椭圆的标准方程

1、相 框 神州六号搭乘两名航天员从酒泉卫星发射中心发射神州六号搭乘两名航天员从酒泉卫星发射中心发射升空升空,运行在轨道倾角运行在轨道倾角42.4度度,近地点高度近地点高度200千米千米,远地点远地点高度高度347千米的椭圆轨道上运行了千米的椭圆轨道上运行了5圈。圈。 1.1.动点满足什么条件时，动点的轨迹是椭圆。动点满足什么条件时，动点的轨迹是椭圆。2.2.焦点在焦点在X X轴上的椭圆的标准方程式怎样的？轴上的椭圆的标准方程式怎样的？焦点在焦点在Y Y轴上的椭圆的标准方程是怎样的？轴上的椭圆的标准方程是怎样的？a,b,ca,b,c的的关系是怎样的？关系是怎样的？3.3.如何从椭圆的标准方程的结构

2、判断焦点所在如何从椭圆的标准方程的结构判断焦点所在坐标轴的位置？坐标轴的位置？ 学 习目标(1)取一条细绳，取一条细绳，(2)把它的两端固定在板上的两点把它的两端固定在板上的两点F1、F2(3)用铅笔尖（用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形看看画出的图形1视笔尖为动点，两个视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？其轨迹如何？2改变两图钉之间的距改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？出的图形还是椭圆吗？3绳长能小于两图钉之绳长

3、能小于两图钉之间的距离吗？间的距离吗？ 4.请给椭圆下定义。请给椭圆下定义。 椭圆的定义椭圆的定义2. 改变两点之间的距离，使其与绳改变两点之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？长相等，画出的图形还是椭圆吗？3绳长能小于两点之间的距离吗？绳长能小于两点之间的距离吗？ 练习练习.用定义判断下列动点用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。的轨迹是否为椭圆。(1)到到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为的距离之和为6的点的轨迹。的点的轨迹。(2)到到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为的距离之和为4的点的轨迹。的点的轨迹。(3)到到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和

4、为的距离之和为3的点的轨迹。的点的轨迹。解解 (1)因因|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=4，故点，故点M的轨迹为椭圆。的轨迹为椭圆。(2)因因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点，故点M的轨迹不是椭的轨迹不是椭圆圆(是线段是线段F1F2)。，故故点点MM的的轨轨迹迹为为椭椭圆圆2 22 2| |F FF F| |3 3| |MMF F| | |MMF F| |因因2 21 12 21 1 (3):(1)若|MF1|+|MF2|F1F2|,M点轨迹为椭圆. (3)若|MF1|+|MF2|F1F2|=2c）aMFMF221(2a2c)回忆求曲线方程推导步骤 提出了问题就要试着

5、解决问题.怎么推导椭圆的标准方程呢？ 求动点轨迹方程的一般步骤：求动点轨迹方程的一般步骤：1、建立适当的坐标系，用有序实数对、建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点）表示曲线上任意一点M的坐标的坐标;2、写出适合条件、写出适合条件 P（M） ;3、用坐标表示条件、用坐标表示条件P（M），列出方程），列出方程 ; 4、化方程为最简形式。、化方程为最简形式。 探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyMOxy原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； ( (一般

6、利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴直线作为坐标轴.).)(对称、对称、“简简洁洁”)xF1F2( (x , y) )0y设P (x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距|F1F2|=2c(c0)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a2c) （问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？）aPFPF2|21222221)(| ,)(|ycxPFycxPFaycxycx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件由椭圆的定义得，限制条件：由于由于得方程得方程222222bayaxb 2

7、2ba两边除以两边除以 得得).0(12222babyax设所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由椭圆定义可知由椭圆定义可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项，再平方移项，再平方椭圆的标准方程.)0( 1 2222轴上的椭圆的标准方程即为焦点在方程xbabyaxxyF1F2所谓椭圆的标准方程，一定是所谓椭圆的标准方程，一定是焦点在坐标轴上，且两焦点的焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点。

8、中点为坐标原点。1A2FM1Fxyo1B2A2Bacbc思考：在图形中，思考：在图形中，a,b,c分别代表哪段分别代表哪段的长度？的长度？它表示：它表示： 椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴轴 焦点坐标为焦点坐标为F1（-C，0）、）、F2（C，0） c2= a2 - b2 ) 0(12222babyaxF1F2M0 xyaycxycx2)()(222222221.153xy ，则a ，b ；53口答：则a ，b ；则a ，b 37 169. 222yx6 147. 322yx2变变 式式迁迁 移移例例1.练习22121.1_459xyFF椭圆表示到焦点和_的距离和为常数_的椭圆122.1( 3,0

9、),(3,0)F求满足下列条件的椭圆的标准方程（）.a=5,F2（ ）a=5,c=3椭圆的标准方程椭圆的标准方程)0(12222babxay它表示它表示: 椭圆的焦点在椭圆的焦点在y轴轴 焦点是焦点是F1（0，-c）、）、 F2（0，c） c2= a2 - b2 xMF1F2yaxcyxcy2)()(2222例二.已知椭圆的方程为 求椭圆的焦点坐标。22412,xy变式：将方程改为 ，还是椭圆吗？22412,xky（1）.表示圆时，k的值为多少？（2）表示椭圆时，求k的取值范围？（3）什么时候表示焦点在X轴上的椭圆？练习练习1：若方程：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在表示的曲线是焦点

10、在y轴轴上的椭圆，求上的椭圆，求k的取值范围。的取值范围。1141142222kyxkyx得解：由方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆41k1解之得：0k4k的取值范围为0k 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于F1F2）的点的轨迹）的点的轨迹12- , 0 , 0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程标准方程不不 同同 点点相相 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系焦点位置的判断焦点位

11、置的判断xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO椭圆椭圆标准方程的再认识：标准方程的再认识：1.求适合下列条件的椭圆方程1.a a4 4，b b3 3，焦点在，焦点在x x轴上；轴上；2.b=1， ，焦点在y轴上15c3 3、若椭圆满足、若椭圆满足: a: a5 , c5 , c3 , 3 , 求它的标准方程。求它的标准方程。 两个焦点分别是 (-2，0)， (2，0)，且过点P1F2F),62 , 3(例例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：、求适合下列条件的椭圆的标准方程：法一: c=2法二: c=2 设椭圆标准方程为:12222byax2a=P +P 2F1F例例3椭圆的两个焦点

12、的坐标分别是（椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0）,（4，0），），椭圆椭圆上一点上一点M到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。，求椭圆的标准方程。 迅速在练习本上写出过程迅速在练习本上写出过程,和答案对照和答案对照讲评例题讲评例题1 12 2yoFFMx.解：解： 椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上设它的标准方程为设它的标准方程为: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为 ) 0( 12222babyax192522yx题型二已知焦点位置求椭圆标准方程题型二已知焦点位置求椭圆标准方程分析：分析：求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定出适合题意的椭圆标准方程的形式，最后置，确定出适合题意的椭圆标准方程的形式，最后由条件确定出由条件确定出a和和b即可即可 栏目链接栏目链接变变 式式训训 练练2 2求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)(1)两个焦点的坐标分别为两