计算方法七常微分方程的数值解法ppt课件

1、第6章 常微分方程的数值解法 0)(),(uaubtautfu0( )( , ( )dtau tufuuuLutfutf),(),(考虑常微分方程的初值问题考虑常微分方程的初值问题 (6-1) (6-2)那么那么6-16-1的解存在且唯一。的解存在且唯一。 或与其等价的积分方程或与其等价的积分方程 ，对任意),( utfL,bat 满足Lipschitz条件，即存在常数，均有，均有假设假设 它是一种离散化方法，利用这种方法，可以在一系列事先取定的 中的离散点称为节点）,babtttan21)(tu)(,),(),(21Ntututu上求出未知函数上求出未知函数之值之值的近似值的近似值Nuuu,

2、21Nuuu,21。而通常称为初值问题的数值解。通常称为初值问题的数值解。 首先我们利用数值积分公式建立求解6-1或6-2的数值方法。 什么是数值解法？（通常取成等距，即（通常取成等距，即称为步长）称为步长）Niihtti, 1,00h其中其中hnatn,NabhNn, 2, 1, 06.1.1 基于数值积分的解法 由由6-2），）， 将节点取为将节点取为001)()(,()()(1utudttutftutunnttnn（6-3）的近似值的近似值)(ntunu)(1ntu.1nu 假设的近似值的近似值已经求出，则通过计算已经求出，则通过计算(6-3)右端右端项的数值积分可求出项的数值积分可求出

3、1)(,()()(1nnttnndttutftutu),(1nnnnutfhuu1, 2, 1, 0Nn 首先，对(6-3)右端积分项使用左矩形求积公式，则得令令 上式称为上式称为Euler求解公式，又称矩形公式。求解公式，又称矩形公式。 (6-4) (6-4)一、一、EulerEuler法法)(,()(nnntutfhtu 欧欧 拉拉 Lonard Euler Lonard Euler 莱昂纳尔莱昂纳尔欧拉欧拉Lonard Euler, Lonard Euler, 1707170717831783是历史上著作最多的数是历史上著作最多的数 学家，被同时代的人称为学家，被同时代的人称为“分析的化

4、身分析的化身”。人们评价他：人们评价他：“欧拉计算毫不费力欧拉计算毫不费力 ，就像人呼吸、或者鹰在风中保持平衡一，就像人呼吸、或者鹰在风中保持平衡一样样”，欧拉，欧拉-算法学家，为解决特算法学家，为解决特 殊类型的问题设计殊类型的问题设计“算法的数学家。算法的数学家。 欧拉的数学事业开始于牛顿去世的那欧拉的数学事业开始于牛顿去世的那一年一年17271727年）。他在年）。他在17481748年、年、 1755 1755年和年和1768176817701770所著关于微积分的伟所著关于微积分的伟大论著大论著( (无穷小分析引论、无穷小分析引论、 微分学原理、积分学原理微分学原理、积分学原理) )

5、，立即，立即就成为了经典著作，并且在四分就成为了经典著作，并且在四分 之三个世纪中，继续鼓舞着想成为大数学之三个世纪中，继续鼓舞着想成为大数学家的的年轻人。家的的年轻人。 欧拉欧拉17071707年年4 4月月1515日出生于瑞士的巴塞尔，其父是牧师，欧拉日出生于瑞士的巴塞尔，其父是牧师，欧拉是能在任何地方、任何条件下工作的几个大数学家之一。他常常是能在任何地方、任何条件下工作的几个大数学家之一。他常常抱着一个婴儿写作他的论文，同时稍大一点的孩子们在他周围嬉抱着一个婴儿写作他的论文，同时稍大一点的孩子们在他周围嬉戏着。听说，在家人两次叫他吃饭的半个小时左右的间隔中，他戏着。听说，在家人两次叫他

6、吃饭的半个小时左右的间隔中，他就能草就一篇数学文章。就能草就一篇数学文章。 欧拉是为月球问题形成一个可计算解月球理论的第一人。欧拉是为月球问题形成一个可计算解月球理论的第一人。 在生命最后在生命最后1717年中他完全失明，这并没有妨碍他的无以伦比的年中他完全失明，这并没有妨碍他的无以伦比的多产的；他既靠视觉又靠听觉记忆。它还有惊人的心算本领，不多产的；他既靠视觉又靠听觉记忆。它还有惊人的心算本领，不仅心算算术类型的问题，也心算高等代数和微积分学中要求的更仅心算算术类型的问题，也心算高等代数和微积分学中要求的更难的问题。他那个时代整个数学领域中的全部主要公式，都精确难的问题。他那个时代整个数学领

7、域中的全部主要公式，都精确地储藏在他的记忆中。地储藏在他的记忆中。 欧拉直到他临终的那一刻仍然神志清醒、思想敏捷，他享年欧拉直到他临终的那一刻仍然神志清醒、思想敏捷，他享年7777岁，于岁，于17831783年年9 9月月1818日去世。那天下午她计算气球上升的规律消遣日去世。那天下午她计算气球上升的规律消遣像往常一样，在他的石板上计算，然后他和家人一起吃晚饭。像往常一样，在他的石板上计算，然后他和家人一起吃晚饭。天王星是新近发现的，欧拉略述了对它的轨道的计算。过了一会天王星是新近发现的，欧拉略述了对它的轨道的计算。过了一会儿，他让人把他的孙子带进来。在与孩子玩和喝茶的时候，欧拉儿，他让人把他

8、的孙子带进来。在与孩子玩和喝茶的时候，欧拉突然中风。烟斗从他的手里掉下来，他说了一句突然中风。烟斗从他的手里掉下来，他说了一句“我死了我死了”，就中，就中止了他的生命和计算。止了他的生命和计算。22100)(uttu)(tu3 . 0t3u的解的解在在处的数值解处的数值解 。 小数点后保留小数点后保留4位）。位）。 例：例：（取步长（取步长 1 . 0h，0)0(u解：解： 相应的相应的Euler公式：公式：221100nnnnuthuu由初值由初值0)0(0 uu，计算得，计算得) 1 . 0(u2) 2 . 0(uu221001 . 0nnnutu1u0 . 01000 . 01 . 00

9、 . 00000. 0202001001 . 0utu0 . 01001 . 01 . 00 . 020010. 0212111001 . 0utu3) 3 . 0(uu220010. 01002 . 01 . 00 . 00051. 0222221001 . 0ututuo 00utu tu1t2t 1tu 2tu1u2uNt hutfhtu000,hutfuu0001,hutfhu111,hutfuu1112,EulerEuler法切线法的几何解释法切线法的几何解释)(,()()(,()()(1111nnnttnntutfhtudttutftutunn),(111nnnnutfhuu1,

10、2, 1, 0Nn隐隐Euler法法 首先，对首先，对(6-3)右端积分项使用右矩形求积公式，则得右端积分项使用右矩形求积公式，则得令令 上式称为隐上式称为隐Euler公式，又称右矩形公式。公式，又称右矩形公式。 (7-4) (7-4)(,()(,(2)(,(111nnnntttutftutfhdttutfnn)(,()(,(2)()(111nnnnnntutftutfhtutu),(),(2111nnnnnnutfutfhuuNn, 2, 1, 0二、梯形法对(6-3)右端的积分使用梯形求积分式计算，则得则得令令上式称为梯形公式，简称梯形法上式称为梯形公式，简称梯形法 (6-5) (6-5)

11、将将EulerEuler公式与隐式公式与隐式EulerEuler公式做算术平均，也可得出梯形公式公式做算术平均，也可得出梯形公式二、梯形法二、梯形法 对(7-3)右端的积分使用梯形求积分式计算，则得令),(),(2111nnnnnnutfutfhuuNn, 2, 1, 0 ， (6-5)上式称为梯形求解公式，简称梯形法上式称为梯形求解公式，简称梯形法 )(1ntu)(ntu1)(,(nnttdttutf)(,()(,(211nnnntutftutfh)(,()(,(211nnnntutftutfh),(),(211nnnnnutfutfhu 梯形公式与Euler公式相比要精确的多，但是梯形公式

12、的计算量要大一些。每步计算要解一个关于 的非线性方程，从而要用如下迭代公式：1nu ),(),(21111knnnnnknutfutfhuu, 2, 1, 0k取初值为取初值为 ，反复迭代，即，反复迭代，即 nnuu011nu011223 01nu 11nu 21nu， ， 若序列 收敛于 ，当 时，得到： 01kknu *1nuk ),(),(2*11*1nnnnnnutfutfhuu则取则取 为第为第 个近似值。个近似值。 1nu *1nu1n如此迭代下去得到迭代序列：如此迭代下去得到迭代序列： knu1， knknuu111为终止条件，此时取为终止条件，此时取 作为作为 的近似值的近似值

13、 。 11knu)(1ntu1nu为了避免求解非线性代数方程，可以用为了避免求解非线性代数方程，可以用EulerEuler法将它显化，法将它显化， (6-6) 0u1uNu1u2u2uNu),(1nnnnuthfuu),(),(2111nnnnnnutfutfhuu00)(utu建立预测建立预测校正系统：校正系统：求解公式求解公式(6-6)(6-6)称为改进的称为改进的EulerEuler法，其中法，其中 称为预测值，称为预测值，1nu称为校正值称为校正值. . 1nu其求解顺序为：其求解顺序为：改进的改进的EulerEuler法还可写成如下形式：法还可写成如下形式：),(,(),(211nn

14、nnnnnnutfhutfutfhuu(6-7) 假设假设 关于关于 是线性函数，则隐式公式可以显式化。是线性函数，则隐式公式可以显式化。)(,(tutfu 例，若方程为：例，若方程为： 5)(uttu 后Euler公式： )5(111nnnnuthuuhthuunnn1115Nn, 2, 1, 0， 梯形公式：梯形公式： 102111nnnnnnututhuuhuththunnnn52121111Nn, 2, 1, 0三、三、Milne公式公式若在区间上，对若在区间上，对(6-2)(6-2)右端的使用右端的使用 Simpson Simpson求积公式，得求积公式，得 dttutfnntt2)

15、(,(令令 ),(,4),(6211222nnnnnnnnutfutfutfhuu(6-8) (6-8)(6-8)可写成可写成nnnnnfffhuu12243(6-9) 其中其中 ),(222nnnutff此为二步方法，需要已知此为二步方法，需要已知 和和 ，才能由，才能由(6-9)(6-9)计算出计算出 的值。二步以上的方法也称为多步法。的值。二步以上的方法也称为多步法。 nu1nu2nu),(111nnnutff),(nnnutff )(,(,4)(,(611222nnnnnnnntutftutftutftt衡量求解公式好坏的一个主要标准是求解公式的精度。衡量求解公式好坏的一个主要标准是求

16、解公式的精度。定义定义 假设假设 ， ，则称，则称)(iituu 1, 2, 1, 0ninnnutuhR)()(为求解公式第为求解公式第 n n 步的局部截断误差。步的局部截断误差。定义定义 niinnnhRutuhE1)()()(为求解公式在为求解公式在 点上的点上的nt整体截断误差。整体截断误差。nt1ntt tu nnutu1ntu1nu111)()(nnnutuhR hEn 1o 如果设某求解公式的局部截断误差：)()(1pnhOhR这样我们就称该求解公式具有这样我们就称该求解公式具有 p p 阶精度。阶精度。)()(pnhOhE则我们可以证明其整体截断误差为：则我们可以证明其整体截

17、断误差为：事实上，假设事实上，假设niinhRhE1)()(niphO11)(niphOh1)(nhOhp)(nTnhOp)()(phO),()(1pihOhR, 2, 1ni那么那么 求解公式的精度越高，计算解的精确性可能越好。通过简单的分析，可知Euler法具有一阶精度，梯形法具二阶精度。 ),(111nnnnutfhutu下面利用下面利用TaylorTaylor展开，求展开，求EulerEuler法的局部截断误差法的局部截断误差nnnutuhR)()( 111,nnnntutfhtutu 11nnntuhtutu 31211! 2hOtuhtuhtunnn11nntuhtu 312! 2hOtuhn 3hO 欧拉欧拉Leonard Euler, Leonard Euler, 公元公元1707-17831707-1783年），历史上最年），历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、高斯一起被称为有伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、高斯一起被称为有史以来贡献最大的四位数学家史