概率论与数理统计及其应用第二版课后答案课件

1、概率论与数理统计及其应用习题解答第1章随机变量及其概率1,写出下列试验的样本空间：(1)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。(2)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。(3)连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。(4)抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T,则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。解：(1)S=2,3,4,5,6,7;(2)S=2,3,4,;(3)S=H,TH,TTH,TTTH，;(4)S=HH,HT,T1,T2,T3,T4,T5,T6。2,设A,B是两个事件，已知P(A)=0.25,P(B)=0.5,P

2、(AB)=0.125,求P(A=B),P(AB),P(AB),P(A=B)(AB)。解：P(A=B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.625,P(AB)=P(S-A)B=P(B)-P(AB)=0.375,P(AB)=1P(AB)0.875,P(A-B)(AB)=P(A-B)(S-AB)=P(A-B)-P(A-B)(AB)=0.625-P(AB)=0.53,在100,101,，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。解：在100,101,，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为8x9x9=648,所以所求得概率为9004,在仅由数字0,1,2,3,4,5组

3、成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。(1)求该数是奇数的概率；(2)求该数大于330的概率。解：仅由数字0,1,2,3,4,5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有5M5M4=100个。(1)该数是奇数的可能个数为4M4M3=48个，所以出现奇数的概率为100(2)该数大于330的可能个数为2x4+5x4+5x4=48,所以该数大于330的概率为1005,袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。(1) 4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。(2) 4只中至少有2只红球。(3) 4只中没有白球。解：(1)所求概率为邑%昼=8C4233(

4、2)所求概率为C：C； C：C； C：201 67 .C；一 )495 165(3)所求概率为=至=二C：24951656,一公司向M个销售点分发n(nM)张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到k(kEn)张提货单的概率。解：根据题意，n(ncM)张提货单分发给M个销售点的总的可能分法有Mn种，某一特定的销售点得到k(kn)张提货单的可能分法有Ck(M-1)种，所以某一特定的销售点得到k(kEn)张提货单的概率为kn-kCn(M-1)o7,将3只球(13号)随机地放入3只盒子(13号)中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的

5、盒子，称为一个配对。(1)求3只球至少有1只配对的概率。(2)求没有配对的概率。解：根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3!=6种：123,132,213,231,312,321;没有1只配对的放法有2种：312,231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以(2)没有配对的概率为2=1;63(1)至少有1只配对的概率为1=2。338, (1)设P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1,求P(A|B),P(B|A),P(A|A，B),P(AB|A.B),P(A|AB).(2)袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取

6、到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。解：(1)由题意可得P(AjB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.7,所以P(A| B)=P(AB)P(B)0.10.3P(B| A)=P(AB)P(A)0.1 10.5 一 5107P(A|A-b)=PA(A-B):LTP(AIB)P(AIB)7P(AB | A B)=PAB(A 一 B)P(A 一 B)P(AB)P(A . B)P(A|AB)=P1=P=1P(AB)P(AB)(2)设A(i=123,4)表示“第i次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次

7、取到红球可以表示为AA2A3A4,它的概率为(根据乘法公式)651112 13 12P(AA2A3A4)=P(A)P(A2|A)P(A31AA2)P(&|AA2A3)840=0.0408。205929, 一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A,“另一只也是红球”记为事件B。则事件A的概率为_22215.P(A)=2mM十一M=(先红后白，先白后红，先红后红)43436所求概率为P(B|A)=P(AB)P(A)2 1x 4 3510, 一医生根据以往

8、的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以A表示事件“一病人以为自己患癌症”，以B表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率。(1)P(A),P(B);(2)P(B|A);(3)P(B|A);(4)P(A|B)；(5)P(A|B)。解：(1)根据题意可得P(A)=P(AB)+P(aB)=5%+45%=50%；P(B)=P(BA)+P(BA)=5%+10%=15%;(2)根据条件概率公式：p(b|a)=P(AB)=5%=0.1；

9、P(A)50%(3)P(B|A)=p(bA)P(A)10%= 0.2 ；1 -50%(4)P(A|B)P(aB) _ 45%P(B)1 -15%(5)P(A| B)=P(AB)P(B)5%15%311,在11张卡片上分别写上engineering这11个字母，从中任意连抽6张，求依次排列结果为ginger的概率。解：根据题意，这11个字母中共有2个g,2个i,3个n,3个e,1个r。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g中的任意一张来，概率为2/11;第二次必须从剩余的10张中抽出2个i中的任意一张来，概率为2/10;类似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为361

10、.或者c2c2c3C1C3C1_111 10 9 8 7 63326409240一A6-924012,据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状A、症状B,有20%的人只有症状A,有30%的人只有症状B,有10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求(1)该人两种症状都没有的概率；(2)该人至少有一种症状的概率；(3)已知该人有症状B,求该人有两种症状的概率。解：(1)根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为1-20%-30%-10%=40%;(2)至少有一种症状的概率为1-40%=60%;(3)已知该人有症状B,表明该人属于由只有

11、症状B的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%,所以在已知该人有症状B的条件下该人有两种症状的概率为10%=-o30%10%413, 一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。通讯线通讯量的份额无误差的讯息的份额12340.40.99980.30.99990.10.99970.20.9996解：设“讯号通过通讯线i进入计算机系统”记为事件A(i=1,2,3,4),“进入讯号被无误差地接受”记为事件B。则根据全概率公式有4P(B)P(A)P(B|Ai)=0.40.99980.30.99990.10.99970

12、.20.9996i1=0.9997814, 一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B。根据全概率公式有P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=10%x85%+90%m4%=12.1%,所以，根据条件概率得到所要求的概率为P(B| A)=P(BA)P(A)P(B)P(A|B)1 - P(A

13、)10%(1 -85%)1 -12.1%= 17.06%即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.15,计算机中心有三台打字机A,B,C,程序交与各打字机打字的概率依次为0.6,0.3,0.1,打字机发生故障的概率依次为0.01,0.05,0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M，”程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件Ni,N2,M。则根据全概率公式有3P(M)=ZP(NJP(M|NJ=0.6x0.01+0.3x0.05+0.1x0.04=0.025,i

14、4根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为P(N11Mxp(N1)P(M 小力=0.6 0.01P(M )0.025= 0.24 ,P(N 21M )=P(N2)P(M | 心)P(M )0.3 0.050.025=0.60P(N3 |M )=P(M)P(M |M)P(M )0.1 0.040.025=0.1616,在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A,“一讯息是可信的”记为

15、事件B。根据Bayes公式，所要求的概率为P(B | A)=P(AB)P(A)P(B)P(A| B)95% 1P(B)P(A| B) P(B)P(A| B) 95% 1 5% 0.1%= 99.9947%17,将一枚硬币抛两次，以A,B,C分别记事件“第一次得H，“第二次得H”，“两次得同一面”。试验证A和B,B和C,C和A分别相互独立(两两独立)，但A,B,C不是相互独立。解：根据题意，求出以下概率为1 P(A)=P(B)WP(C)=P(BC) = P(CA)=111，P(ABC) = 2 2 = 4所以有P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)

16、。即表明A和B,B和C,C和A两两独立。但是P(ABC)=P(A)P(B)P(C)所以A,B,C不是相互独立18,设A,B,C三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5,0.7,0.6,设A,B,C各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求(1)恰有一人进球的概率；(2)恰有二人进球的概率；(3)至少有一人进球的概率。解：设“A,B,C进球”分别记为事件Ni(i=1,2,3)。(1)设恰有一人进球的概率为pr则p=PN1N2N3PN1N2N3PNN2N3=P(N1)P(N2)P(N3)+P(N1)P(N2)P(N3)+P(N1)P(N2)P(N3)(由独立性)=0.50.30

17、.40.50.70.40.50.30.6=0.29(2)设恰有二人进球的概率为P2,则P2=PNiNzN3PNiNzN3PNiN2N3=P(Ni)P(N2)P(N3)+P(Ni)P(N2)P(N3)+P(Ni)P(N2)P(N3)(由独立性)=0.50.70.40.50.70.60.50.30.6=0.44(3)设至少有一人进球的概率为P3,则p3=1-PN1N2N3=1-P(N1)P(N2)P(N3)=10.5M0.3M0.4=0.94。19,有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的血全部输入病人体内需要2分钟，医

18、院只有一套验血型的设备，且供血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH+型血。问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH+型血的概率是多少？因为第一次就检验出该型血的概率为0.4;第二次才检验出该型血的概率为0.694=0.24;第三次才检验出该型血的概率为0.62x0.4=0.144;第四次才检验出该型血的概率为0.63x0.4=0.0864;所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.870420,一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如

19、图设有5个独立工作的元件1,2,3,4,5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为p,试求系统的可靠性。第20题解：设“元件i能够正常工作”记为事件A(i=123,4,5)那么系统的可靠性为P(AA2)一(.(A4A5)=P(AA2)P(A3)P(A4A5)-P(AA2A3)-P(AA2A4A5)-P(A3A4A5)P(AA2A3A4A5)=P(A)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)-P(A)P(A2)P(A3)-P(A)P(A2)P(A4)P(A5)-P(A3)P(A4)P(A5)P(A)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)223435:ppp_p_p_pp二p2p2-2p3-

20、p4p521,用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8;若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9,据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4,0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式）P(A)P(B | A)P(A| B)=解：设“一产品真含有杂质”记为事件A,“对一产品进行3次检验,结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件B。则要求的概率为P（A|B）,根据Bayes公

21、式可得P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)又设“产品被检出含有杂质”记为事件C,根据题意有P(A)=0.4,而且P(C|A)=0.8,P(C|A)=0.9,所以P(B| A) =C2 m0.82 m (1-0.8) =0.384;P(B | A) = C32 (1 - 0.9)2 0.9 = 0.027故,P(A|B)P(A)P(B | A)P(A)P(B |A) P(A)P(B | A)0.4 0.3840.4 0.384 0.6 0.0270.15360.1698= 0.9046(第1章习题解答完毕)第2章随机变量及其分布1,设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机地选人

22、来验血，直至发现血型是A型的人为止，以丫记进行验血的次数，求Y的分布律。解：显然，Y是一个离散型的随机变量，丫取k表明第k个人是A型血而前k1个人都不是A型血，因此有PY=k=0.4x(10.4)k=0.4M0.6k,，(k=1,2,3,)上式就是随机变量Y的分布律(这是一个几何分布)。2,水自A处流至B处有3个阀门1,2,3,阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X表示当信号发出时水自A流至B的通路条数，求X的分布律。设各阀门的工作相互独立。解：X只能取值0,1,2。设以Ai(i=1,2,3)记第i个阀门没有打开这一事件。则PX=0=PA1(A2.A3)=P(AAz)

23、.(AA3)=PAA2PAA3-PAA2A3=P(A)P(A2)P(A1)P(A3)-P(A)P(A2)P(A3)=(1-0.8)2+(1-0.8)2-(1-0.8)3=0.072,类似有PX=2=PA1(a2A3)=P(AA2A3)=0.83=0.512,PX=1=1-PX=0-PX=2=0.416，综上所述，可得分布律为X012PX =k0.0720.5120.4163,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美 国人，以X表示15个人中无任何健康保险的人数(设各人是否有健康保险相互独立)。问X服从什么分布？写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率：(1)恰有3人；(2

24、)至少有2人；(3)不少于1人且不多于3人；(4)多于5人。解：根据题意，随机变量X服从二项分布B(15,0.2),分布律为P(X=k)=c1x0.2k-0.815*k=0,1,2,15。(i)p(x=3)=C35M0.23m0.812=0.2501,P(X之2)=1P(X=1)P(X=0)=0.8329；(3)P(1X5)=1-P(X=5)-P(X=4)-P(X=3)-P(X=2)-P(X=1)-P(X=0)=0.06114,设有一由n个元件组成的系统，记为k/nG,这一系统的运行方式是当且仅当n个元件中至少有k(0kWn)个元件正常工作时，系统正常工作。现有一3/5G系统，它由相互独立的元

25、件组成，设每个元件的可靠性均为0.9,求这一系统的可靠性。解：对于3/5G系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数X服从二项分布B(5,0.9),所以系统正常工作的概率为55kk5_kP(X=k)-C50.90.1=0.99144k3k-35,某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为0.001,现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。(设各产品是否为次品相互独立)解：根据题意，次品数X服从二项分布B(8000,0.001),所以6P(X：二7)=P(X15(2)已知随机变量Xn(K),且有PX0=0.5

26、,求PX2。解：(1)PX15=1-PX0=1PX=0=1e4=0.5,得到九=ln2。所以PX_2=1-PX=0-PX=1=1一0.5-e-=(1-ln2)/2：0.15347, 一电话公司有5名讯息员，各人在t分钟内收到讯息的次数Xn(2t)(设各人收到讯息与否相互独立)。(1)求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。(2)求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。(3)写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数Xn(2)。(1)PX=Q=e/球0.1353；(2)设在给定的一分钟内5个讯息员中没

27、有收到讯息的讯息员人数用Y表示，则YB(5,0.1353),所以PY=4=C540.13534父(1-0.1353)=0.00145。(3)每个人收到的讯息次数相同的概率为8, 一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X表示铃响kx20x11至结束讲解的时间。设X的概率密度为f(x)=J,(1)确定k；(2)求PX-；0其他3(3)求 P1 x -解：(1)根据1 =1 kf (x)dx = kx2 dx =-(2)1 PX =31/3% ,3f3x2dx = 一 | 02 ,1 !E = f3x dx = 一 21/；4或者X1o因为110PXW1=0.

28、003x2dx=0.001,PX24=J0.003x2dx=0.93604所以方程有实卞g的概率为0.001+0.936=0.937.10,设产品的寿命X (以周计)服从瑞利分布，其概率密度为x_x2/200f(x)=100ei0(1) 求寿命不到一周的概率；(2) 求寿命超过一年的概率；(3) 已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率1解：(1)PX52=edx=e%0.000001；52100-bex(3) PX 26X 20=P X26P X20一e 26100-x2/200 ,dx-hox_x2/200e dx20100-276/200二e定 0.25158。11,设实验室的

29、温度x(以C计)为随机变量，其概率密度为f (x)=9(4-x2)0(1) 某种化学反应在温度X1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。(2) 在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以丫表示10个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律。(3)求PY=2,PX22。21o5解：(1)PX1=(4-x2)dx=19275、(2)根据题意YB(10,),所以其分布律为27kP(Y=k)=C102227io_kk=0,1,2,10= 0.2998,255f(3)P(Y=2)=Cim父27；P(Y之2)=1P(Y=0)P(Y=1)=0.5778。12

30、,(1)设随机变量Y的概率密度为0.2-1y0f(y)=0.2+Cy0y0.5|Y0.1(2)设随机变量X的概率密度为1/80cx2f(x)=x/82x40其他求分布函数F(x),并求P1x1|X3二01c解：(1)根据1=口(y)dy=0.2dy+J(0.2+Cy)dy=0.4+C,得到C=1.2.-：402y -1-1 三 y ： 00 y 二 1y -10y0.2dyy0:F(y)=1f(y)dy=0.2dy+“0.2+1.2y)dy-40010.2dy+J(0.2+1.2y)dy.j00y-10.2(y+1)-1y020.6y20.2y0.20y11y-1P0Y0.5=PY0.5-PY

31、40=F(0.5)F(0)=0.450.2=0.25;PYA。二爵甯1-PY0.51-F(0.5)1-0.45二二二0.71061-PY0.11-F(0.1)1-0.226(2)F(x)x=jf(x)dx=-oa0x1dx0821xxdxdx08282d41xf-dx+-dx0828x:二00Mx:二22x:二4x.40x0x/80Mx2x123/162x：41x_4P1Ex3=F(3)F(1)=9/161/8=7/16;PX _1| X 3=P M 1X M 3PX 3F(3)-F(1)F(3)= 7/9。13,在集合A=1,2,3，.,n中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X表示第一

32、次取到的数，以Y表示第二次取到的数，求X和丫的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和丫的联合分布律。解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1),因此、1.PX=i,Y=j=,(i#j,且1Ei,jEn)n(n-1)，-,一1.当n取3时，PX=i,Y=j=,(i#j,且1Ei,j3),表格形式为6123101/61/621/601/631/61/6014,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的。A,B均有两个加油管。随机取一时刻，A,B正在使用的软管根数分别记为X,Y,它们的联合分布律为01200.100.080.0610.0

33、40.200.1420.020.060.30PX2,PXY,PX+Y2=Hf(x,y)dxdy=Jdx8e2H4y)dy=eCdx14eydy=e”;x22020xx二：PXY=f(x,y)dxdy=dx8e2x4y)dy=2exdx4e/ydy=2ex(1-ex)dx=-xy0000031 1-x11-xPX+Y1=JJf(x,y)dxdy=Jdx/8e(2x44y)dy=J2exdxJ4eydy=(1e)2。xfy100002 2.16,设随机变量(x,丫)在由曲线y=x,y=x/2,x=1所围成的区域G均匀分布(1) 求(X,Y)的概率密度；(2) 求边缘概率密度fx(x),fY(y)。

34、解：(1)根据题意，(X,Y)的概率密度f(x,y)必定是一常数，故由6, (x,y)。 其他21x/1一,1一1=1f(x,y)dxdy=Jdxf(x,y)dy=一f(x,y),得到f(x,y)=JG0x2/26*hefX(x)=ff(x,y)dy=x2 26dy = 3x ,x2 /20,0 : x ： 118,设(1)-bofY(y) = f(x, y)dx =,12yJ6dx,1 1J6dx,0,0 :二 y :二 0.50.5 1|X =0.5。-He解：(1)fX (x)=Jf (x,y)dy = 00, 其他特别地，当x =0.5时fYiX (y |x = 0.5) = *0岳9

35、3 * 5 y0,y 0其他6的条件分布律。Y012PY|X=05/121/31/4类似地，在Y=1的条件下X的条件分彳亍律为X012PX|Y=14/1710/173/17为-,得到在X=0的条件下Y的条件分布律PX=0解：(1)根据公式P y = i | X = 0=(2)因为 f (x, y) = 36,0,(x, y) G其他x2fX (x)-6dy =3x6W),fx2 /2；fY(y)=6(1-Jy),0,所以，当 0 x 1 时，fY|X (y | x)=f (x, y)fx (x)0,x2/2当0y0.5 时，fXY(x|y) =f(x,y)fY(y)=.2y- y,0,当 0.

36、5Wy1 时，fXY(x|y)f (x, y)一 fY(y)_1_1 -, y ,0,0 二 y 二 0.50.5 y 1。其他2:二 x其他其他.y 二 x 二 1其他-0.5 二 x ：二 1其他当y=0.5时，fXY(x|y)=1JK5,0,20,设随机变量(X,Y)在由曲线y=xy=Jx所围成的区域G均匀分布。(1) 写出(X,Y)的概率密度；(2) 求边缘概率密度fX(x),fy(y)；(3) 求条件概率密度fY|X(y|x),并写出当x=0.5时的条件概率密度。(x, y) g其他解：(1)根据题意，(X,Y)的概率密度f(x,y)必定是一常数，故由x1口31=口f(x,y)dxd

37、y=JdxJf(x,y)dy=-f(x,y),得到f(x,y)=Gox 求(X,Y)联合概率密度；求(X ,Y)关于Y的边缘概率密度；求在y = y的条件下X的条件概率密度fX|Y (x | y)3、0,x_s、/、jf3dy=3(Jx-x2),fx(x)=ff(x,y)dy=2xx23( , y -y2), 0 二 y 二 10,其他J3dx,0y14=0y2fy(y)=f(x,y)dx=q0,其他(3)当0x1时,fY|x(y|x)=fW=卜Gx2x2:y-.xx其他特别地，当x=0.5时的条件概率密度为1/4 二 y ：二.2/2其他4供(y|0.5)=22-10,21,设(X,Y)是二

38、维随机变量，X的概率密度为0 :二 x :二 2其他2xfx(x)=6,0,且当X=x(0x2)时Y的条件概率密度为1xyfY|X(y|x)=j1+x/20，,0二y：二1其他0 二 x :二 2, 0 :二 y ： 11+xy解：(1)f(x,y)=fx(x)fY(y|x)=-0(2)21xyfY(y)=f(x,y)dx=03,2、dx=(1y)30:v11其他(3)当0y1时,fx|Y(x|y)=f(x,y)fY(y)1+xy=2(1+y)0，0:二x:二2其他22,(1)设一离散型随机变量的分布律为Y-101Pk68-1-6-又设Y,Y2是两个相互独立的随机变量，且X,丫2都与Y有相同的

39、分布律。求Y,Y2的联合分布律。并求PY1=丫2。(2)问在14题中X,Y是否相互独立?解：(1)由相互独立性，可得丫，丫2的联合分布律为PY=i,Y2=j=PY=iPY2=j，i,j=-1,0,1结果写成表格为Y2_-101-192/4日(1-储/262/409(1-0)/2(1-0)29(18)/2192/4日(1-储/262/4PY=Y2=PY=Y2=1+PY=Y2=0+PY=Y2=1=(19)2+62/2(2)14题中，求出边缘分布律为012PX=i00.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.38PY=j0.160.340.501很

40、显然，PX=0,Y=0#PX=0PY=0,所以X,Y不是相互独立23,设X,Y是两个相互独立的随机变量，XU(0,1),Y的概率密度为3y0yY解：根据题意，X的概率密度为1fX(x)=,00：X：:1其他0 二 x ： 1, 0 二 y ： 1/2其他所以根据独立定，X,Y的联合概率密度为3y1/21dx 8ydx0 yf(x,y)=fX(x)fY(y)=0PXY=f(x,y)dxdyxy24,设随机变量X具有分布律X-2-1013pk1/51/61/51/1511/302求Y=X+1的分布律。解：根据定义立刻得到分布律为Y12510Pk1/57/301/511/3025,设随机变量XN(0

41、,1)，求U=X的概率密度解：设X,U的概率密度分别为fX(x),fU(u)，U的分布函数为FU(u)o则当uE0时，Fu(u)=PUMu=PX|Eu=0,fu(u)=0；当u0时,FU(u)=PUu=PX|u=P-uWXu=26(u)1,fu (u) = Fu (u) 1u 0u 0所以，-We,/226,(1)设随机变量 X的概率密度为0x 0其他L_Xf(x)=，0求Y=Xx的概率密度(2)设随机变量xU(-1,1),求Y=(X+1)/2的概率密度2(3)设随机变量XN(0,1)，求Y=X的概率密度。解：设X,Y的概率密度分别为fX(x),fY(y),分布函数分别为FX(x),FY(y)

42、。则(1)当yM0时，Fy(y)=PYMy=PVXWy=0,丫卬)=0;当yA0时，FyW)=PYWy=P*又Wy=PXy2=Fxa2),fY(y)=Fy(y)1=2yfX(y2)=2ye-2所以,fY(y)=j2ye0(2)此时 fX (x)= 1/20-1 :x ： 1其他因为FY(y)=PYy=P(X+1)/2y=PX2y_1=FX(2y1),故，fY(y)=FY(y)=2fX(2y-1)=1,-12y-11,所以，fY(y) = 1 0 y 0时,FY(y)=PYy=PX2y=P百XJy=/)-虫-)=2(后)-1,故，fY(y)=FyM】=2fx(,y)e2y2y_y/2所以，fY(

43、y)=1y0y0其他27,设一圆的半径X是随机变量，其概率密度为求圆面积A的概率密度。f(x) = (3x+1)/8 0x20 其他2 一 ._ 一 .解：圆面积a =必 ，设其概率密度和分布函数分别为g(y),G(y)。则G(y) = PnX2 Ey =PX E %；7?7 = Fx (/777),故1 13 , y , /:工g(y) = G(y)2y 28、.二0 :二,y/二：二 23、y ，二所以，g( y)=16n 500 : y ： 4 二其他28,设随机变量X,Y相互独立，且都服从正态分布N(0,仃2),验证Z =dx2 +Y2的概率密度为1_z_eu2/(2cr2)fZ(z)

44、= ；e0Z- 0其他解：因为随机变量X,Y相互独立，所以它们的联合概率密度为x2y22二2先求分布函数，当ZA0时，FZ(z)=PZwz=PX2+Y2wZ22 二= f(x, y)dxdy= d1x2 - y2 _z20o 2二二2r-一_2e 2- rdr = 1 - e2z2 二2I1 I故，fZ(z) = Fz(z)1 =e-z2 仁二2) e其他。129,设随机变量XU(1,1),随机变量Y具有概率密度fY(y)=k二(1y)设x,y相互独立，求Z=X+Y的概率密度。解：因为fX(x)=1/2-1 ： x 1其他所以Z = X + Y的概率密度为fZ(z) = fY(y)fx(z -y)dy -z2 二(1 y)1 1dy = brctan(z 1) - arctan(z -1) 1。 2二30随机变量X和Y的概率密度分别为fX (x) = 1x 0其他九2 yey0y 0其他九0 , x,y相互独立。求Z = X + Y的概率密度。 解：根据卷积公式，得-zfz(z) =fY(y)fx(z- y)dy = - ye- dy-id3,2 -z一 z e2所以Z = X+Y的概率密度为fY(y)=fn 3Z_2 -?z 一z e12