研究生课件矩阵21

1、矩阵与数值分析大连理工大学工科数学公共基础课程大连理工大学教育大楼授课教师基本信息姓工作名：数学科学学院（大黑楼）A1117室办公地点：创新园：84708351-8117(o):创业园主讲 参考书目 (Reference)Ø 科学和工程计算基础顾丽珍编著（）John.H.Mathews¾版）美数值方法（陈渝 等 译Kurtis D.Fink审校 （电子工业）¾矩阵论简明等编著 科学要求作业占20%；课程的总成绩数值实验占10%；占70%；期末矩阵与数值分析课程：http:/m/numerical/认识数学的重要性,培养浓厚的学习,掌握正确的学习方法。一门科学, 只

2、有当它才能达到真正完善的地步。地运用数学时,要辨证而又唯物地了解自然 ,就必须熟悉数学。知识，只有当它靠积极的思考得来而不是凭记忆得来的时候，才是真正的知识。(Benoit B.Mandelbrot)1924.11.20 2010.10.141924年11月20日生于波兰华沙, 祖籍是立陶宛犹太人。的父亲是成衣商, 母亲是牙科医生。的最主要贡献是发明了一种新的几何学。, 而是“工程技术”但是他首先进入的并不是基础。他在工程技术中(生产实践中)发现问题, 总结出带有规律性的东西,进而将它们上升为一般理论, 最终创立“分形几何学”。这与当前物理学家、数学家改行的顺序似乎正好相反, 现在通常是由基础

3、转向会学。他长期在IBM沃森中心供职、赫赫有名, 在多种学科“流浪”了20余年才得到学界广泛承认的分形之父。他是美国艺术与，美国外籍，欧洲艺术、科学与奖章(F.Barnard Medal,1985)、人文学院。他曾荣获奖章(Franklin Medal,1986)和物理学奖(Wolf Prize,1991)，还有其他若干。据初步统计,到底他已经了123篇,内容极其庞杂,涉及语言学、概率论、通讯工程、水利学、宇宙学、临界现象与相变等等。理论、金融分析、布朗运动、湍流、复迭代所谓的“分形”本意是指“破碎、不规则”。在“分形几何”中指的是不规则复杂现象中的秩序和结构。“分形几何”就是研究无限复杂但具

4、有一定意义的自相似图形和结构的几何学。“分形艺术”图就是利用数学方法通过计算机程序进行无数次运算最终形成的分形艺术图案。一群数学“极客”利用特定的数学方程经过反覆迭代算法创作出一组令人叹为观止的三维分形结构图案。Mandelbrot集考虑函数f(z)=z2-0.75。固定z0的值后,通过不断地迭代算出一系列的z值：z1=f(z0), z2=f(z1), z3=f(z2), 数学“Geek”第1章绪论1.11.2计算机科学计算研究对象与特点误差分析与数值方法的稳定性1.3向量与矩阵的1.1计算机科学计算研究对象与特点科学计算、理论计算和实验并列为三大科学方法。我们所学习的内容属于一门新学科科学计

5、算。 即现代意义下的计算数学。主要研究计算机上可计算的有效算法及其相关理论。本课程主要研究现代、行之有效数值方法本课程主要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现f( x)¢(x)Ax=f( x) = 0bf主要内容包括：数值代数r ()f( x)dbòxxa（数值微分） 数值逼近(, u ) , (u0 ) =tf¢ = tuu0微分方程数值解法¥å Af(A) = eA、sinAA ¥矩阵分析简介kkk =0k =0d A( )tbòAt() dtdta课程的特点：一、构造计算机可行的有效算法二、给出

6、可靠的理论分析，即对任意逼近并达到精度要求，保证数值算法的收敛性和数值稳定性，并可进行误差分析。三、有好的计算复杂性，既要时间复杂性好，是指节省时间，又要空间复杂性好，是指节省量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。四、数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。什么是有效算法？，线性方程组的解法a+a+ L2 +n= x1n= x2aax11x211x22x2n1 a2n abb1+ L2+1M+2L+ nna+a n= xax2xb1n1nn早在18世纪Cramer已给出了求解法则：Cramers RulerCramers

7、 RulerDi=i = 1, 2 , L, n , （D0）xiDa11 a21 Mn1a12 a22 Mn 2a1n a2n MnnLL O LD =det(A)第i列aaaa11 a21 MMan1a1n a2n MMannLL M MLLL M O Lb1 b2 OMbn= det(Ai ) =Di这一结果理论上是非常漂亮的，它把线性方程组的求解问题归结果为计算n+1个n阶行列式问题。对于行列式的计算，理论上又有著名的Laplace展开定理。这样理论上我们就有了一种非常漂亮的求解线性方程组的方法。D = deat(A) =A1i其中Aij表示元素aij的代数+aAi +2L+ainAi

8、1i 2in式。然而我们做一简单的计算就会发现,由于这一方法的运算量大得惊人，以至于完全不能用于实际计算。设计算k阶行列式所需要的乘法运算的次数为mk，则容易推出=k+m于是，我们有kk -1mkmn = n + nmn-1 = n + n éë(n -1) + (n -1) mn-2 ùû= n + n (n -1) + n (n -1)(n - 2) +L+ n (n -1)L3× 2> n!这样，利用Cramer法和Laplace展开定理来求解一个n阶线性方程组，所需的乘法运算次数就大于（n+1）n!=(n+1)!以求解25阶线性方

9、程组为例，如果用Cramer法则求解， 在算法中运用行列展开计算，则总的的乘法运算次数将达：26！=4.0329×1026（次）若使用每秒百亿次的串行计算机计算, 一年可进行的运算应为：365(天) × 24(小时) × 3600(秒) × 1010 3.1536 × 1017 （次）共需要耗费时间为：(4.0329 ´1026 )¸(3.1536 ´1017 ) »1.2788´109它远远超出目前所了解的人类文明历史！» 13(亿年)Cramer 算法是“实际计算不了”的。而著名的

10、 Gauss消元法，它的计算过程已作根本改进，成为有效算法，使得可在不到一秒钟之内即可完成上述计算 任务。随着科学技术的发展，出现的数学问题也越来越多样化，有些问题用消去法求解达不到精度，甚至算不出结果，从而 促使人们对消去法进行改进，又出现了主元消去法，大大提 高了消去法的计算精度。这就是研究数值方法的必要性。返回本章1.2误差分析与数值方法的稳定性1.2.1误差来源与分类1.2.2误差的基本概念和有效数字1.2.3函数计算的误差估计1.2.4数值方法的稳定性和避免误差危害的基本原则1.2.1误差来源与分类用计算机解决科学计算问题时经常采用的处理方式是将连续的问题离散化、用有限代替无限等，并

11、且用数值分析所处理 的一些数据，不论是原始数据，还是最终结果，绝大多数都是 近似的，因此在此过程中，误差无处不在。误差的来源主要从以下几个方面：模型误差方法误差或称为截断误差观测误差舍入误差计算机科学计算的流程图计算机数值结果编程实现算法数值计算方法数学模型实际问题1模型误差由实际问题抽象出数学模型，要简化许多条件，这就不可避免地要产生误差实际问题的解与数学模型的解之间的误差2. 截断误差从数学问题转化为数值问题的算法时所产生的误差，如用有限代替无限的过程所产生的误差截断误差通常是指用一个基本表替换一个相当复杂的算术表时所引起的误差。这一术语从用截断Taylor级数替换一个复杂的算术表的技术中

12、衍生而来。x2x求 e的值的运算。我们可用无穷级数：例如，给定x2 (n+ 1)2xe+ =1+ +2 ! 3x2!(n +1 ) ! L!nn +1 项和我们可用它的前s (x) =截断误差2近似代替函数 ex ，则数值方法的误差是e(q x )2x(=)- ( s)x2 (n+ 1) ,0< q <2exx=(1Rn +1 ) !n初始数据大多数是由观测而得到的。由于观3. 观测误差测的限制，得到的数据必然有误差4. 舍入误差 以计算机为工具进行数值运算时，由于计算机的字长有限，原始数据在计算机上的表示往往会有误差，在计算过程中也可能产生误差例如， 用1.4142近似代替2 ，

13、产生的误差=2 -1.4142 = 1.4142135L-1.4142= 0.0000135 L舍入误差E就是舍入误差。模型和观测两种误差不在本课程的讨论范围这里主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截断误差将结合具体算法讨论。分析初始数据的误差通常也归结为舍入误差研究计算结果的误差是否满足精度要求就是：误差估计问题返回本节1.2.2误差的基本概念和有效数字称设x为精确值，a为x的一个近似值,x - a绝对误差(误差)误差 x-a 可正可负。为近似值a的绝对误差，简称误差。通常准确值x是未知的,因此误差 x-a 也未知。设x为精确值, a为x的一个近似值,若有常数绝对误差界（1-13）ea 使得

14、x - a£ ea则 ea 叫做近似值a的误差界（限）。它总是正数。定义1.5定义1.4例如，用毫米刻度的米尺测量一长度x，读出和该长度接近的刻度a，a是x的近似值，它的误差界是0.5mm，于是有x - a£ 0 .5 m m如若读出的长度为765mm ，则有，绝对误差界x - 765£ 0 .5虽然从这个不等式不能知道准确的x是多少，但可知764.5 £ x £ 765.5,结果说明x在区间764.5，765.5内。x - a£ x£ e a,对于一般情形即可以表示为a - ea£ a + ea ,x = a &

15、#177; ea 。也可以表示为但要注意的是，误差的大小并不能完全表示近似值的好坏。若x0, 则将近似值的误差与准确值的比值 x - a x相对误差(误差)称为近似值a 的相对误差。 相对误差也可正可负。如果真值x未知时,实际计算中,通常取 x - a » x - a xax - a作为a的相对误差, 条件是较小。x定义这是由于两者之差x(a)2-a)2x-aax-ax-(x=-=-)a×-xa21æxöa´= ç÷1 - x - aèxøx-xa是的平方项级，故可忽略不计。x下面我们看看相对误差的作用有

16、两个量 x=3.000，a=3.100,则其绝对误差：相对误差x - a = -0.1其相对误差为：绝对误差x - ax= - 0.1= -0.333´10-1,3.00x = 300.0 ， a = 310 .0,又有两个量则其绝对误差：x - a = -0.1´102 ,其相对误差为：相对误差绝对误差x - a- 0.1´102= -0.333 ´10 -10.3´104x例绝对误差有较大变化，相对误差相同。作为精确值的度量，绝对误差可能会引起误会，而相对误差由于考虑到准确值本身的大小而更有意义。相对误差的绝对值上界叫做相对误差界（限），记

17、为：ea x - a a£相对误差界（限）a已知 e = 2.71828182L其近似值 a=2.718, 求a的绝对误差界和相对误差界。解：e - a = 0.00028182 L,因此其绝对误差界为：e - a £ 0.0003相对误差界为：e - a= 0.0003 » 0.0001110375 £0.0002。a2.718此例计算中不难发现,绝对误差界和相对误差界并不是唯一的。我们要注意它们的作用。例1误差界的取法当准确值x位数比较多时，人们常常按四舍五入的原则得 到x的前几位近似值a，例如x = = 3.14159265 Lp - a1 = 0

18、.00159265 La1 = 3 .14 ,取3位：p - a2 = -0.00000735 La 2 = 3 .1416,取5位：那么，它们的误差界的取法应为：£ 1 ´ 102£ 1 ´ 10 -4.2- 2 , - 3 .14 - 3.1416x 为精确值，a为x 的一个近似值，表示为：设´ 0.a a La L= ±10ka（1-14）12nai(i=1,2,n)是0到9中的可以是有限或无限小数形式，其中¹ 0 ,一个数字， a1k为整数，n为正整数， 如果其绝对误差界£ 1 ´10k-nx -

19、 a（1-15）2则称a为x的具有n位有效数字的近似值。定义1.6在例1中，由于a的绝对误差界为e - a < 0.0003 < 1 ´10-3，2n = 4,k - n = -3 Þ而 a = 10 1 ´ 0.2718 ，那么，可知e = 2.71828182L即a 是的具有4位有效字的近似值。a = 2.7182 = 101 ´ 0.27182 ,再取因其绝对误差界为1< 0.00009 < 1 ´10-3，e - a12故a1也只是e 的具有4位有效数字的近似值。a = 0.02718 = 10-1 ´

20、 0.2718作为同样我们可以分析出x = 0.0271828182 L的近似值，也具有4位有效数字。 这是因为：< 0.000002 < 1 ´10-5x - a2Þ n = 4 。k - n = -5那么，有这表明：有效数字位数与小数点的位置无关下列近似值的绝对误差限均为0.005，问它们各有几位有效数字？-4。1003120 c=.´a13=8，00b0=.-, 86.解：首先将它们表示成标准形式´ -4。10010c=.8,6´-1a=´0=b.10- 31,230.13800则由已知条件，a£ 1

21、22; 3- n = -2Þ n = 51´0-2x-2即a有5位有效数字；练b = -0.312 ´10-1,同理，由x - b £ 1 ´10-2ÞÞ-1 - n = -2n = 12即b有1位有效数字；c = 0.86 ´10-4 ,由x - c £ 1 ´10-2ÞÞ- 4 - n = -2n = -22即c无有效数字。如果一个近似值是由精确值经四舍五入得到的，那么，从这个近似值的末尾数向前数起直到再无非零数字止，所数到的数字均为有效数字一般来说，绝对误差与小数位数有

22、关，相对误差与有效数字位数有关设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，a = ± 10´ 0 . a akL a其表达形式如L12n（1）如果a有位n有效数字，则其相对误差界满足x - a1´101-n ,£（1-16）2a1a（2）如果其相对误差界满足x - a1´101-n ,£（1-17）2(a1 +1)a则a至少具有n位有效数字。定理 1.7由（1-14）可得到（1-18）´10k -1£ (a +1) ´10k-1£aa11所以如果a有n位有效数字，那么1 1= 1 ´10

23、1-n , 2a1x - a1 ´10k -n´´x - a£=´10k -1aa2a1结论（1）成立。 再由（1-17）和（1-18）x - a1k -11´101-n£ (a1 +1) ´10=´10k-n , 2£´101-n2(a1 +1)2 ´(a1 +1)a由定义1.6知，a具有n位有效数字。返回本节证x1.2.3 函数计算的误差估计设一元函数f(x自变量)具有连续导数，x的一个近似值为a，f(a)作为f(x)的近似，其误差应如何估计？下面我们用Taylor展开的

24、方法来估计其误差。即有)(x -)a2x'('f(a ( )-x)fx)=a(f (进一步，有+)a+'f,2)(x)ax2-' ') f +()(-x-f (a=)f (x )(a'fa,2取绝对值，由三角不等式，得2ax-'('f)x) -xa+(a'af)£f ( x )-,f (2注意不等式2f '' (x ) x - af (x) - f (a) £f ' (a) x - a +,2f ¢ (x )f (a)f ¢(a) ¹ 0 ,与的值其

25、中在x与a之间。如果相比不太大， 则可忽略 x - a近似绝对误差估计式：f(a)的一个的二次项， 就得到x - af '(a)f (x) - f (a) »近似相对误差为：f '(a)f (x) - f (a)»x - af (a)f (a)例 试计算 a(a > 0) 的相对误差。解：由于函数值的相对误差的计算公式为f '(a)f (x) - f (a)»x - af (a)f (a)a 的相对误差为则(x )¢x -ax - ax - a12=x=a»x - a2 (a )2aaa即a 的相对误差为a的相对误

26、差的二分之一。如果f(为) n元函数，自变的近似值分别为a,1a ,2 L ,n a, 则næöxå¶f) -»f(f (a , La,a)ç¶x÷(-a )（1-19）n12nkkèk øak =1= ¶ f (a1 , a2 ,L, an ) ,æ ¶f ö其中所以可以估计到函数值的误差界，ç ¶x÷¶xèk øaknæ ¶fö, £aå)（1

27、-20）x-n) - f (1 a ,2 La,ç¶x÷øaakf(knèk =1k现将估计式（1-20）应用到数的四则运算的误差估计中，n=2，分别取即fx1f x (x ,x) =fx122x22这时有æ ¶föæ ¶föf (x , x ) - f (a , a ) £× x - a+× x - aç ¶x÷ç ¶x÷12121122è1 øaè2 ø

28、a计算中应尽力避免小数作除数从而得到四则运算的估计式：( x1± x2 ) - (a1x1 - a1+ x2 - a2± a2 ) £(1-21)两个近似数相加减，其运算结果的精度不比原始数据的任何一个精度高。x1 x2 - a1a2£x1 - a1+ a1- a2a2x2(1-22)x1 - a1- a2x1 - a1+ a1x2£x2a22a2a2x1 - a1+ a1x2 - a2a2£(1-23)2a2a11 =.21a2 3=,-.65a39=,已知8均1 为四舍五入得到.+ a2 ×解：f求aa3的相对误差界。)

29、 =1据（1-20）式，得)3- f (1)- ( a1+ a2)× 3 afa,)3a,a23a(1+×f,a2 ,aaa2a31-1+×-+× 3 x-3xaxa22aa£132+×aa2a31由已知,a £ 1 10´-2a £ 1a £ 110´-2x-10´-2,x-x-,112233222从而)- ( a1) ×£3 a1+ a 3+ a2´+ a212´10-23+ a2×aa3+ a2×aa31120

30、4355´98 10 ´1.0-2»»001021780.2练习2(x1- x2 )- (a1- a2 )- a1+ x2 - a2x1（1-24）观察£a1 - a2a1 - a2当 x1 » x2» a2 ,a1 - a2 » 0 ,a1时， 必有则进而 1» + ¥ 。这时由（1-24）可知，差的相对误差会很大。a1 - a2= 99.9997 , a2= 99.9996 ,= 99.9998 , a1 = 99.9999 , x2例如x1x2 - a2x1 - a10.0001 0.00

31、01-6-6=» 1099.9996= 2 ´10-23=» 1099.9999,各自的相对误差：aa21( x- x ) - (a - a )10-6+10-61212£而a1 - a20.0003即，差的相对误差界扩大了2 ´10-23= 2 ´104 = 2 万（倍）10-633在计算中应尽量避免出现两个相近的数相减结论 + 2bx + c = 0(a ×b × c ¹ 0)一元二次方程 ax2有两个根，其求根公式为- b +- ac- b - acb2b2x2 =x1 =,a，用上述公式计算时aa

32、c ，则>>b2b2- ac » b如果=» -bb+bbb2=- 0ac，则有 x1如果b > 0aaa=» -bb-+-bbb2-0ac=，则有 x2如果b < 0aaa总之，两者其中之一必将会损失有效数字。例4解一般二次方程 ax2+2bx+c=0,(a,b,c均不为零)，应取c- b - sgn(b)- acb2x =;x1 =,2axa1,1当x > 0时sgn( x) =其中称为符号函数。-1， 当x < 0 时>>，用上述公式计算时b2ac ，则- ac » bb2如果x1=»c如果

33、b > 0，则有x =a;a2-bb-+sbgbn(b)axb - ac2»=1x1如果b < 0，则有aaa-bb- sbgbn(b)b2 - ac求方程 x2-16x+1=0 的根由习惯的公式：x1=8+x2 ,= 8 -6363 。63 » 7.94 。若取三位有效数字计算，有，有三位有效数字。 而= 8 +63 » 8.00 + 7.94 = 15.9x1=63x2其94 =，只0有一.位06有效数字。-.»007-8.为在计算x2时发生了两个相近数相减，造成有效数字损失。而 x2的精确值是 0.062746。如果改用公式:c1x =

34、计算得x 0.0628。2axx211具有三位有效数字。返回本节例1.2.4 数值方法的稳定性和避免误差危害的基本原则1.数值方法的稳定性用某一种数值方法求一个问题的数值解，如果在方法的计算过程中舍入误差在一定条件下能够得到（或者说舍入误差的增长不影响产生可靠的结果），则称该方法是数值稳定的；否则，出现与数值稳定相反的情况，则称之为数值不稳定的。蝴蝶效应 亚洲蝴蝶拍拍翅膀，将使风和日丽的美洲后出现狂风暴雨?！几AsiaAmerica什么是蝴蝶效应？美国麻省理工学院气象学家为了预报天气，他用计算机求解(Lorenz)地球大气的13个方程式。为了更细致地结果，他把一个中间解取出，提高精度再送回。而

35、当他喝了杯咖啡以后回来再看大吃一惊：本来很小的差异，结果却偏离了十万八千里！计算机没有毛病，于是，（Lorenz）认定，他发现了新的现象：“对初始值的不稳定性”，即：“混沌 ”，又称“蝴蝶效应”xn1òIn =x + 5dx0, n, =1,2L,7计算0解：由于I n+ 5 In-1 =xn-1+ 5xn-1xnn1x11ò5dx = ò0x + 5òx + 5dx +dxx + 50011=xòn-1dx =n0则递归算法如下：15= ln 651. I =- I计算出I, L , I,由In -117n0n1 æ 1ö

36、0210计算出I7, L , I0=-I由0I .=5 ç n÷2. I,n -17nèø例nI n方法1方法20What0h8a8p0pened0580?!0304.03.1 0.083004310343. 024002100034.3-028042500424.0-00165?.?95080?. !093!.!305 1.002840607.022140.1 æ 1ö15, I=-Iç÷,I =- I n -1nn -15 è nønn设I0的近似值为 I0 ，然后按方法1计算 I1 , L

37、 , I7=I0-的近似值 I1 , L , I7，如果最初计算时误差为：E 0I0=In-递推过程的舍入误差不记，并记EnIn，则有= L = (- 5)7 E= (-5 )× (-5)EI= (- 5)EE=I-065777由此可见，用该方法计算I1 , L , I7时， 当计算I 0 时产，那么计算 I 7 时产生的舍入误差生的舍入误差为E0放5大了77=8倍12，5因此，该方法是数值不稳定的。,=I7- ，I7记初始误差为 按方法2计算时，E 7则有7æö1æ-1 ö E=æ-1 ×öæ -1 &

38、#246; E= L =-ç5÷EE=I- =Iç÷ç÷ ç÷71èø0002è5 øè5 øè5 ø由此可知，使用公式2计算时因此，该方法是数值稳定的。放大舍入误差。2、避免误差危害的基本原则为了用数值方法求得数值问题满意的近似解，在数值运算中应注意下面两个基本原则。(I)避免有效数字的损失在四则运算中为避免有效数值的损失，应注意以下事项：（1）在做加法运算时，应防止“大数吃小数”；（2）避免两个相近数相减；（3）避免小数做除数或大数

39、做乘数。100.100.1000在五位十进制的计算机上计算 x=63015+ådi , d i =0.4i=1解计算机作加减法时，先将所相加数阶码对齐，根据字长舍入，再加减。如果用63015依次加各个d i，那么上式用规范化和阶码对的数表示为:1000个0 0. x. =63010500´0045 +10´ 105 +L+0.´05000040 因. 其中 000004 ´5 的舍1入0 结果为0，所以上式的计算结果是63015 ´5。这1种0 现象被称为“大数吃小数”。如果改变运算次序，先把1000个 d i 相加，再和63015相

40、加，即0. x 4= 1+40. 2444+L0 +. 34+0.630401.5 4´ 5=10 ´1003 +.6301´55100000=41´05 +0.0.63´051563=415 ´10 510后法的结果是正确的，前法的舍入误差影响太大。例2210-8又例如, 在八位十进制计算机上，计算371+2.2+ 7123. =+´83.712210-810=(=2+02 ´)90 00. 0001020037´108.102 ´910在计算机上做和时，3.712由于阶码升3.712 0与.

41、为9位尾数左移变成零，这便说明用小数做除数或用大数做乘数时，容易产生大的舍入误差，应尽量避免。(II)减少运算次数运算次数的减少，不但可以提高计算速度，而且还可以 减少计算过程中的误差积累p (x) = a+ axn-1+ L+ a x + axn考虑, 多项式求值运算, 设n-1nn10如果直接逐项求和计算，需要大约 2n 次乘法运算即x × x ® x2× x ® x3 × x ®L ® xn-×1x ®n次xnn -1 次a1 × x× xn-1 , L,a × xn,

42、ann-1t= xku= a+ a x +L+ a xk ,若取，kk01k则有递推公式：pn (x) = un总的计算量需进行2n次乘法。就是所求的值。tk = x×tk-1k = 1, 2, L, n, ìt0 = 1u= u+ a × tíu = akk -1kkî 00若将公式变成如下递推公式，即令pn (x) = (a) xn -1x + a+ an - 2x+L+ a x + an-n1n - 210= (a x + a)x + a)xn-2+an-3L+ a x + axn-3n-1n-210n= L= (L(an x + an-

43、1 )x + an-2 )x +L+ a2 )x + a1 )x + a0= (L(an x若令 sk+ an -1 )x + an - 2 )x + L+ ak +1 )x + ak则有递推公式：s0就是所求的的值。 总的计算量为n次乘法。pn (x) =sn = ank = n - 1, n - 2, L2, 1, 0sk = x × sk +1 + ak-13-13PPx -1P5 (1)501-31-1令x=2= P5 (2)101204221738917598157以上计算过程称之为算法¥xnx )= å+1(-1)计算ln2。若要精确到10-5n+1利

44、ln用(n另一方面舍入误差的积累也十分n=1要计算十万项的和, 计算量很大,严重。如果改用级数æö1 + x12ç+x+L÷ln =- +2n +1x351 øèæön+ 1æ ö3æ ö5æ ö2ç1÷1ç÷ç÷ç÷1+çççè+èø +L÷+èø+ èø+2= ln

45、3 =取 x = 1 ,lnL÷2n +1- 13÷ø3只须计算前9项的和，截断误差便小于 10 -10返回本章例6一个好的、有效数值方法的评价标准(1)(2)(3)(4)运算次数少运算过程具有规律性（如递归性）,便于编程需的中间结果少数值稳定性好（能误差的和积累）其为：“快”、“准”1.3向量与矩阵1.3.1向量1.3.2的等价性1.3.3矩阵1.3.4 矩阵的性质我们在讨论实数、复数的大小、误差时， 把任何一个实数变量或复数变量与一个非负实函数起来即在 f(x)=x(绝对值或模)意义下， 这个实函数提供了实数变量或复数变量大小的度量。注意到实函数 f(x)=x

46、满足以下三个条件：（1） 非负性（2） 齐次性x0当且仅当x=0 时,x=0ax=a·x（3）三角不等式x+yx+y把任何一个向量或矩阵与一个非负实数起来，在某种意义下，这个实数提供了向量和矩阵的大小的度量。取不同的向量或矩阵，就对应有一类向量或矩阵变量的实值函数，其中每一个函数都可以看作向量或矩阵大小的一种度量，称之为。的主要的应用：一、研究这些矩阵和向量的误差估计二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则1.3.1 向量向量的概念是复数模的概念的自然推广，其定义如下：定义Cn在(n维复向量空间）上的一个非负实值f(x)=x，若该函数满足以下三个条件：函数，记为a Î C

47、即对任意向量x和y以及任意复常数（1） 非负性（2） 齐次性（3） 三角不等式xx0当且仅当x=0n×1时x=0a xa=y×xx+£+y× 为则称函数Cn上的一个向量。定义1.1T ) (x(有：,xT为向量x的转置）。设任意n维向量常用的向量n(1-1)= åxxi1i=112n=x( x,x)(1-2)=Hxè i=1ø( xH 为向量x的共轭转置）(1-3)= max£1i£nxxi¥1æp önpå= çè÷ ,ø&

48、#163;1p<+¥xxi(1-4)pi =1xi表示xi的模。上述四种分别称为,2,和p-。n= å xix以为例，证明其满足向量的三个性质1i=1证明：设任意n维向量 x =以及任意复常数a Î Cx )T , y = ( y , y , L, y )T ,n12nn= åx = (0, 0, L, 0)T³ 0 , 当且仅当时，xx（1）非负性i1i=1n= å= 0; xxi1i=1n=n= ana= a ×=å a xåi=1×åi=1xxa xx（2）齐次性i1ii1i=1= åni=1= åni=1nx + y£ å（3）三角不等式xi + yi+xiyi+1i=1n=+åxyxiyi11i=1，即当，2，时的都为p-前面三种。®xx注意，当p时，。事实上，¥pnp¥ppåi=1p¥= max£1i£n£p£m× ax x=×xxxinnxii£1i£n两边开p次方() 1p1n pnå x£px&