第三章钢结构

1、1 3.9 求自振频率及自振周期的近似方法2 能量法（Rayleigh法）折算质量法顶点位移法3 求自振频率及自振周期的基本方法单自由度体系mk自振频率：2T自振周期：4 多自由度体系或频率方程：02mK0 2 Im或振型向量方程：0) (2jjXmK 0) (2jjXImnj, 2 , 1 5 能量法（Rayleigh法）若要求的是基本频率，则采可用能量法（或称Reyleigh法）。6 1. 能量守恒原理根据能量守恒原理：根据能量守恒原理： 无阻尼弹性体系自由振动时，任一时刻的动能与变形位能之和保持不变。 当体系在振动中位移达到最大时，变形位能最大Umax，而动能为零； 在经过静平衡位置时，

2、动能最大Tmax，而变形位能为零。 故根据能量守恒原理得：maxmaxUT7 2. 能量法公式推导设在自由振动时，质点的位移为： nitXtxii, 2 , 1 , )sin()(nitXtxii, 2 , 1 , )cos()( 则速度为： 动力学中动能公式为221vmT 任意时刻体系的动能为niiitxmT12)(21niiiXmtT1222)(cos218 结构的基本振型可以近似取为当重力荷载水平作用于质点上时的结构弹性曲线。 故体系的最大变形位能为：niiigXmU1max211XnXiXnmim1mnGiG1G则体系的最大动能为niiiXmT122max21 式中Xi质点i的振型位移

3、幅值 9 由式Tmax =Umax得:niiiniiigXmXm112212121niiiniiiXmgXm12121niiiniiiXmXmg1211 则得自振频率计算公式：或10 3. 基本周期结构的基本周期为：niiiniiiXmgXmT1121122niiiniiiXGXG112211 4. 讨论 因采用了近似的振型曲线，故基本频率也是近似的。 若要提高计算的精度，应提高振型的精度。可采用迭代法进行修正。12 6. 能量法算例例 某三层框架结构图，假定横梁的刚度为无限大。各参数如图示。用能量法求结构的基本频率和振型。 1k3m2m1m3k2k13 已知质量为mkNk511043. 5m

4、kNk521003. 9mkNk531023. 8tm25611tm25452tm5593 层间刚度为14 解 结构在重力荷载Gi水平作用下的弹性曲线如图。 1X2X3X1233G2G1G15 层间相对位移 13211kGGG1321)(kgmmmmgg451033.1041043. 5)25612545559(2322322)(kgmmkGGmgg451037.341003. 9)25612545(33333kgmkGmgg4510792. 61023. 8256116 各层水平位移 mgX4111033.104mgmgXX442121070.13810)37.3433.104(mgmgXX

5、443231049.14510)792. 67 .138(17 结构基本频率 niiiniiiXmXmg1211242224)10)(49.1455597 .138254533.1042561(10)49.1455597 .138254533.1042561(gggsrad89. 818 相应的基本振型 000. 1953. 0717. 01049.14570.13833.1044131211gXXX19 折算质量法也称等效质量法、转移质量法 在求多自由度体系或无限自由度体系的基本频率时，为了简化计算，可根据等效原则等效原则，将全部质量集中在一点或几个点上。此集中所得质量称为等效质量。 等效原

6、则： (1) 频率等效 (2)单单自由度体系最大动能与多多自由度体系基本基本自振最大动能相等.20 对于单自由度体系频率为mkmk2km21或折算质量法1mimnmem21 现考虑一悬臂体系如下图，在其上i点有一集中质量mi，将其转移到体系的柱顶 j，而体系的频率仍保持不变，试求 j 点的等效质量me 。imiikiemjjkjejjiiimkmk)(amkkmiiijje 根据频率相等的原则 则求得等效质量为22 若体系原有n个集中质量，则将每个质量都按上式所示的转换关系转换到j点。这时，j点总的等效质量为各等效质量之和，即 )(1bkmkmniiiijje 故体系的基本频率为 )(1112

7、12ckmkmniiniiiijje1mimnmem23 式（b）是计算等效质量的近似公式。 式（c）称为邓克莱（Dunkeley）公式，是计算多自由度体系基本频率的近似公式。 24 当为均布质量时，按频率等效的等效质量me推导如下：33hEIk xdxmimiik,dxmmi 杆件刚度为： 任意微段的质量为：jhojhohoiijjeehmdxmhxdxmkkdmmjjj41)(3jjkemjhdxmkkdmiijje对单厂排架雪柱墙吊车梁屋盖）（GGGGGGe5 . 025. 05 . 00 . 1动力等效系数荷载组合系数0.8L26 顶点位移法基本思想：将结构基本周期基本周期用顶点位移顶

8、点位移表示。悬臂杆在均布荷载作用下的变形如图所示弯曲型变形剪切型变形弯剪型变形27 均布质量的悬臂杆弯曲振动弯曲振动时的基本频率由结构力学得到，为mEIl221 则弯曲振动弯曲振动时的基本周期为)(79. 1221aEImlTb 同样，剪切振动剪切振动时的基本周期为)(4bGAmlTs28 悬臂杆在均布荷载作用下的位移)(8844cEIglmEIqlb 设均布荷载为gmq 则弯曲位移为 则剪切位移为)(2222dGAglmGAqls29 将式（c）和（d）分别代入式（a）和式（b），得)(6 . 1eTbb)(8 . 1fTss 若体系按弯剪振动弯剪振动，则基本周期按下式计算)(7 . 1gTT30 式（g）可用来计算框架结构的基本周期。式中T为重力荷载水平作用下的结构顶点位移。 当框架结构有填充墙时，采用下式TTT7 . 11 式中 为填充墙修正系数，取0.60.7T自振周期的经验公式 根据实测统计，忽略填充墙布置、质量分布差异等，初步设计时可按下列公式估算（1）高度低于25m且有较多的填充墙框架办公楼、旅馆的基本周期（2）高度低于50m的钢筋混凝土框架-抗震墙结构的基本周期31/35.022.0