高考专题复习14-第14练　平面向量与其他知识的综合新课标试卷

1、第14练平面向量与其他知识的综合一、选择题1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A,B 两点(A在B的上方),且直线l与准线交于点C,若CB=3BF,则|AF|BF|=() A.2B.52C.3D.94答案A如图,过A,B分别作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,设|BF|=m,|AF|=n.由AA1BB1得|BB1|BC|=|BF|BC|=|AA1|AC|=13,所以nn+m+3m=13,整理得|AF|BF|=nm=2.2.已知线段AB为圆O(x-1)2+y2=1的直径,点P为直线x-y+1=0上任意一点,则PA·PB的最小值为()A.1B.2

2、C.2D.22答案A由题意得,设A(1+cos ,sin ),P(x,x+1),则B(1-cos ,-sin ),PA=(1+cos -x,sin -x-1),PB=(1-cos -x,-sin -x-1),PA·PB=(1+cos -x)(1-cos -x)+(sin -x-1)(-sin -x-1)=(1-x)2-cos2+(-x-1)2-sin2=2x2+11,当且仅当x=0时,等号成立.3.已知动点P(x,y)在椭圆x216+y212=1上,若A点坐标为(2,0),|AM|=1,且PM·AM=0,则|PM|的最小值为()A.3B.3C.2D.2答案BPM·

3、AM=0,PMAM,|PM|2=|AP|2|AM|2=|AP|2-1,|AP|越小,|PM|越小,点M的轨迹为以点A为圆心,1为半径的圆,如图所示,当P点为椭圆的右顶点时,|AP|取最小值,为a-c=4-2=2,|PM|最小值是4-1=3.4.已知函数f(x)=sin 2ax(a>0),点A,B分别为f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点,O为坐标原点,若OAB为钝角三角形,则a的取值范围为()A.0,12(2,+)B.0,33(1,+) C.33,1D.(1,+)答案B由题意得T=4a,O(0,0),A(a,1),B(3a,-1),因为OAB为钝角三角形,所以OA

4、3;OB<0或AB·AO<0,即3a2-1<0或-2a2+2<0,解得0<a<33或a>1.5.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上的三点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|=()A.4B.6 C.9D.12答案B设点A,B,C的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).2p=4,p=2,F(1,0),则FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),FC=(x3-1,y3).FA+FB+FC=0,x1-1+x2-1+x3-1=0,x1+x2+x3=3.|FA|+|FB|+|FC|=x1

5、+x2+x3+3p2=3+3=6.6.如图所示,在平行四边形ABCD中,已知AB=3,AD=2,CP=2PD,AP·BP=1,则AB·AD=()A.6B.-6C.3D.-3答案C CP=2PD,AP=AD+DP=AD+13AB,BP=BC+CP=AD23AB,AP·BP=AD+13AB·AD-23AB=1,整理得AD213AB·AD29AB2=1.AB=3,AD=2,4-13AB·AD29×9=1,解得AB·AD=3.7.(多选题)已知ABC是边长为2的等边三角形,D,E分别是AC、AB上的点,且AE=EB,AD=

6、2DC,BD与CE交于点O,则下列说法正确的是()A.AB·CE=1B.OE+OC=0C.|OA+OB+OC|=32D.ED在BC方向上的投影的数量为76答案BCD由题意知E为AB的中点,则CEAB,以E为原点,EA,EC所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则E(0,0),A(1,0),B(-1,0),C(0,3),D13,233,设O(0,y),y(0,3),则BO=(1,y),DO=-13,y-233,因为BODO,所以y-233=13y,解得y=32,即O是CE的中点,则OE+OC=0,所以选项B中说法正确;|OA+OB+OC|=|2OE+OC|=|OE|=

7、32,所以选项C中说法正确;因为CEAB,所以AB·CE=0,所以选项A中说法错误;ED=13,233,BC=(1,3),所以ED在BC方向上的投影的数量为ED·BC|BC|=13+22=76,故选项D中说法正确.故选BCD.8.过点M(3,0)的直线与圆x2+y2-4x=0交于A,B两点,若C为圆心,则AB·AC的最小值等于()A.2B.3C.4D.6答案D由已知得圆的半径为2,圆心坐标为(2,0),取AB的中点D,连接CD,则CDAB,所以 AB·AC=AB·(AD+DC)=AB·AD=12AB2,要使AB·AC最小,则

8、需|AB|最小,因为直线过点M(3,0),所以当该直线与CM垂直时,|AB|最小,此时圆心C到直线AB的距离为1,即|AB|min=2×4-1=23,所以AB·AC的最小值为12AB2=6.9.(多选题)已知数列an,a1=1,a2=5,在平面四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点E,且AE=2EC,当n2时,BD=(an-2an-1)BA+(an+1-3an)BC恒成立,则()A.数列an为等差数列B.BE=13BA+23BCC.数列an为等比数列D.an+1-an=4n答案BD因为AE=2EC,所以AE=23AC,所以AB+BE=23(AB+BC),所以BE=13BA

9、+23BC,所以选项B正确;设BD=tBE(t>0),则当n2时,BD=tBE=(an-2an-1)BA+(an+1-3an)BC,所以BE=1t(an-2an-1)BA+1t(an+1-3an)BC,所以1t(an-2an-1)=13,1t(an+1-3an)=23,所以an+1-3an=2(an-2an-1),易得an+1-an=4(an-an-1),显然an-an-1不是同一常数,所以选项A错误;因为a2-a1=4,an+1-anan-an-1=4,所以数列an-an-1是以4为首项,4为公比的等比数列,所以an+1-an=4n,所以选项D正确;易得a3=21,显然选项C错误.二、

10、填空题10.已知线段AB是过抛物线y2=4x焦点F的弦,O是原点,则OA·B=. 答案-3解析由题意得F(1,0).当直线AB的斜率不存在时,A(1,2),B(1,-2)或A(1,-2),B(1,2),则OA·OB=1×1+2×(-2)=-3;当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx-k,A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx-k,y2=4x得ky2-4y-4k=0,所以y1y2=-4,x1x2=(y1y2)216=1,即OA·OB=x1x2+y1y2=1-4=-3,综上,OA·OB=-3.11.已知点M是

11、边长为2的正ABC内一点,且AM=AB+AC,若+=13,则MB·MC 的最小值为. 答案13解析取BC的中点O,以点O为坐标原点,OC、OA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系xOy,如图所示,则点A(0,3)、B(-1,0)、C(1,0),设点M(x,y),则AM=(x,y-3),AB=(-1,-3),AC=(1,-3),AM=AB+AC,且+=13,x=-+,y-3=-3(+),+=13,解得x=13-2,y=233,又点M在正ABC内,>0,>0,0<<13,即x-13,13,MB=-1-x,-233,MC=1-x,-233,MB·MC=x21+43=x2+13,故当x=0时,MB·MC取得最小值,为13.12.在平面直角坐标系xOy中,直线l:kx-y+4k=0与曲线y=9-x2交于A,B两点,且AO·AB=2,则k=. 答案1解析直线l:kx-y+4k=0可化为k(x+4)-y=0,过定点(-4,0),曲线y=9-x