概率论与数理统计 14 全概率公式与独立试验

1、1.4全概率公式与独立试验1 1、全概率公式、全概率公式2 2、独立试验、独立试验一、全概率公式与贝叶斯公式：一、全概率公式与贝叶斯公式：在求解较为复杂的概率问题时，人们常常希望将所涉在求解较为复杂的概率问题时，人们常常希望将所涉及的复杂事件分解成简单事件的并。而每个简单事件及的复杂事件分解成简单事件的并。而每个简单事件的概率容易求出，这样复杂事件的概率就得以求出。的概率容易求出，这样复杂事件的概率就得以求出。本节介绍的全概率公式，就是将样本空间适当的分解本节介绍的全概率公式，就是将样本空间适当的分解为若干部分，使得在每个部分中容易求出所要的率。为若干部分，使得在每个部分中容易求出所要的率。为

2、了给出全概率公式，先给出一个定义。为了给出全概率公式，先给出一个定义。1、定义、定义1.8:1.8:nijA AAA A设设是是两两两两互互斥斥的的事事件件列列 即即12,=1niiij i j =nAA A若若= = , , 则则称称12(; ,1,2, ) . ,nA是是样样本本空空间间的的一一个个完完备备事事件件组组 . .,注注 对于一个样本空间对于一个样本空间, , 完备事件组不唯一完备事件组不唯一. .完备事件组：完备事件组：nBBB,设设是是样样本本空空间间的的一一个个完完备备事事件件组组 则则对对12, 2、定理定理1.6(全概率公式全概率公式):1niiiAP AP B P

3、A B任任意意事事件件 , , 有有 ( ) =() ()nB BB, 由由于于是是样样本本空空间间的的一一个个完完备备件件组组证证事事12, 1niijiBB B = , ij i j =n; ,所所以以 = = , , 有有 1,2,11nniiiiA AABAB于于是是有有 = = = = , ,ijijB BABAB因因为为 = , = , 所所以以 = =()()111nnniiiiiiiP APABP ABP B P A B= = = =( )()() ()nBBB,设设 是是样样本本空空间间的的一一个个完完备备事事件件组组12, 3、定理定理1.7(贝叶斯公式贝叶斯公式):()

4、0 . () 0 ,iP BAP A且且 设设 是是任任意意事事件件, , 且且 则则1iiinjjjP B P A BP B AP B P A B.= =() ()()() ()iiiiP B P A BP ABP B AP AP A=证证() ()()()( )( )1iinjjjP B P A BP BP A B.= =() ()() ()例例1 1、设工厂、设工厂A A和工厂和工厂B B的次品率分别为的次品率分别为1%1%和和2%,2%,现从现从机地抽取一件，发现是次品，则该次品是机地抽取一件，发现是次品，则该次品是A A工厂生产的工厂生产的由由A厂和厂和B厂的产品分别占厂的产品分别占

5、60%和和40%的一批产品中随的一批产品中随概率是概率是_。（。（9696年考研题）年考研题）解：记解：记C=C=“取的产品是取的产品是A A厂生产的厂生产的”，D=D=“取的产品是次品取的产品是次品”，由题意可知，由题意可知，p p( (C C ) )= =0 0. .6 6p p( (C C ) )= =0 0. .4 4, ,p p( (D D | |C C ) )= =0 0. .0 01 1, ,p p( (D D | |C C ) )= =0 0. .0 02 2.，0 60130 601 0 40 27p p( (C C D D ) ). . .p p( (C C | |D D

6、) )= = = =p p( (D D ) ). . .+ + . . .例例2 2、（、（9797年考研题）袋中有年考研题）袋中有5050个乒乓球，其中个乒乓球，其中2020个个是黄球，是黄球，3030个是白球，今有两人依次地从袋中各取一个是白球，今有两人依次地从袋中各取一球，取后不放回，则第球，取后不放回，则第2 2人取得黄球的概率是人取得黄球的概率是_。i iA =ii= ,A =ii= , .解解：记记“第第 个个人人取取到到黄黄球球”，12122121121p p( (A A ) )= =p p( (A A ) )p p( (A A | |A A ) )+ +p p( (A A )

7、)p p( (A A | |A A ) )21932025495495= =+ += =二二、独立试验、独立试验(伯努利试验伯努利试验)概型概型 有一种试验有一种试验, , 每次试验的结果只有两种：发生或不发生每次试验的结果只有两种：发生或不发生, , 这种实验这种实验 概型称为概型称为伯努利试验伯努利试验 .注注 有些试验的结果虽然不只两个有些试验的结果虽然不只两个, 但有时人们在众多但有时人们在众多结果中只关心其中的一个结果中只关心其中的一个, 比如设其为事件比如设其为事件 A, 而其它而其它A ,众众多多的的试试验验结结果果归归为为 这这样样就就又又把把此此试试验验变变成成伯伯努努利试验

8、利试验, 如产品质量分为一等品、二等品、三等品和如产品质量分为一等品、二等品、三等品和次品，由于人们常关心次品出现的概率，故把次品，由于人们常关心次品出现的概率，故把“出现出现A 次品次品”设为事件设为事件 A ，其余的情况合在一起设为，其余的情况合在一起设为1、定义定义1.9: :将一个伯努利试验独立重复进行将一个伯努利试验独立重复进行 n 次形成的试验序次形成的试验序列，列，称为称为 n 重重伯努利试验伯努利试验或或独立试验序列概型独立试验序列概型 .2、定理定理1.8:App在在一一次次试试验验中中 事事件件 发发生生的的概概率率是是 ,(0 1) ,nAk则则在在 重重伯伯努努利利试试

9、验验中中 事事件件 恰恰好好发发生生 次次的的概概率率为为,kkn knCpp (1). 1010证证 在固定的在固定的n n个实验序号上发个实验序号上发生生k k次次A A的概率为的概率为但在序号但在序号1 1到到n n中挑选中挑选k k个的方法个的方法共有共有(1),kn kpp,(1).kkKn knnCPP. 因此有C例例3 3、连续投掷一枚均匀硬币连续投掷一枚均匀硬币10次，求其中恰有次，求其中恰有3次是次是 显显然然这这是是重重伯伯努努利利试试验验. .解解10正面的概率正面的概率 . .P BCC 371033101011115( ) =1=22227AP A设设 表表示示 出出

10、现现正正面面则则 1, ( ) =2B再再设设 表表示示次次中中正正面面出出现现 次次则则 103, 例例4 4、(87(87年考研题年考研题) )设在一次试验中设在一次试验中A A发生的概率为发生的概率为p p，现进行现进行n n次独立试验，则次独立试验，则A A至少发生一次的概率为至少发生一次的概率为0011111()()nnnnP B) = C PPC PP( ) = (1- P) 11( )()nnP AP AP因因 ，所所以以有有 AnAnA=A=事事件件 在在 次次试试验验中中不不发发生生 _，而事件，而事件A至多发生一次的概率为至多发生一次的概率为_.解：事件解：事件A A至少发

11、生一次的概率的对立事件是至少发生一次的概率的对立事件是A A至多发生一次意味着至多发生一次意味着A A只发生一次或者不发生，记该只发生一次或者不发生，记该事件为事件为B B。111()()nn=PnPP例例5 5、(88(88年考研题年考研题) )设在三次独立试验中事件设在三次独立试验中事件A A出现的出现的概率相等，若已知概率相等，若已知A A至少出现一次的概率为至少出现一次的概率为19/2719/27，则，则事件事件A A在一次试验中出现的概率为在一次试验中出现的概率为_。解：解：A A至少出现一次的对立事件是至少出现一次的对立事件是A A不出现，记为不出现，记为B B( )()P(A)P BC PP00331911127其中，其中，p p表示表示A A在一次试验中出现的概率，可得在一次试验中出现的概率，可得13P例例6 6、(07(07年考研题年考研