山东建筑大学画法几何4投影变换

1、14 41 1 投影变换的目的和方法投影变换的目的和方法4 42 2 变换投影面法（变换投影面法（换面法）换面法）4 43 3 旋转法旋转法 第四章第四章 投投 影影 变变 换换4 45 5 度量问题和定位问题举例度量问题和定位问题举例24 41 1投影变换的目的和方法投影变换的目的和方法特殊位置的直线：特殊位置的直线：可直接反映实长、倾角问题可直接反映实长、倾角问题XOa bb a实长实长 XOa (b )ab实长实长水平线水平线正垂线正垂线3实形实形XObaa cb c 类似形类似形aXOb a c b c 特殊位置的平面：特殊位置的平面： 可直接反映实形、倾角问题可直接反映实形、倾角问题

2、正平面正平面正垂面正垂面4 41 1投影变换的目的和方法投影变换的目的和方法4特殊位置的几何元素：特殊位置的几何元素：可直接反映度量、定位问题可直接反映度量、定位问题e f efa(b)b a d c(d)c 两直线的距离两直线的距离距离距离点到直线的距离点到直线的距离f afa d c(d)c 距离距离4 41 1投影变换的目的和方法投影变换的目的和方法5cbRHk21a012kaef aef一般位置的几何元素无法直接进行度量。一般位置的几何元素无法直接进行度量。b距离距离cz距离距离m c a b abcm点到直线的距离点到直线的距离4 41 1投影变换的目的和方法投影变换的目的和方法z6

3、一、投影变换一、投影变换 改变空间几何元素与投影面的相对位改变空间几何元素与投影面的相对位置，使它们相互之间处于某一特殊位置的置，使它们相互之间处于某一特殊位置的情况，从而使问题简化、得到解决情况，从而使问题简化、得到解决投投影变换影变换。二、投影变换的方法二、投影变换的方法1. 变换投影面法（辅助投影面法）变换投影面法（辅助投影面法）2. 旋转法旋转法4 41 1投影变换的目的和方法投影变换的目的和方法7VHXOabcba(c)一、一、 基本概念：基本概念：4 42 2 换换 面面 法法换面法：换面法：空间几何元素不动，改空间几何元素不动，改变投影面的位置使其有利于解题。变投影面的位置使其有

4、利于解题。实形实形XVHAbabCacBVc1 b1a1O1X1V1a1c1b18（1 1）新投影面要垂直原有的）新投影面要垂直原有的一个投影面。一个投影面。（2 2）新投影面要处于最有利）新投影面要处于最有利于解题的位置。于解题的位置。二、基本条件二、基本条件讲解顺序：点讲解顺序：点 线线 面面 4 42 2 换换 面面 法法实形实形XVHAbabCacBVc1 b1a1建立新投影面的条件：建立新投影面的条件：9变换规律：变换规律： 1. 点的新投影到新轴之距点的新投影到新轴之距=旧投影到原轴之距；旧投影到原轴之距； 2. 点的新投影与被保留投影的连线点的新投影与被保留投影的连线新轴新轴O1

5、 1X1 1。a1 HV1X1O1aX1三、基本原理三、基本原理1. 点的点的一次变换一次变换：a XOVHaaxVHHV1V1a aAaXaX1O1X1VOXHa1 4 42 2 换换 面面 法法10变换规律：变换规律： 1. 点的新投影到新轴之距点的新投影到新轴之距=旧投影到原轴之距；旧投影到原轴之距； 2. 点的新投影与被保留投影的连线点的新投影与被保留投影的连线新轴新轴O1 1X1 1。三、基本原理三、基本原理1. 点的点的一次变换一次变换：VHVH1a1VH1X1O14 42 2 换换 面面 法法H1a aAaXaX1O1X1VOXHa1a XOVHaax11a aAaXVV1OO1

6、XX1Ha1 2.2. 点的二次变换点的二次变换X2O2V1H1a1VHV1HV1H1X1HV1O1a XOVHaaXa1 a1H1X2O24 42 2 换换 面面 法法三、基本原理三、基本原理12 42 换面法换面法23四、变换投影面的基本类型四、变换投影面的基本类型1.将一般位置直线变换为新投影面的平行线,需要经过一次变换,可解决求线段的实长及对另一投影面的倾角问题;2.将一般位置直线变换为新投影面的垂直线,需要经过两次变换,可解决点到投影面平行线的距离和两条平行的投影面平行线的距离等问题;3.将一般位置平面变换为新投影面的垂直面,需要经过一次变换,可解决平面对另一投影面的倾角、一点到一平

7、面的距离、两平行平面间的距离、直线与一般面的交点和两平面交线等问题;4.将一般位置平面变换为新投影面的平行面,需要经过两次变换,可解决求平面的实形等问题.131 1、把一般位置直线变换成投影面的平行线、把一般位置直线变换成投影面的平行线XVHOV1X1O1a1 b1 abb a ABXOVHX1HV1O1abb a b1 a1 实长实长 基本作图基本作图一次一次14V1X1O12 2. .把投影面的平行线变换成投影面的垂直线把投影面的平行线变换成投影面的垂直线XVHOa1 (b1 )XOVHa b abX1HV1O1a1 (b1 )基本作图基本作图一次一次aa b AbB153.3.把一般位置

8、直线变换成投影面的垂直线把一般位置直线变换成投影面的垂直线X2O2H1V1a1(b1)基本作图基本作图两次两次X1HV1O1b1 a1 实长实长abb a XOVHXVHOV1X1a1 b1 abb a AB O1O2H1a1(b1)X216XVHXHVOaa b c cb4.4.把一般位置平面变换成投影面的垂直面把一般位置平面变换成投影面的垂直面d da1 b1 d1 (c1 )X1V1HO1V1X1d1 (c1 )cdd c CD 水平线水平线基本作图基本作图一次一次175.5.把投影面的垂直面变换成投影面的平行面把投影面的垂直面变换成投影面的平行面aa c b cbXOVHa1 b1 实

9、形实形X1HV1O1c1 基本作图基本作图一次一次186.6.把一般位置平面变换成投影面的平行面把一般位置平面变换成投影面的平行面X2O2V1H1a1b1c1实形实形基本作基本作图图两次两次XHVOaa b c cbd da1 b1 d1 (c1 )X1V1HO119 43 换位法（旋转法）换位法（旋转法）aaa1o1o2O2O1o1(o2) a1 AA1VHOX aa1aa1o1(o2)o1o2 20 43 换位法换位法( (旋转法旋转法) )一、旋转法介绍： 旋转法是保持原投影面体系不变，而将空间点、直线和平面等几何元素绕某一垂直于投影面的轴旋转，使其成为有利于解题所需的特殊位置。二、点的

10、旋转投影规律空间一点绕垂直于投影面的轴旋转时：1、它在该轴所垂直的投影面上的投影，沿着一圆弧转动；2、它在另外投影面上的投影则沿着平行于投影轴的直线移动。21 43 换位法换位法( (旋转法旋转法) ) 三、利用旋转法时应注意的问题 直线和平面上的点，在每一次旋转过程中，要注意三同原则：绕同一旋转轴同一旋转轴、朝同一方向同一方向、旋转同同一角度一角度。 22 43 换位法换位法( (旋转法旋转法) ) 四、例题:用旋转法求作过点C所作直线AB的垂线CD,垂足为D。 aabbOXccdd23 43 换位法换位法( (旋转法旋转法) ) 四、例题:用旋转法求作过点C所作直线AB的垂线CD的实长,垂

11、足为D。 aabbOXccd1d124 在确定一般位置平面的实形时，无论在确定一般位置平面的实形时，无论是用变换投影法，还是用以铅垂线为轴是用变换投影法，还是用以铅垂线为轴的旋转法，都要经过两次变换。如果采的旋转法，都要经过两次变换。如果采用以平面内的一条水平线或正平线为轴用以平面内的一条水平线或正平线为轴来旋转此平面，则只需要一次变换就可来旋转此平面，则只需要一次变换就可求出。求出。 44 以水平线为轴的旋转法以水平线为轴的旋转法25ABCO1、平面绕水平轴旋转时，平面内点的水平投影对轴的水平投影作垂线运动；2、平面旋转到水平位置时，平面内点的旋转半径的水平投影必然反映实长。A144 以水平

12、线为轴的旋转法以水平线为轴的旋转法26a bcab c a1Oo 44 以水平线为轴的旋转法以水平线为轴的旋转法27aa1bca a1 b c dd c1c1 b44 以水平线为轴的旋转法以水平线为轴的旋转法28 定位定位: : 解决空间几何元素之间的相互位置问题，如从属性、交点、交线等。解决空间几何元素之间的相互位置问题，如从属性、交点、交线等。 度量度量: : 解决空间几何元素的形状、大小、倾角或相互间的距离、角度问题等。解决空间几何元素的形状、大小、倾角或相互间的距离、角度问题等。4 45 5 度量度量问题问题定位问题举例定位问题举例度量问题小结1. 直线的实长、倾角：直线的实长、倾角：

13、直角三角形法，变换一次投影面直角三角形法，变换一次投影面2. 平面的实形、倾角：平面的实形、倾角：最大斜度线法求倾角，变换投影面法最大斜度线法求倾角，变换投影面法3. 距离距离: 点到直线、两直线、点到平面、直线与平面、两平面点到直线、两直线、点到平面、直线与平面、两平面 点、线、面法点、线、面法，变换投影面法变换投影面法4. 夹角夹角: 两直线、直线与平面、两平面两直线、直线与平面、两平面 变换投影面法变换投影面法291. 求求A A点到点到三角形三角形BCDBCD的距离及两面投影。的距离及两面投影。 XOaa c b d bdcX1b1 d1 c1 a1 k1 kk O130XOVHk1 b1 a1 aa b bkk O1V1HX1X2H1V1O2k1a1(b1)(m1)m1 mm 距离距离2. 求求K K点到直线点到直线ABAB的距离及两面投影。的距离及两面投影。Ha (bm)kKAM距离距离B313. 已知直线已知直线ABAB和和CD,CD,其距离为其距离为20mm,20mm,求求CDCD的的V V面投影。面投影。X1a1 (b1 )c1 (d1 )c d XOa b abcd32XO d c cdb a abX1O1b1 a1 c1 d1 k1 g1 kgO2X2a1b1g k (k1)g1距离距离4. 求交叉两直线求交叉两直线ABAB和和CDCD间的距离及其两