第10讲对数函数及其性质

1、第十讲第十讲 对数函数及其性质对数函数及其性质 一般地，我们把函数一般地，我们把函数_ 叫做对数函数，其中叫做对数函数，其中x x是自变量，函数的定义域是是自变量，函数的定义域是_1.1.对数函数的定义对数函数的定义注意注意: :（1 1）对数函数定义的严格形式）对数函数定义的严格形式; ; （2 2）对数函数对底数的限制条件：）对数函数对底数的限制条件：a0a1.且y=logy=loga ax(a0,x(a0,且且a1)a1)（0 0，+）一、知识梳理一、知识梳理图图 象象 性性 质质a a 1 1 0 0 a a 1 1定义域定义域: : 值值 域域: :过定点过定点: :在在(0,+)(

2、0,+)上是上是在在(0,+)(0,+)上上是是2.2.对数函数对数函数y=logy=loga ax (ax (a0,0,且且a1) a1) 的图的图象与性质象与性质(0,+)(0,+)R R(1,0),(1,0), 即当即当x x1 1时时,y,y0 0增函数增函数减函数减函数y X O x =1 (1,0) aylog x(a1)y X O x =1 (1,0) aylog x(0a1)3.指指 数数 函函 数数 与与 对对 数数 函函 数数 的的 关关 系系 对对 数数 函函 数数y logax与与 指指 数数 函函 数数y ax互互 为为 _， 它它 们们 的的 图图 象象 关关 于于

3、 _对对 称称 例例1 1：求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：（1 1）y=logy=loga ax x2 2 ; ; （2 2）y=logy=loga a(4-x).(4-x). 分析：分析：主要利用对数函数主要利用对数函数y=logy=loga ax x的定义域为的定义域为（0 0，+）求解）求解. .函数定义域函数定义域（1 1）因为）因为x x2 20,0,所以函数所以函数y=logy=loga a(4-x)(4-x)的定义域是的定义域是所以函数所以函数y=logy=loga ax x2 2的定义域是的定义域是（2 2）因为）因为4-x04-x0, ,xx4. xx4. 即即x4

4、x0 x0且且 , ,解：解：（1 1）因为）因为1-x0,1-x0,即即x1,x1,所以函数所以函数y=logy=log5 5(1-x)(1-x)的定义域为的定义域为x|x1.x|x0,x|x0,且且x1.x1.21logyx即即x0 x0且且x1,x1,所以函数所以函数 的定义域为的定义域为 . . 所以函数所以函数 的定义域为的定义域为（3 3）因为）因为 ，即，即 , ,101 3x13x 1.3x x71log1 3yx（4 4）因为）因为x0 x0且且 , ,3log0 x 3logyx1x x 即即1 ，x 由具体函数式求定义域由具体函数式求定义域, ,考虑以下几考虑以下几个方面

5、：个方面： （1 1）分母不等于）分母不等于0 0； （2 2）偶次方根被开方数非负；）偶次方根被开方数非负； （3 3）零指数幂底数不为）零指数幂底数不为0 0； （4 4）对数式考虑真数大于）对数式考虑真数大于0 0； （5 5）实际问题要有实际意义）实际问题要有实际意义. .【提升总结】【提升总结】例例2 2 比较下列各组数中两个值的大小：比较下列各组数中两个值的大小：(1) log(1) log2 23.4,log3.4,log2 28.58.5(2) log(2) log0.30.31.8,log1.8,log0.30.32.72.7(3) log(3) loga a5.1,log5

6、.1,loga a5.9 ( a5.9 ( a0,0,且且a1 )a1 )解解: :考查对数函数考查对数函数y=logy=log2 2x,x,因为它的底数因为它的底数2 21,1,所以它所以它在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数, ,于是于是loglog2 23.43.4loglog2 28.58.5考查对数函数考查对数函数y=logy=log0.30.3x,x,因为它的底数因为它的底数0 00.30.31,1,所以所以它在它在(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数, ,于是于是loglog0.30.31.81.8loglog0.30.32.72.7函数的性质函数的性质当当0 0a

7、a1 1时时, ,因为函数因为函数y=logy=loga ax x在在(0,+)(0,+)上是减函上是减函数数, , 当当a a1 1时时, ,因为函数因为函数y=logy=loga ax x在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数, , 于是于是logloga a5.15.1logloga a5.95.9于是于是logloga a5.15.1logloga a5.95.9(3)(3)对数函数的增减性决定于对数的底数是大于对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1 1还是大于还是大于0 0小于小于1.1.而已知条件中并未指出底数而已知条件中并未指出底数a a与与1 1哪个大哪个大, ,因此需

8、要对底数因此需要对底数a a进行讨论进行讨论: :1.1.两个同底数的对数比较大小的一般步骤两个同底数的对数比较大小的一般步骤(1)(1)确定所要考查的对数函数；确定所要考查的对数函数；(2)(2)根据对数底数判断对数函数的单调性；根据对数底数判断对数函数的单调性；(3)(3)比较真数大小，然后利用对数函数的单比较真数大小，然后利用对数函数的单调性判断两对数值的大小调性判断两对数值的大小【提升总结】【提升总结】2.2.分类讨论的思想的适用情况分类讨论的思想的适用情况（1 1）利用对数函数的增减性比较两个）利用对数函数的增减性比较两个对数的大小时；对数的大小时；（2 2）对底数与）对底数与1 1

9、的大小关系未明确指出的大小关系未明确指出时；时； （3 3）要分情况对底数进行讨论来比较）要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小时两个对数的大小时. .（1 1）loglog0.50.56_log6_log0.50.54 4（2 2）loglog1.51.51.6_log1.6_log1.51.51.41.4（3 3）若）若loglog3 3mlogmlog3 3n,n,则则m_n;m_n;（4 4）若）若loglog0.70.7mlogmlog0.70.7n,n,则则m_n.m_n. 1.1.填空：填空：B .x y 1 A .y x 1 C .1 x y D .1 y x 2.2.（2

10、0112011高考）若高考）若1122loglog0,xy 则（则（ ）D D3. 3. 函数函数y ylogloga a( (x x1)1)2 (2 (a a0, 0, a a1)1) 的图象恒过定点的图象恒过定点 . . （0，-2)2log323xyx4.4.求函数求函数的定义域。的定义域。函数函数 的定义域为的定义域为2,33x xx且且yx0y=1分析一：借助对数函数图象进行比较分析一：借助对数函数图象进行比较练习练习5:比较比较 与与 的大小的大小3log1 . 03log2 . 0y= log 0.1x y= log 0.2x 3log1 . 03log2 . 03分析二：用换底

11、公式分析二：用换底公式，又又2 . 0log13log,1 . 0log13log32 . 031 . 0, 02 . 0log1 . 0log33.2 . 0log11 . 0log133. 3log3log2 . 01 . 0例例3已已知知函函数数f(x)loga1x1x(a0，a?1) (1)求求f(x)的的定定义义域域； (2)判判断断f(x)的的奇奇偶偶性性并并予予以以证证明明； (3)判判断断函函数数在在(0,1)上上的的单单调调性性； (4)求求使使f(x)0 的的x 的的取取值值范范围围 解解 ： (1)由由1 x1 x0， 解解 得得 1x00且且a a1)1)在区间在区间

12、a a, 2, 2a a 上的最大值是最小值的上的最大值是最小值的3 3倍，求倍，求a a的的值值. . 解：解：当当a a11时，时，f(x)=logf(x)=loga ax x在区间在区间 a a,2,2a a 上是上是增函数增函数，max( )(2 )log (2 ),afxfaamin( )( )log1,afxf aalog (2 )3 12.aaa ， 变式训练max( )( )log1,afxf aamin( )(2 )log (2 ),afxfaa23log (2 )1.4aaa 综上所述，综上所述， 或或当当00a a11时，时，f(x)=logf(x)=loga ax x在

13、区间在区间 a a,2,2a a 上上是是减减函数，函数，2a 2.4a 例例4 全全 国国 卷卷 设设alog32，bln2 , 215c，则则( ) Aabc Bbca Ccab Dcba 例例5.已知已知f(x) = lg(axbx) ( a1b0 )（1）求）求 f ( x ) 的定义域；的定义域；解：由题解：由题 a x b x 0 得得 a x b x a1b01)( xba x 0故故 f ( x ) 的定义域为的定义域为 ( 0 , + )(2)判断判断 f ( x ) 的单调性的单调性.解解：设设 0 x 1x 2 则则 f ( x 1 ) f ( x 2 ) =2211lg

14、xxxxbaba a1b02121,xxxxbbaa 2121,xxxxbbaa 即即22110 xxxxbaba 102211 xxxxbaba即即 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 故故 f ( x ) 在在( 0 , + ) 上是增函数上是增函数（3）当）当 a、b 满足什么条件时满足什么条件时,f (x) 在区间在区间 1 , + ) 上恒为正上恒为正.解解: f ( x ) 在在( 0 , + ) 上是增函数上是增函数, f ( x ) min = f ( 1 ) = lg ( a b )由题由题 lg ( a b ) 0故满足故满足

15、 a b 1 例例6 6. . 函数函数y=lgxy=lgx的图象向的图象向_平移平移_个个单位得到函数单位得到函数y=lg(10 x)y=lg(10 x)的图象的图象. .函数函数图象图象【解析】【解析】y=lg(10 x)=lgx+1,y=lgxy=lg(10 x)=lgx+1,y=lgx的图的图象向上平移一个单位可得到函数象向上平移一个单位可得到函数y=lg(10 x)y=lg(10 x)的图象的图象. .上上1 11.1.已知函数已知函数f(x)=|lgx|,f(x)=|lgx|,若若abab，且，且f(a)=f(b),f(a)=f(b),则则abab的值为的值为 . .【解析】解析】如图，由如图，由f(a)=f(b),f(a)=f(b),得得|lga|=|lgb|.|lga|=|lgb|.不妨设不妨设0 0a ab,b,则则lgb=-lgb=-lga,lga+lgb=0,ab=1.lga,lga+lgb=0,ab=1.1 11 1xyOab【变式练习】【变式练习】2 2. .函数函数y yx xa a与与y ylogloga ax x的图象可能是的图象可能是( )( )A.A.B.B.1 11 1O Ox xy y1 11 1O Ox x1 11 1O Oy yD.D.C.C.1 11 1O Ox xy