D6_7-1对坐标曲线积分

1、目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 第七节-1一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移cosABFW “分” “匀”“合” “精”恒力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.ABF ABF

2、),(, ),(),(yxQyxPyxFABLxyO目录 上页 下页 返回 结束 1kMkMABxy1) “分分”.2) “匀匀”L把L分成 n 个小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk则有kkkkyQxP),(),(kk所做的功为,kWF 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1则用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点在kykxO目录 上页 下页 返回 结束 3) “合合”4) “精精”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)1kMkMABxyL),(kkFk

3、ykxO目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意任意分割和在局部弧段上任意任意取点, 都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分. 其中, ),(yxPL 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线 .称为被积函数被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数极限),(, ),(),(yxQyxPyxF记作),(yxF),(yxQ目录 上页 下页 返回 结束 Lxyx

4、Pd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.若 为空间曲线弧 , 记若记, 对坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 类似地, 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性质(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(

5、2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(则说明说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 !目录 上页 下页 返回 结束 二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:),(, ),(yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ连续,其中其中LxyxPd),(tttPd )(),()(t存在, 且有LyyxQd),(tttQd )(),()(t目录 上页 下页 返回 结

6、束 特别是, 如果 L 的方程为,:),(baxxy则xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(对空间光滑曲线弧 :类似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx定理 起点对应下限，起点对应下限，终点对应上限。终点对应上限。目录 上页 下页 返回 结束 yxO例例1. 计算其中 L 为,:, 0aaxyBAaa(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴

7、到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00则则目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,21:22zyxyx从 z 轴正向看为顺时针方向.解解: 取 的参数方程,sin,costytx2cossinztt 20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41 (220)sin)(cos2(tt 2z

8、yxO20( :)t目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算,dd22yxxyxL其中L为(1) 抛物线 ; 10:,:2xxyL(2) 抛物线 ;10:,:2yyxL(3) 有向折线 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式yyy222yy d5104(3) 原式yxxyxOAdd22 01)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210dy11yxO目录 上页 下页 返回 结束 BAyxzO例例4. 设在力场作用下, 质点由沿 移动到),2,0,(kRB)0, 0,(RA.)2(AB解解: (1)

9、zzyxxydddttkR2022d)(2) 的参数方程为kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20d试求力场对质点所作的功.;,sin,cos) 1(tkztRytRx)(222Rk222k其中 为 ),(zxyFsFWdsFWd目录 上页 下页 返回 结束 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 的参数方程为xtytatb ( ),( )()LyyxQxyxPd),(d),(并且假设起点对应a，终点对应b ( ),( ) baPtt)(t)(ttd)(),(ttQ已知L切向量的为2222cos,( )( )( )( )( )( )costttt

10、tt( )( )t it j目录 上页 下页 返回 结束 2222( )( )( )( )( ) ( ),( )Qttttttdtt ( , )cos( , )cosdLP x yQ x ys对弧长的曲线积分计算如下： 22( )( ( ),( ) ( )battPttt ( ),( ) baPtt)(t)(ttd)(),(ttQLyyxQxyxPd),(d),( 目录 上页 下页 返回 结束 类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令Ad As, ),(RQPA )cos,cos,(cosd As记 A 在 上的投影为d(d, d , d )sxyzdAs dAs 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到从解：解：OyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xx syddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圆周xdydsd目录 上页 下页 返回 结束 AB两型线积分的异同（3）第一型线积分无方向， 第二型线积分有方向。（4）第一型线积分是对弧长的积分， 第二型