样本均值与总体均（的样本的样本中随机抽一容量为中随机抽一容量为、在总体、在总体不是统计量，为什么？不是统计量，为什么？哪些哪些之中哪些是统计量之中哪些是统计量试指出试指出的简单随机样本的简单随机样本是来自是来自数，数，是未知参是未知参，其中，其中服从两点分布服从两点分布、设总体、设总体,)( ,2,max,.,), 1(22155512151XXpXXXXXXXppbXii 数理统计数理统计.,5103251的的期期望望值值样样本本的的方方差差和和并并求求样样本本的的均均值值的的和和分分布布的的样样本本容容量量为为表表示示取取到到黑黑球球，求求表表示示取取到

36、到白白球球，取取球球，令令的的个个黑黑球球的的罐罐子子里里有有放放回回、从从装装有有一一个个白白球球，两两SXXXXX 数理统计数理统计解解1 2628. 052225252152152125211112),54,12()1( XPXPBX有有由由 2923. 0)5 . 1(1)5 . 1(121215212115115,15,15,15,15115),max(115),max()2(5515151543215432154321 iiiiiXPXPXXXXXPXXXXXPXXXXXP数理统计数理统计 5785. 0)1(1)1(11212102121110110,10,10,10,10110),min(110),min()3(5515151543215432154321 iiiiiXPXPXXXXXPXXXXXPXXXXXP解解2.2)( ,max,52155121是是未未知知数数）不不是是统统计计量量（因因为为都都是是统统计计量量，但但ppXXXXXXii 数理统计数理统计解