数字电子技术第一章

1、第第2章章 逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是关系，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述。用逻辑代数来描述。2. 1 概概 述述 不同的数码不仅可以表示数量，亦可表示两种不不同的数码不仅可以表示数量，亦可表示两种不同的事物。而事物往往存在两种对立的状态，如可用同的事物。而事物往往存在两种对立的状态，如可用1和和0表示是非、真伪、好坏、电路的通和断、电灯的表示是非、真伪、好坏、电路的通和断、电灯的亮和灭等。这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系称亮和灭等。这种只

2、有两种对立逻辑状态的逻辑关系称为为二值逻辑。二值逻辑。逻辑代数逻辑代数就是按一定的逻辑关系进行运算的代数，就是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数里，是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数里，只有只有和和两种逻辑值，有两种逻辑值，有三种基本逻三种基本逻辑运算，还有辑运算，还有几种导出几种导出逻辑运算。逻辑运算。 逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑和逻辑1，0 和和 1 称为称为，并不表示数量的大小，而是表，并不表示数量的大小，而

3、是表示两种对立的示两种对立的。2.2.1 基本逻辑函数及运算基本逻辑函数及运算1 1、与逻辑（与运算）、与逻辑（与运算）与逻辑的定义：仅当决定事件（与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有）发生的所有条件（条件（A，B，C，）均满足时，事件（）均满足时，事件（Y）才能发）才能发生。表达式为：生。表达式为：开关开关A，B串联控制灯泡串联控制灯泡Y电路图L=ABEABY2.2逻辑函数及其表示法逻辑函数及其表示法EABYEABYEABYEABY两个开关必须同时接通，两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表达式为：灯才亮。逻辑表达式为：A、B都断开，灯不亮。都断开，灯不亮。A断开、断开、B接通，灯不亮。

4、接通，灯不亮。A接通、接通、B断开，灯不亮。断开，灯不亮。A、B都接通，灯亮。都接通，灯亮。 这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表。来的表格叫做真值表。 将开关接通记作将开关接通记作1，断开，断开记作记作0；灯亮记作；灯亮记作1，灯灭记，灯灭记作作0。可以作出如下表格来描。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：述与逻辑关系：A BY0 00 11 01 10001开关 A 开关 B灯 Y断开 断开断开 闭合闭合 断开闭合 闭合灭灭灭亮功能表功能表 实现与逻辑的电实现与逻辑的电路称为与门。与门路称为与门。与门的逻辑符号：的逻辑符号

5、：真真值值表表逻辑符号逻辑符号2 2、或逻辑（或运算）、或逻辑（或运算）或逻辑的定义：当决定事件（或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条）发生的各种条件（件（A，B，C，)中，中，只要有一个或多个条件具备，只要有一个或多个条件具备，事件（事件（Y）就发生。表达式为：）就发生。表达式为：开关开关A，B并联控制灯泡并联控制灯泡Y电路图L=ABEABYEABYEABY两个开关只要有一个接通，两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：灯就会亮。逻辑表达式为：A、B都断开，灯不亮。都断开，灯不亮。A断开、断开、B接通，灯亮。接通，灯亮。A接通、接通、B断开，灯亮。断开，灯亮。A、B都接通，灯亮

6、。都接通，灯亮。EABYEABYA BY0 00 11 01 10111 实现或逻辑的电实现或逻辑的电路称为或门。或门路称为或门。或门的逻辑符号：的逻辑符号：真值表真值表开关 A 开关 B灯 Y断开 断开断开 闭合闭合 断开闭合 闭合灭亮亮亮功能表功能表逻辑符号逻辑符号3 3、非逻辑（非运算）、非逻辑（非运算）非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：满足，事件反而发生。表达式为：开关开关A控控制灯泡制灯泡YAY0110 实现非逻辑的电实现非逻辑的电

7、路称为非门。非门路称为非门。非门的逻辑符号：的逻辑符号： A断开，灯亮。断开，灯亮。 A接通，灯灭。接通，灯灭。真真值值表表功功能能表表逻辑符号逻辑符号开关 A灯 Y断开闭合亮灭1、与非运算：逻辑表达式为：、与非运算：逻辑表达式为：()YAB A BY0 00 11 01 11110 真值表2、或非运算：逻辑表达式为：、或非运算：逻辑表达式为：()YA B A BY0 00 11 01 11000 真值表2.2.2几种导出的逻辑运算几种导出的逻辑运算3、异或运算：逻辑表达式为：、异或运算：逻辑表达式为：YABABABA B Y 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 真值表 4、同或运

8、算：逻辑表达式为：、同或运算：逻辑表达式为：YAB A BA B A B Y 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 真值表 ()YABCD 5、 与或非运算：逻辑表达式为：与或非运算：逻辑表达式为：一、逻辑函数的建立：2.2.3 逻辑函数及其表示法逻辑函数及其表示法 P291、逻辑表达式：逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非由逻辑变量和与、或、非3种种运算符连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中，运算符连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中，等式右边的字母等式右边的字母A、B、C、D等称为输入逻辑变量，等称为输入逻辑变量，等式左边的字母等式左边的字母Y称为输出逻辑变量，字母上面没称为输出逻

9、辑变量，字母上面没有非运算符的叫做原变量，有非运算符的叫做反变有非运算符的叫做原变量，有非运算符的叫做反变量。量。2、逻辑函数：逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量如果对应于输入逻辑变量A、B、C、的每一组确定值，输出逻辑变量的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确就有唯一确定的值，则称定的值，则称Y是是A、B、C、的逻辑函数。记为的逻辑函数。记为( , ,)YF A B C：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变量还是函数，其取值都只能是管是变量还是函数，其取值都只能是0或或1，并且这里，并且这里的的0和和1只表示两种不同的状态，没有数量的含义。只表示两种

10、不同的状态，没有数量的含义。二、逻辑函数的表示方法二、逻辑函数的表示方法1、真值表、真值表 2、逻辑函数式、逻辑函数式 3、逻辑图、逻辑图 4、波形图、波形图例：已知一逻辑函数的真值表如下表所示，试写出它例：已知一逻辑函数的真值表如下表所示，试写出它的逻辑函数式。的逻辑函数式。ABC Y000 0001 0010 0011 1100 0101 1110 1111 0A BCAB CABC函数真值表函数真值表通过真值表可以直接写出逻辑函数表达式。方法是通过真值表可以直接写出逻辑函数表达式。方法是将真值表中将真值表中Y为为 1 对应的输入变量相与，取值为对应的输入变量相与，取值为 1 用原用原变量

11、表示，变量表示，0 用反变量表示，用反变量表示， 将这些与项相加，就得到将这些与项相加，就得到逻辑表达式。这样得到的逻辑函数表达式是标准逻辑表达式。这样得到的逻辑函数表达式是标准与或与或逻辑式。逻辑式。解：由真值表可见，只有当解：由真值表可见，只有当A、B、C三个输入变量中两三个输入变量中两个同时为个同时为1时，时，Y才为才为1。 即：即：A=0、B=1、C=1 A=1、B=0、C=1 A=1、B=1、C=01A BC1AB C1ABC 因此，因此，Y的逻辑函数应当等于这三个乘积项之和，即：的逻辑函数应当等于这三个乘积项之和，即：YA BCAB CABC逻辑图逻辑图 将逻辑函数式中各变将逻辑函

12、数式中各变量之间的与或非等逻辑关量之间的与或非等逻辑关系用图形符号表示出来即系用图形符号表示出来即可画出表示函数关系的逻可画出表示函数关系的逻辑图。辑图。波形图波形图 将逻辑函数将逻辑函数输入变量输入变量每一种可能出现的取值与每一种可能出现的取值与对应的输出值按时间顺序对应的输出值按时间顺序依次排列起来，既为逻辑依次排列起来，既为逻辑函数的波形图，也称时序函数的波形图，也称时序图。图。2.3逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数的基本定律和规则2.3.1逻辑代数的公式逻辑代数的公式（1）常量之间的关系）常量之间的关系（2）基本公式）基本公式 分别令分别令A=0及及A=1代入这些公式，代入这些公式，即

13、可证明它们的即可证明它们的正确性。正确性。交换律：ABBAABBA结合律：)()()()(CBACBACBACBA利用真值表很容易证明利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如这些公式的正确性。如证明证明AB=BA：2.3.2逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律与普通代与普通代数相似数相似(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配律分配律1 1式式A( (B+ +C)=)=AB+ +AC=A+AB+AC+BC等幂律等幂律AA= =A=A(1+B+C)+BC分配律分配律A( (B+ +C)=)=AB+ +AC=A+BC0-10-1律律A+1=1+1=1证明分配律：A+BC=(A+B)(A+C

14、)证明：证明：)(1BA BA 分配律分配律A+ +BC=(=(A+ +B)()(A+ +C) )互补律互补律A+ +A =1=10-10-1律律A1=11=1ABA CABCDA BCD()ABA CAA BCD互补律互补律A+ +A=1=1分配律分配律A( (B+ +C)=)=AB+ +AC(1)(1)ABCDACBDABA C0-10-1律律A+1=1+1=1(2) ()()AABA AB : (1) ()()A ABA AB证明A B德德 摩根定律摩根定律AAA B德德 摩根定律摩根定律分配律分配律吸收律吸收律分配律分配律*关于异或的几条性质关于异或的几条性质：(了解、考研了解、考研)

15、(4)因果互换律：因果互换律：(5)常量和变量的异或运算：常量和变量的异或运算：(1)交换律：交换律：ABBA(2)结合律：结合律：()()ABCABC(3)分配律：分配律：()A BCABACACB如果如果 ，则，则ABCBCA1AA0AA0AA1AA2.3.3逻辑代数的三个重要规逻辑代数的三个重要规则则（1）代入规则代入规则：任何一个含有变量：任何一个含有变量A的等式，如果的等式，如果将所有出现将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。式仍然成立。这个规则称为代入规则。例如，已知等式例如，已知等式 (AB) =A+B，

16、用函数，用函数Y=AC代替等代替等式中的式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：，根据代入规则，等式仍然成立，即有：() )()AC BACBABC（2）反演规则反演规则：对于任何一个逻辑表达式：对于任何一个逻辑表达式Y，如，如果将表达式中的所有果将表达式中的所有“”换成换成“”，“”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，那么所得到那么所得到的表达式就是函数的表达式就是函数Y的反函数的反函数Y （或称补函数）。这（或称补函数）。这个规则称为反演规则。例如：个规则称为反演规则。例如：YABCD E()()YAB CDE()YAB CD E () )YAB CD E （3）

17、对偶规则对偶规则：对于任何一个逻辑表达式：对于任何一个逻辑表达式Y，如果，如果将表达式中的所有将表达式中的所有“”换成换成“”，“”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，而，而则可得到的一个新的函数表达式则可得到的一个新的函数表达式YD，称为，称为函数函数Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：YABCD ED()()YABCDE() )YABCDE D() )YAB CD E 对偶规则的意义在于：对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使

18、要证明及可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：要记忆的公式数目减少一半。例如：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。然后或运算，最后非运算，否则容易出错。ACABCBA)()(CABABCAA BA BA() ()ABABA本节小结逻辑代数是分析和设计数字电路的重逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可辑问题抽象为逻辑函数来描述，并

19、且可以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的分析和设计问题。分析和设计问题。与、或、非是与、或、非是3 3种基本逻辑关系，也种基本逻辑关系，也是是3 3种基本逻辑运算。与非、或非、与或种基本逻辑运算。与非、或非、与或非、异或则是由与、或、非非、异或则是由与、或、非3 3种基本逻辑种基本逻辑运算复合而成的运算复合而成的4 4种常用逻辑运算。种常用逻辑运算。逻辑代数的公式和定理是推演、变逻辑代数的公式和定理是推演、变换及化简逻辑函数的依据。换及化简逻辑函数的依据。2.4.1 最小项最小项2.4 2.4 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式1 1、逻辑函数的最小项

20、及其性质逻辑函数的最小项及其性质（1）最小项最小项：如果一个函数的某个乘积项包含：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。函数的一个标准积项，通常称为最小项。3个变量个变量A、B、C可组成可组成8个最小项：个最小项：A B CA B CA BCA BCAB CAB CABCABC 、（2）最小项的表示方法最小项的表示方法：通常用符号：通常用符号mi来表示最小来表示最小项。下标项。下标i的确

21、定：把最小项中的原变量记为的确定：把最小项中的原变量记为1，反变，反变量记为量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标是这个最小项的下标i。(此时该最小项等于此时该最小项等于mi=1)3个变量个变量A、B、C的的8个最小项可以分别表示为：个最小项可以分别表示为：01234567mABCmABCmABCmABCmABCmABCmABCmABC 、（3）最小项的性质：）最小项的性质：任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为任意一个最小项，只有一

22、组变量取值使其值为1。全部最小项的和必为全部最小项的和必为1。ABCABC任意两个不同的最小项的乘积必为任意两个不同的最小项的乘积必为0。具有具有相邻性相邻性的两个最小项之和可以合并成一项的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。并消去一对因子。 若两个最小项只有一个因子不同，则称这两个最若两个最小项只有一个因子不同，则称这两个最小项具有相邻性。小项具有相邻性。26()mmA BCABCAA BCBC m2=ABC和和m6=ABC两个最小项仅第一个因子两个最小项仅第一个因子不同，所以他们具有相邻性。这两个最小项相加时不同，所以他们具有相邻性。这两个最小项相加时定能合并成一项并将一对不同的因

23、子消去定能合并成一项并将一对不同的因子消去例如：（1）最大项最大项：如果一个函数的某个求和项包含了：如果一个函数的某个求和项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个求和项称为该函的形式出现，且仅出现一次，则这个求和项称为该函数的一个标准和项，通常称为最大项。数的一个标准和项，通常称为最大项。3个变量个变量A、B、C可组成可组成8个最大项：个最大项：A B CA B CA BCA BCAB CAB CABCABC、2.4.2 最大项最大项（2）最大项的表示方法最大项的表示方法：通常用符号：通常用符号Mi来表

24、示最大来表示最大项。下标项。下标i的确定：把最大项中的原变量记为的确定：把最大项中的原变量记为0，反变，反变量记为量记为1，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最大项的下标是这个最大项的下标i。(此时该最大项此时该最大项Mi=0)3个变量个变量A、B、C的的8个最大项可以分别表示为：个最大项可以分别表示为：01234567MABCMABCMABCMABCMABCMABCMABCMABC、（3）最大项的性质：）最大项的性质：任意一个最大项，只有一组变量取值使

25、其值为任意一个最大项，只有一组变量取值使其值为0。全部最大项之积为全部最大项之积为0。任意两个最大项之和为任意两个最大项之和为1。只有一个变量不同的两最大项之积为各相同变量之和。只有一个变量不同的两最大项之积为各相同变量之和。iiMm(4)最大项与最小项间的关系：最大项与最小项间的关系：A+B+CA+B+C3 3、逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式对于不是最小项表

26、达式的与或表达式，可利用公式AA 1 和和A(B+C)ABBC来配项展开成最小项表来配项展开成最小项表达式。达式。01237()()()(0,1,2,3,7)YABCA BBCCAA BCA BCA BCA B CA B CABCA BCA B CA B CA BCA BCABCmmmmmm 如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。A B CY最小项0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101110100m0m1m2m3m4m5m

27、6m7m1ABCm5ABCm3ABCm2ABC1235(1, 2,3,5)YmmmmmA B CA BCAB CAB C将真值表中函数值为将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。到反函数的最小项表达式。注：此处给出了求最小项的两种方法。第三种方法我注：此处给出了求最小项的两种方法。第三种方法我们在后面介绍。们在后面介绍。4 4、逻辑函数的最大项表达式逻辑函数的最大项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最大项任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最大项之积的形式，称为标准或与表达式，也称为最大项表之积的形式，称为标准或与表达式，也称为最

28、大项表达式。达式。因为任何一个逻辑函数皆可化为最小项之和的形式。因为任何一个逻辑函数皆可化为最小项之和的形式。同时，由最小项的性质知全部最小项之和为同时，由最小项的性质知全部最小项之和为1。因此，。因此，若给定逻辑函数为若给定逻辑函数为 ，则，则 以外的的那些最小以外的的那些最小项之和必为项之和必为 ，即，即 iYmimYkk iYm ()kk iYm由反演定理得：由反演定理得：()kkk ik iYmM例：已知例：已知 ，试将此逻辑函数化，试将此逻辑函数化为最大项之积的标准形式。为最大项之积的标准形式。(0,1,2,3,7)Ym(0,1,2,3,7)()(4,5,6)(4,5,6)()()(

29、)kk ikYmmmMABCABCABC解：解：即：如果已知逻辑函数为即：如果已知逻辑函数为 时，定能将时，定能将Y化化成编号为成编号为i以外的那些最大项的乘积形式。以外的那些最大项的乘积形式。iYm2.5逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法一、逻辑函数化简的意义：一、逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。2.5.1 化简的意义与标准化简的意义与标准二、逻辑函数式的几种常见形式和变换二、逻辑函数式的几种常见形式和变换一个逻辑函数的表达式可以有以下一个逻辑函数的表达式可以有以下5种表示形式。种表

30、示形式。（1）乘积项个数最少；）乘积项个数最少；（2）每个乘积项中的变量个数也最少。）每个乘积项中的变量个数也最少。YA BEA BACAC EBCBC DA BACBCA BAC 利用逻辑代数的基本定律，可以实现上述利用逻辑代数的基本定律，可以实现上述五种逻辑函数式之间的变换。五种逻辑函数式之间的变换。三、逻辑函数的最简三、逻辑函数的最简与与或或式式最简与或最简与或表达式表达式2.5.2 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法1 1、并项法、并项法逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。式、定理和规则来化简逻辑函

31、数。 利用公式利用公式 1，将两项合并为一项，并消去一，将两项合并为一项，并消去一个变量。个变量。1()()YABCA BCBCAA BCBCBCBCB CCB2()()() )YABCABACABCA BCABCA BCA BCBCA若两个乘积项中若两个乘积项中分别包含同一个因子分别包含同一个因子的原变量和反变量，的原变量和反变量，而其他因子都相同时，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成则这两项可以合并成一项，并消去互为反一项，并消去互为反变量的因子。变量的因子。运用摩根定律运用摩根定律运用分配律运用分配律运用分配律运用分配律2 2、吸收法、吸收法1()YA BA BCD EFA B2()

32、()() ()YABCDAD BA BCD AD BA ADB BCDA B 如果乘积如果乘积项是另外一个项是另外一个乘积项的因子，乘积项的因子，则这另外一个则这另外一个乘积项是多余乘积项是多余的。的。运用摩根定律运用摩根定律（）利用公式（）利用公式，消去多余的变量。，消去多余的变量。()()YABACBCABAB CABAB CABC()()()YABCA C DBC DABCC AB DABCAB DABCABDABCD 如果一个乘积如果一个乘积项的反是另一个项的反是另一个乘积项的因子，乘积项的因子，则这个因子是多则这个因子是多余的。余的。（）利用公式（）利用公式，消去多余的项。，消去多余

33、的项。、配项法、配项法 (1)利用公式利用公式（ ），为某一项配上其所），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。缺的变量，以便用其它方法进行化简。()()(1)(1)()YABBCBCABABBCAA BCAB CCABBCABCABCABCABCABCBCAAC BBABBCAC (2)利用公式利用公式，为某项配上其所能合并的项。，为某项配上其所能合并的项。()()()YABCABCAB CA BCABCABCABCAB CABCA BCABACBC、消去冗余项法、消去冗余项法 利用冗余律利用冗余律ABACBCABAC，或冗余律推论，或冗余律推论ABACBCDABAC将冗余项将冗

34、余项BC或或BCD消去。消去。1()YABACADE CDABAC CDADEABAC CD2()YABBCAC DEFGABBC例：例：化简函数化简函数()()()()()YBD BDAG CE CGAEG解：解：先求出先求出Y的对偶函数的对偶函数YD，并对其进行化简。，并对其进行化简。DYB DB DAGCEC GAEGB DCEC G求求YD的对偶函数，便得的对偶函数，便得Y的最简或与表达式。的最简或与表达式。()()()YBD CE CG作业：P59题2.4（a）题2.15（8）题2.20（a）题2.26（4）2.6 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法2.6.1 卡诺图卡诺图

35、卡诺图的构成卡诺图的构成逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使，这样构成的图形就是卡诺图。卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项） 。 B A 0 1 0 m0 m1 1 m2 m3 BC A 00 01 11 10 0 m0 m1 m3 m2 1 m4 m5 m7 m6 2 变量卡诺图 3 变量卡诺图 每个2变量的最小项有两个最小项与它相邻每个3变量的最小项有3个最小项与它相邻 CD AB 00 01 11 10

36、00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10 4 变量卡诺图 每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的两个相邻最小项可以合并消去一个变量()AB CAB CAB CCAB ABC DAB C DAC D 逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并 CD AB 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 1 0 1 1 11 0 0 1 1 10 0 0 1 0 （1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡

37、诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。)15,14,11, 7 , 6 , 4 , 3 , 1 (),(mDCBAYm1m3m4m6m7m11m14m152.6.2 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数(2)逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式(不必变换为最小项之和的形式)，然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项(该乘积项就是这些最小项的公因子)相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。()()YAD BC YA DB C 变换为与或表达式BC的公因子此处暗含求最小项的第三种方法。数Y，则对Y中所包含的各个最小项，在卡诺图相应

38、方格内填入0，其余方格内填入1，圈1化简即可求得Y。说明：如果给定了函数Y的反函AD的公因子A BC DA BCDA BD 1 1、卡诺图的性质、卡诺图的性质（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。2.6.3 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数A B CAB CB C A BCABCBCAB C DAB CDAB D (2)任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。()ABCABCABCABCABABABAB CC ()ABCABCABCABCACACACAC BB A BC DB DBDBD

39、B D （3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。BD2 2、图形法化简的基本步骤、图形法化简的基本步骤逻辑表达式逻辑表达式或真值表或真值表卡诺图卡诺图)15,13,12,11, 8 , 7 , 5 , 3(),(mDCBAY C D A B 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 合并最小项合并最小项圈越大越好，但每个圈中标的方格数目必须为个。同一个方格可同时画在几个圈内，但每个圈都要有新的方格，否则它就是多余的。不能漏掉任何一个标的方格。i2最简与或表达式最简与或

40、表达式 CD AB 00 01 11 10 00 0 0 1 0 01 0 1 1 0 11 1 1 1 0 10 1 0 1 0 ( , ,) Y A B C DBDCDAC DBDCDACD冗余项 2 2 3 3 将代表每个圈的乘积项相加两点说明： 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。不是最简最简A B CA BDA CDBC A B DA C DBC 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。最简最简A CB C DACDA BD A CB C DACDBCD

41、 2.6.4 具有无关项的逻辑函数的化简具有无关项的逻辑函数的化简：函数可以随意取值（可以为0，也可以为1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为随意项，也叫做约束项或无关项。1 1、含随意项的逻辑函数含随意项的逻辑函数不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现 说 明 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 0 1 1 0 10 0 1 0 1 1 1 0 01 0 1 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 1 0 1 01 0 0 1 00 1 0 0 10 0 0 0 11 1 0 0 01 0 0 0 0Y A B C DY A B C D例如：判断一

42、位十进制数是否为偶数。输入变量A，B，C，D取值为00001001时，逻辑函数Y有确定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时为0。)8 ,6,4,2,0(),(mDCBAYA，B，C，D取值为1010 1111的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于随意项。用符号“”、“”或“d”表示。随意项之和构成的逻辑表达式叫做 随意条件或约束条件，用一个值恒为 0 的条件等式表示。0)15,14,13,12,11,10(d含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式：)15,14,13,12,11,10()8 , 6 , 4 , 2 , 0(),(dmDCBAF2 2、含随意项的逻辑函数的化简含随意项的逻辑

43、函数的化简在逻辑函数的化简中，充分利用随意项可以得到更加简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中，随意项的取值可视具体情况取0或取1。具体地讲，如果随意项对化简有利，则取1；如果随意项对化简不利，则取0。不利用随意项的化简结果为：YBCABD 利用随意项的化简结果为：YB本节小结逻辑函数的化简有公式法和图形法逻辑函数的化简有公式法和图形法等。公式法是利用逻辑代数的公式、等。公式法是利用逻辑代数的公式、定理和规则来对逻辑函数化简，这种定理和规则来对逻辑函数化简，这种方法适用于各种复杂的逻辑函数，但方法适用于各种复杂的逻辑函数，但需要熟练地运用公式和定理，且具有需要熟练地运用公

44、式和定理，且具有一定的运算技巧。图形法就是利用函一定的运算技巧。图形法就是利用函数的卡诺图来对逻辑函数化简，这种数的卡诺图来对逻辑函数化简，这种方法简单直观，容易掌握，但变量太方法简单直观，容易掌握，但变量太多时卡诺图太复杂，图形法已不适用。多时卡诺图太复杂，图形法已不适用。在对逻辑函数化简时，充分利用随意在对逻辑函数化简时，充分利用随意项可以得到十分简单的结果。项可以得到十分简单的结果。作业：P63 题2.10（4）题2.17（4） 题2.2（2）题2.22（3）(1)对称卡诺图法(2)重叠卡诺图法(3) 卡诺图和公式联合化简法例：化简例：化简5变量逻辑函数。变量逻辑函数。YABCDABCD

45、BCDBCDBCDBCDEBCDE 解：(1)对称卡诺图法A B C D B CDBCD EAB C D BC DBC D BCD E 考研进阶考研进阶1：化简变量以上逻辑函数三方法：化简变量以上逻辑函数三方法 注意：卡诺图以双线轴上下对称，并以粗线轴左右对称。所以可按如下方法化简：方格811、2427是八个相邻小方格，圈在一起(红圈)；方格3,2,6,7和19,18,22,23是上下左右对称相邻的，圈在一起(粉红圈)；方格8,9, 24,25和13,12,29,28是左右对称相邻的，圈在一起(蓝圈)；最终结果为：BCYBCB DBDB DBD(2)重叠卡诺图法B DBDBC 将5变量卡诺图分为左右两部分，若把右半部分移到左半部分上方，就会发现方格8,9,24,25和12,13,28,29是上下重叠相邻的(粉红圆圈) 。方格3,2和19,18是上下相邻，7,6和23,22上下相邻；且3,2,19,18和7,6,23,22同时又是上方下方重叠相邻(蓝圈)。方格8,9,11,10,24, 25,27,26圈在一起(红圈)。最终结果：YBCB DBD(3) 卡诺图和公式联合化简法 有时用公式化简法，消去函数的一个或一些变量后