选修1-1第三章导数导学案精品

1、都昌三中高二数学文选修1-1 编制：许明§3.1.1 变化率问题 学习目标 1感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义；2理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 重点、难点 理解平均变化率的意义，能表示平均变化率式子. 学习过程 学习探究探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2：高台跳水，求平均速度新知：平均变化率： 试试：设，是轴上的一个定点，在x轴上另取一点，与的差记为，

2、即= 或者= ，就表示从到的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为，即= ；如果它们的比值为，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值. 典型例题例1 过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率. 变式：已知函数的图象上一点及邻近一点，则= 例2 已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率： （1）1，3； （2）1，2； （3）1，1.1； （4）1，1.001 动手试试练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率. 6.53.5118.6 T(月)W

3、(kg)63912练2. 已知函数，分别计算在区间，上及的平均变化率. （发现：在区间m，n上的平均变化率有什么特点？ 学习小结1.函数的平均变化率是 2.求函数的平均变化率的步骤：（1）求自变量的增量_（2）求函数值的增量 （2）计算平均变化率 知识拓展平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化” 学习评价 当堂检测1. 在内的平均变化率为（ ）A3 B2 C1 D02. 设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（ ）A B C D3. 质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为（ ）A B C D4.已知，从到的平均速度是_ 课后作业 1. 在（1,3）内的

4、平均变化率是_ 2.水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积（单位：）.甲子乙计算第一个10s内V的平均变化率. §3.1.2 导数的概念 学习目标 1.理解导数的定义2.掌握用定义求导数的求法3理解导数在实际生活中的应用 重点：1.导数的定义和导数的求法及应用 难点：对导数概念的理解; 学习过程 一、课前准备(预习教材找出疑惑之处）复习瞬时速度定义： 二、新课导学.导数定义:瞬时速度是平均速度当趋近于0时的 得导数的定义：函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或即与值无关，不同的其导数值一般也不相同与的具体取值无关注意：(1)函数应在点的附近有定义

5、，否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可以为0 (3)导数是函数在点处的瞬时变化率，它反映函数在点处变化的快慢程度. 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称 典型例题（课本）例1 例2 例3利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量；第二步：求平均变化率；第三步：取极限得导数. 动手试试(1)求函数在处的导数.(2)求函数在附近的平均变化率,并求出该点处的导数变式训练三、总结提升 学习小结1：导数的定义：2：求导数的一般步骤： 学习评价 巩固提升1. 一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（ ）从时间到时，物体的平均速度； 在时刻时该物体的

6、瞬时速度； 当时间为时物体的速度； 从时间到时物体的平均速度2. 在 =1处的导数为（ ）A2 B2 C D13. 在中，不可能（ ）A大于0 B小于0 C等于0 D大于0或小于04.如果质点A按规律运动，则在时的导数为 5. 若，则等于 思考:本节课体现了哪些数学思想课后预习：导数的几何意义§3.1.3 导数的几何意义 学习目标 通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数. 重点、难点导数的几何意义及运用。 学习过程 一、课前准备（预习教材P76 P79，找出疑惑之处）探究任务：导数的几何意义问题：当点，沿着曲线趋近于点时，割线

7、的变化趋势是什么？新知：当割线P无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线C在点P 处的切线割线的斜率是： 当点无限趋近于点P时，无限趋近于切线PT的斜率. 因此，函数在处的导数就是切线PT的斜率，即新知：函数在处的导数的几何意义是曲线在处切线的斜率. 即=二、合作学习例1 求在点处的导数.例2.求双曲线在点处的切线的斜率,并写出切线方程.新知：导函数的概念： 三、总结提升 学习小结1.函数在处的导数的几何意义是曲线在处切线的斜率. 即=其切线方程为 2. 导函数的概念： 知识拓展：导数的物理意义：如果把函数看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量表示时间），那么导

8、数表示运动物体在时刻的速度，即在的瞬时速度.即而运动物体的速度对时间的导数，即称为物体运动时的瞬时加速度. 学习评价 当堂检测1. 已知曲线上一点,则点处的切线斜率为（ ）A. 4 B. 16 C. 8 D. 22. 曲线在点处的切线方程为（ ）A B C D3. 在可导，则（ ）A与、都有关 B仅与有关而与无关C仅与有关而与无关 D与、都无关4. 若函数在处的导数存在，则它所对应的曲线在点的切线方程为 5. 已知函数在处的导数为11，则= 课后作业 P（7980）习题3.1 3；5.§3.2.1几个常用函数导数 学习目标 1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一

9、些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. 重点、难点：利用公式，求一些函数的导数； 学习过程 一、课前准备（预习教材P81 P82，找出疑惑之处）任务一：函数的导数.新知：表示函数图象上每一点处的切线斜率为 .若表示路程关于时间的函数，则 ，可以解释为 即一直处于静止状态.试试： 求函数的导数反思：表示函数图象上每一点处的切线斜率为 .若表示路程关于时间的函数，则 ，可以解释为 任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，并根据导数定义，求它们的导数. （1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数增（减）

10、的快慢与什么有关？二、新课导学 典型例题例1 求函数的导数变式： 求函数的导数小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限. 例2 画出函数的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点处的切线方程.例3：求曲线 过点处的切线方程.小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.三、总结提升 学习小结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤： ， ， .2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的. 学习评价 当堂检测1.的导数是（ ）A0 B1 C不存在 D不确定2.已

11、知,则（ ）A0 B2 C6 D93. 在曲线上的切线的倾斜角为的点为（ ）A B C D4. 过曲线上点且与过这点的切线垂直的直线方程是 5. 物体的运动方程为，则物体在时的速度为 ，在时的速度为 . 课后作业 1. 已知圆面积，根据导数定义求.2. 求曲线的斜率等于4的切线方程.高二数学选修1-1 3.3.1函数的单调性与导数导学案姓名 班级 组别 组名 【学习目标】1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法【重点难点】重点：掌握利用导数判断函数单调性的方法难点：.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；【学法指导】观察、探究、类比、归纳。【知识链接】

12、复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x1，x2I，且当x1x2时，都有 ，那么函数f(x)就是区间I上的 函数. 复习2：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ； （8） 。 （9） ； （10） ；（11） 。【学习过程】 知识点1：函数的导数与函数的单调性的关系仔细阅读课本第89-90页内容，尝试解答下列问题：问题1：曲线的切线的斜率就是函数的导数.从函数的图像来观察其关系：在区间（2，）内，切线的斜率为 ，函数的值随着x的增大而 ，即时，函数在区间（2，）内为 函数；在区间（，2）内，切线的斜率为 ，函数的值随着x的增大而 ，即0时

13、，函数在区间（，2）内为 函数.y=f(x)=x24x+3切线的斜率f(x)(2，+)(，2)问题2：函数的导数与函数的单调性的关系一般地，设函数在某个区间内有导数，如果在这个区间内，那么函数在这个区间内的 函数；如果在这个区间内，那么函数在这个区间内的 函数.知识点2：知识点的应用题型一：利用导数求函数的单调区间仔细阅读课本第-91页例2内容，尝试解答下列问题：例1. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）；（2）.反思：用导数求函数单调区间的三个步骤：求函数f(x)的导数.令解不等式，得x的范围就是递增区间.令解不等式，得x的范围就是递减区间.题型二：函数与导函数的图象的关系仔细阅

14、读课本第91页例1容，尝试解答下列问题：例1 已知导函数的下列信息：当2x5时，；当x5，或x2时，；当x=5，或x=2时，.试画出函数图象的大致形状.例2 如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图象. 【基础达标】1. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）； （2）；（3）； （4）.2. 求证：函数在内是减函数.3：函数的图象如图所示，试画出导函数图象的大致形状.【归纳小结】1用导数求函数单调区间的步骤：求函数f(x)的定义域；求函数f(x)的导数.令，求出全部驻点；驻点把定义域分成几个区间，

15、列表考查在这几个区间内的符号，由此确定的单调区间注意：列表时，要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑.【知识拓展】一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些. 如图，函数在或内的图象“陡峭”，在或内的图象“平缓”.【当堂检测】1. 若为增函数，则一定有（ ）A BC D2. （2004全国）函数在下面哪个区间内是增函数（ ）A B C D3. 若在区间内有，且，则在内有（ ）A BC D不能确定4.函数的增区间是 ，减区间是 5.已知，则等于 【课后反思】本节课我最大的收获是

16、高二数学选修1-1 编号：SX-选1-1-183.3.2函数的极值与导数导学案姓名 班级 组别 组名 【学习目标】1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤. 【重点难点】重点：能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；难点：理解极大值、极小值的概念；【学法指导】观察、探究、数形结合。【知识链接】复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数.复习2：用导数求函数单调区间的步骤：求函数f(x)的

17、导数. 令 解不等式，得x的范围就是递增区间.令 解不等式，得x的范围，就是递减区间 .【学习过程】 知识点1：函数的极值的概念仔细阅读课本第93-94页内容，尝试解答下列问题：问题1：如下图，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的符号有什么规律？ 看出，函数在点的函数值比它在点附近其它点的函数值都 ， ；且在点附近的左侧 0，右侧 0. 类似地，函数在点的函数值比它在点附近其它点的函数值都 ， ；而且在点附近的左侧 0，右侧 0.问题2：函数的极值的概念我们把点a叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；点b叫做函数的极大值点，叫做函数的

18、极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 .知识点2：知识点的应用题型一：可导函数f(x)的极值的概念例1. （1）函数的极值 （填是，不是）唯一的.(2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值. (3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点.反思：极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点. 比如：函数在x=0处的导数为 ，但它 （是或不是）极值点.即：导数为0是点为极值点的 条件. 题型二：求函数的极值仔细阅读课本第94页例4，尝试解答下列问题：例2. 已知函数.（1

19、）写出函数的递减区间；（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象.题型二：已知函数的极值逆向求参数xo12y例3已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点，如图所示，求 (1) 的值(2)a，b，c的值.小结：求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)求方程f(x)=0的根（4）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这

20、个根处无极值.【基础达标】11. 求下列函数的极值：（1）； （2）；（3）； （4）.2. 下图是导函数的图象，试找出函数的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.3如图是导函数的图象,在标记的点中，在哪一点处（1）导函数有极大值？（2）导函数有极小值？（3）函数有极大值？（4）导函数有极小值？【归纳小结】1. 求可导函数f(x)的极值的步骤；2. 由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象.【知识拓展】函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点.由些可见：“有极值但不一定可导”【当堂检测】1. 函数的极值情况是（ ）A有极大值，没有极小值 B有极小值，没有极大值C既有极大

21、值又有极小值D既无极大值也极小值2. 三次函数当时，有极大值4；当时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ）A BC D3. 函数在时有极值10，则a、b的值为（ ）A或B或C D以上都不正确4. 函数在时有极值10，则a的值为 5. 函数的极大值为正数，极小值为负数，则的取值范围为 【课后反思】本节课我最大的收获是 高二数学选修1-1 编号：SX-选1-1-193.3.3函数的最大（小）值与导数导学案姓名 班级 组别 组名 【学习目标】理解函数的最大值和最小值的概念； 掌握用导数求函数最值的方法和步骤.【重点难点】重点：掌握用导数求函数最值的方法和步骤.难点：理解函数的最大值和最小值的概

22、念；【学法指导】观察、探究、数形结合。【知识链接】复习1：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的 点，是极 值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的 点，是极 值复习2：已知函数在时取得极值，且，（1）试求常数a、b、c的值；（2）试判断时函数有极大值还是极小值，并说明理由.【学习过程】 知识点1：函数的最大（小）值的概念仔细阅读课本第96-97页内容，尝试解答下列问题：问题1：观察在闭区间上的函数的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？ 在图1中，在闭区间上的最大值是 ，最小值是 ；在图2中，在闭区间上的极大值是 ，极小值是 ；

23、最大值是 ，最小值是 .问题2：函数的最大（小）值一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值. 试试： 上图的极大值点 ，为极小值点为 ；最大值为 ，最小值为 .反思：1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的2.函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的 条件3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有.知识点2：知识点的应用题型一：利用导数求函数的最值仔细阅读课本第97页例5，尝试解答下列问题：例1. 求函数的最值小结：求最值的步骤（1）求的极值；（2）比较极值与区间端点值，其中最大的

24、值为最大值，最小的值为最小值.题型二：函数最值的综合运用例2. . 已知函数在上有最小值.（1）求实数的值；（2）求在上的最大值例3 。 已知,(0,+).是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）的最小值是1；若存在，求出，若不存在，说明理由.【基础达标】1. 设，函数在区间上的最大值为1，最小值为，求函数的解析式. 2. 为常数，求函数的最大值.3. 已知函数，（1）求的单调区间；（2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.【归纳小结】设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的

25、最值.【知识拓展】利用导数法求最值，实质是在比较某些函数值来得到最值，因些我们可以在导数法求极值的思路的基础上进行变通.令得到方程的根，直接求得函数值，然后去与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合，也可以求最值.【当堂检测】1. 若函数在区间上的最大值、最小值分别为M、N，则的值为（ ）A2 B4 C18 D202. 函数 （ ）A有最大值但无最小值B有最大值也有最小值C无最大值也无最小值D无最大值但有最小值3. 已知函数在区间上的最大值为，则等于（ ）A B C D或4. 函数在上的最大值为 5. 已知（为常数）在上有最大值，那么此函数在上的最小值是

26、3.4生活中的优化问题举例导学案姓名 班级 组别 组名 【学习目标】1进一步理解导数的概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们的导数模型；2掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值.【重点难点】重点：掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，难点：构建函数模型，求函数的最值.【学法指导】观察、探究、数形结合。【知识链接】复习1：函数y=2x33x212x+5在0，3上的最小值是_ 复习2：函数在上的最大值为_；最小值为_.【学习过程】 知识点1：优化问题仔细阅读课本第101页内容，尝试解答下列问题：问题1：生活中经常遇到求 、 、 等问题，这些问

27、题通常称为优化问题. 知识点2：知识点的应用题型一：面积、容积最大（小）问题仔细阅读课本第101页例1，尝试解答下列问题：例1. 在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去边长都为的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 反思：利用导数解决优化问题的实质是 .题型二：费用、用料最省问题例2.如图用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为 ，为使所用材料最省，底宽应为多少？题型三：利润最大问题仔细阅读课本第102页例2，尝试解答下列问题：例3. .某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是分，其中是

28、瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6.问（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？例4已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时，利润最大？分析：利润等于收入减去成本，而收入等于产量乘价格由此可得出利润与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润【基础达标】1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？2当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使饮料罐的容积最大？3. 一边长为的正方

29、形铁片，铁片的四角截去四个边长都为的小正方形，然后做成一个无盖方盒.(1)试把方盒的容积表示为的函数.(2)多大时，方盒的容积最大？4一条长为100的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？5. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用.房间定价多少时，宾馆利润最大？【归纳小结】1解决最优化的问题关键是建立函数模型，因此首先审清题意，明确常量与变量及其关系，再写出实际问题的函数关系式，对于实际问题来说，需要注明变

30、量的取值范围.2实际问题中在变量的范围内若只有一个极值点，那么它也是最值点.3. 解决优化问题与应用传统知识解应用题的唯一区别是：解题过程中需运用导数求出函数的最值. 4. 在解决导数与数学建模问题时，首先要注意自变量的取值范围，即考虑问题的实际意义. 解决优化问题的过程实际上是一个典型的数学建模过程.【知识拓展】牛顿和莱布尼兹是微积分的创立者.【当堂检测】1. 以长为10的线段AB为直径为圆，则它的内接矩形面积的最大值为（ ）A10 B15 C25 D502. 设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（ ）A B C D3. 某商品在最近30天的价格与时间（天）的函数

31、关系是，销售量与时间的函数关系是，则这种商品的销售多额的最大值为（ ）A406 B506 C200 D5004. 要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72，其底面两邻边长之比为，则它的长为 ，宽为 ，高为 时，可使表面积最小.5. 做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是，且用料最省，则圆柱的底面半径为 3.3.3第三章导数及其应用（复习）导学案姓名 班级 组别 组名 【学习目标】提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力.【重点难点】重点：提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力难点：提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力【学法指导】观察、探究、数形结合。【知识链接】复习1：已知点P和点是曲线上的两点，且点的横坐标是1，点的横坐标是4，求：（1）割线的斜率；（2）点处的切线方程. 复习2：求下列函数的导数：（1）； （2）.【学习过程】 本章知识结构问题：本章学过哪些知识点?新知：试试：一杯80的热红茶置于20的房间里，它的温度会逐渐下降，温度（单位：）与时间（单位：min）间的关系，由函数给出.请问：（1）的符号是什么？为什么？（2）的实际意义是什么？若，你能画