2020届北京市陈经纶学校高三上学期数学10月月考试题(解析版)

1、第1 1页共 1919 页2020 届北京市陈经纶学校高三上学期数学10 月月考试题、单选题【答案】C C【解析】化简集合 A A，再求并集即可 【详解】Q A x | x22, x Z x| .2 x .2, x Z 1,0,1AUB 1,0,1,2故选：C C【点睛】本题主要考查了集合间的并集运算，属于基础题. .2 2 在复平面内，复数a 1 ai对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A A .(0,1)B B.(,1)C C.(1,)D D.(,0)【答案】A A【解析】根据第二象限点的横纵坐标的正负，求出实数a的取值范围 【详解】复数a 1 ai对应的点a 1,a在第二象限a

2、1 0所以，解得a (0,1)a 0故选：A A【点睛】本题主要考查了根据复数对应点所在象限求参数范围，属于基础题1 1.已知集合Ax |x22,x Z,B 0,1,2，则AUBA A . 0,1,20,1,2B B. 1,0,1C C. 1,0,1,2D D. 2, 1,0,1,2第2 2页共 1919 页3 3 .已知两条直线a,b和平面， 若bA A 充分但不必要条件，则a/b是a/的( )B B .必要但不充分条件D D 既不充分又不必要条件a/b的真假，然后利用充要条件的定义,20c 21，即得到a/b与a/的关系.【详解】当b时，若a/b时，a与 的关系可能是a/，也可能是a，即a

3、/不一定成立，故a/b a/为假命题；若a/时，a与b的关系可能是a/b，也可能是a与b异面，即a/b不一定成立，故a/ a/b也为假命题；故a/b是a/的既不充分又不必要条件故选：D D【点睛】本题考查充要条件、直线与平面平行关系的判断，求解的关键是先判断a/b a/与a/ a/b的真假 4 4 .设命题P:x (0,),In x, x1，则P为（）A A .x(0,),In xx 1B B.X。(0,),In心x1C C.x (0,),In x x 1D D.x。(0,)ln xoxo1【答案】D D【解析】根据全称命题的否定是特称命题的知识直接选出正确选项【详解】原命题是全称命题，其否定

4、为特称命题，B,DB,D 选项是特称命题，注意到要否定结论，故D D 选项符合 所以本小题选 D.D.【点睛】本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题5 5已知x 0,1，令a logx3，b sinx，c 2x，那么a,b,c之间的大小关系为（）（）A A.a b cB B.b a cC C.b c aD D.cab【答案】A A【解析】因为x 0,1,所以a logx3,为单调递减函数，所以 a a 0 0。根据b sinx,在（0,）为单调递增函数，可得0 b sin1 1，结合指数函数单调性，可得20c 21，即2第 2 2 页共 1919 页第5 5页共 1919 页1c

5、2。【详解】因为x 0,1，则alogx3，为单调递减函数，所以a a 0 0。因为一1，且bsinx，在（0,）为单调递增函数，所以bsinx在x 0,1为单调22递增函数,所以0b si ni 1因为x0,1,c2x为单调递增函数，所以20c21, 即1c 2，所以a b c,故选 A A【点睛】本题考查基本初等函数的单调性及值域，属基础题。6 6 .在等比数列an中，a2ai2，且2a?为3ai和a3的等差中项，则a为（）A A . 9 9B B. 2727C C. 5454D D . 8181【答案】B B【解析】根据题意，设等比数列an的公比为 q q,由2a2为3ai和a?的等差中

6、项，可得22 2a23aias，利用等比数列的通项公式代入化简为q 4q 3 0,解得 q q,又a2ai2，即a.q 12,q1，分析可得ai、q q 的值，可得数列a.的通项公式，将n 4代入计算可得答案.【详解】解：根据题意，设等比数列a.的公比为 q q,若2a2为3ai和as的等差中项，则有2 2a?3印as，变形可得4网3印a,即q24q 3 0,解得q 1或 3 3；又a?ai2，即aiq 1 2，则q3,ai1,n 13则an3，则有a4327；故选：B B.【点睛】第6 6页共 1919 页本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题.第7

7、 7页共 1919 页【答案】B B【解析】 根据三角函数平移变换的规律得到向右平移0 （0 0 0）个单位长度的解析式,【详解】 将函数 y y= sin2xsin2x 的图象向右平移 0 （ 00 0）个单位长度,可得 y y= sin2sin2 (x x- 0) = sinsin(2x2x - 2 2 0),图象过点2 sinsin (2 2 0),22加22即2 2 0 2k2kn, 或 2k2kn, k k Z Z,333即0 kn,或kn, k k Z Z,6 0 0 0, 0 的最小值为一.6故选：B B.【点睛】本题主要考查了函数 y y= AsinAsin （曲+ +0）的图

8、象变换规律，考查计算能力，属于基础题.8 8.标准对数远视力表（如图）采用的五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形E E”形视标，且从视力 5.25.2 的视标所在行开始往上，每一行E E”的边长都是下方一行 E E”边长的1010倍，若视力 4.14.1 的视标边长为a，则视力 4.94.9的视标边长为（）7 7 将函数y的最小值为1212B B.56将点带入求解即可.0）个单位后，图象经过点，则第8 8页共 1919 页mm3Em3 LUEUJE3m刍a niEw4&H a 1114J* aJi丄口【答案】C C【解析】根据等比数列的性质求解即可【详解】故选:【

9、点睛】 本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题 9 9 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面A、B距离之比是常数（0，1）的点M的轨迹是圆. .若两定点B B.2【答案】D D4A.105a9B.10a4C.10 a设第n行视标边长为an，第n1行视标边长为an 1由题意可得：an 11010an1丑10an 1则数列On为首项为1公比为10命的等比数列即a91045a则视力 4.94.9 的视标边长为4105a内，至 U U 两个定A、B的距离为3 3，动点M满足MA2 MB，则M点的轨迹围成区域的面积为 （）第 6 6 页共 i9i9 页【解析】以 A A

10、 为原点，直线 ABAB 为 x x 轴建立平面直角坐标系，首先确定圆的方程，然后 确定其面积即可 【详解】以 A A 为原点，直线 ABAB 为 x x 轴建立平面直角坐标系，则B 3,0 .设M x, y，化简整理得，x2y28x 120，即(x 4)2y24，则圆的面积为4故选 D D 【点睛】 本题考查轨迹方程求解、圆的面积的求解等知识，属于中等题.1010 .如图，点 P P 在正方体ABCD AiBiCiDi的面对角线BCi上运动，则下列四个结论:1三棱锥A DiPC的体积不变;2AP/平面ACDi；3DP BCi；平面PDBi平面ACDi.其中正确的结论的个数是()/、离/1A

11、A . i i 个B B. 2 2 个C C . 3 3 个【答案】C C【解析】 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.【详解】依题意有,2，第1010页共 1919 页对于，连接A| B，AG，AC1/ /AD1且相等，由于知：AD1/ / BC1，所以BACJ/面ACD1，从而由线面平行的定义可得，故正确;对于，由于DC平面BCB1C1，所以DC BC1，若DP BC1，则BC1平面 DCPDCP，BC1PC,则 P P 为中点，与 P P 为动点矛盾，故错误；对于，连接DB1，由DB1AC且DB1AD1，可得DB1面ACD1，从而由面面垂直的判定知，故正确.故选：C C.【点睛】

12、本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂 直的判定，要注意使用转化的思想.二、填空题rrr1111.已知|a| 1,（a b）【答案】1【解析】 根据两向量垂直，数量积等于 o o，化简即可得出答案. .【详解】所以以 P P 为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A D1PC的体积不变，故正确;rbra贝ra故 BCBC1上任意一点到平面ADQ的距离均相等,第1111页共 1919 页r r rr r rr r rr r因为（a b） a，所以（ab）aO a abO a b 1故答案为：1【点睛】第1212页共 1919 页本题主要考查了垂直关系的向量表示

13、以及已知模求数量积，属于基础题（0 0 为坐标原点），贝 U U r r = =_【答案】2 2【解析】 试题分析：若直线 3x-4y+5=03x-4y+5=0 与圆x y坐标原点，且/ AOB=120AOB=120，则圆心（0 0, 0 0）到直线 3x-4y+5=03x-4y+5=0 的距离d r COS120丄,2 251即;32422r,解得r= =2,【考点】直线与圆相交的性质1313 .如图，在边长为 1 1 的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥侧面 PABPAB 丄侧面 ACBACB, ABAB = 4 4, POPO = OCOC =2.2 212.若直线3

14、x 4y 50与圆x y2 _r r 0相交于 A,BA,B 两点，且AOB 120o2小r r 0交于A、B B 两点，O O 为【解析】由三视图还原几何体,该几何体为三棱锥，底面三角形 ACBACB 与侧面三角形 APBAPB为全等的等腰直角三角形，侧面结果.【详解】由三视图还原原几何体如图，PABPAB 丄侧面 ACBACB, ABAB= 4 4, POPO= OCOC = 2 2,由此即可得到的体积为_I 答案】8第1313页共 1919 页侧面 PACPAC 与 PBCPBC 为全等的等边三角形.118则该三棱锥的体积为 V V =4 2 23 238故答案为：8.3【点睛】本题考查

15、由三视图求体积，关键是由三视图还原原几何体，考查空间想象能力及运算能力，是中档题.1414 .已知x 0, y 0，且2x 5y 20. .则xy的最大值是 _. .【答案】1010【解析】利用基本不等式求解即可 【详解】2x 5y 2022x 5y 2,10 . xy 20. xy、10当且仅当2x 5y，即x 5, y 2时，等号成立则xy 10，即xy的最大值是10故答案为：10【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求和为定值时，积的最大值，属于基础题2 21515 .椭圆 1的焦点为 F F1,F,F2,点P在椭圆上，若PR4,PF2 _;92F1PF2的小大为_ .2【答案】2 2 ；

16、3【解析】 解：因为由椭圆的定义，我们可知ACBACB 与侧面三角形 APBAPB 为全等的等腰直角三角形,第1414页共 1919 页PF1PF22a PF22a PF1Phf PF2I2| F1F212PF1F2中，Q cos F1PF2-；-2 PR | | PF216 4 2812 4 221616 .若对任意的x D，均有g(x) f (x) h(x)成立，则称函数 f(x)f(x)为函数g(x)和【解析】(1 1)等比数列a an的公比设为 q q,由等差数列中项性质和等比数列的通项公式,第1515页共 1919 页函数h(x)在区间D上的“M函数”已知函数f(x) (k 1)x

17、1,g(x) 3,h(x) (x 1)1 nx，且 f(x)f(x)是g(x)和h(x)在区间1,2上的M函数”，则实数k的取值范围是_.【答案】0,20,2成立 综上所述，实数 k k 的取值范围是0,2【点睛】本题主要考查函数的综合应用，难度较大三、解答题1717 .已知在等比数列a an中，a a1=2=2,且 a a1， a a2, a a3-2-2 成等差数列.()求数列a an的通项公式；1(2 2)若数列b bn满足：bn2log2an1,求数列b bn的前 n n 项和 S Sn.an1【答案】(1 1) a an=2=2n, n n N N( 2 2) 1-1- + + n

18、n2【解析】 在区间1,2上分g xf x及f x h x两种情况考虑即可【详由题意可得,3 k 1 x1 x 12 0，当xx 1 Inx1,2时，函数f xk 1 x 2的图像为一条线段,2k00，解得k0， 另一方面,x 1 Inx 1在xx1,2上恒x 1 Inx 1Inx -, ,m x x xx Inx2-x因为x 1,2，所以x Inx110, ,于是函数x Inx为增函数,x从而x Inx 1 In10, ,所以m则函数m x为1,2上的增函数，所以k 1m xminm x1, ,即k 2；于是2解方程可得 q q，进而得到所求通项公式;11 1(2 2)求得bn2log2an

19、1= = r+2logr+2log22 2n- -仁二+2n-1+2n-1,由数列的分组求和和等差数acncn22列、等比数列的求和公式，计算可得所求和.【详解】(1 1)等比数列a an的公比设为 q q, a ai=2=2，a ai， a a2， a a3-2-2 成等差数列，可得 2a2a2=a=a1+a+a3-2-2，即为 4q=2+2q4q=2+2q2-2-2，解得 q=2q=2,则 a an=a=a1q qn-1=2=2n, n n N N；111(2 2)bn2log2an1=n+2log+2log22 2n-1-1 = = n+2n-1n+2n-1,an2n2n1 11则数列b

20、 bn的前 n n 项和 S Sn= = (+ + )+ + (1+3+1+3+2+2 n-1n-1)2 42n1 1丄2 2n1 12= =+ + n n(1+2n-11+2n-1) =1-=1-n n2.d12(丿2n1 -2【点睛】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列分组求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题.1818 .已知函数f(x).3.3sin 2x 1 2sin2x(x R). .(1) 求函数 f f (x)(x)的最小正周期和单调递减区间；_C(2 2)在ABC中，角 代B,C的对边分别为a,b,c，若c . 3,f(C) 2,2sin

21、B 2sin A，求a, b的值. .2【答案】(1 1)T=,- k , k k Z;(2 2)a 1,b2. .63【解析】(1 1)利用倍角公式降幕化一，可求周期和单调区间第1717页共 1919 页C(2)由f2求出 C C 的值，结合正余弦定理求得a a, b b 的值.2【详解】(1 1)f x%/3sin2xcos2x2sin 2x ,6周期为T因为32k2x2k k Z,26 2所以kx - k k Z,63所以所求函数的单调递减区间为k，-k k Z63C(2 2)因为f2sin C -2，又OC，所以C -,2 6 3所以.3a2b22abcos , a2b2ab 3，3又

22、因为sinB 2sinA， 由正弦定理可得, 由可得a 1,b2. .【点睛】本题考查了三角函数的倍角公式，考查了定理在解三角形中的应用，是中档题.1919 .如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD平面ABCD, ,PA PD,PA PD, AB AD, AB 1,AD 2, AC CD .5. .(1) 求证：PD平面PAB;(2) 求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3) 在棱PA上是否存在点M，使得BM/平面PCD?若存在,求jAM的值；若不存APAP在，说明理由 【答案】(1 1)证明见解析；(2 2)亠;(3 3)存在，3丄【解析】 试题分析：(I )由面面垂直的性质定理知 A

23、BAB 丄平面，根据线面垂直的 第 1212 页共 1 19 9页b 2a，y=asiny=asin0 +bco+bcos s第1919页共 1919 页性质定理可知_二_匸二,再由线面垂直的判定定理可知二二_平面三二;(n)取上二 的中点匸,连结沁m,以 o o 为坐标原点建立空间直角坐标系 O-xyzO-xyz ,利用向量法可 求出直线 PBPB 与平面 PCDPCD 所成角的正弦值；(川)假设存在，根据 A A , P P, M M 三点共线，_ uLur设 _ ，根据 BMBM /平面 PCDPCD，即BMn0(n为平面 PCDPCD 的法向量)，求 出 的值，从而求出AMAM的值 A

24、PAP试题解析：(I I )因为平面二二二平面.上二，一二一二,所以一二_平面三二.所以-.2-.2 - -匚二.又因为一 1:1: _ 一二二,所以二二平面-S S .(n)取上二的中点二，连结- -. .因为h匸二，所以三一二.又因为匚匚二平面二一二，平面二上二平面.二二,所以三匚平面一：三匚二.因为二二平面上匸匚二，所以二一:.因为.一 二，所以.如图建立空间直角坐标系 Q-. .由题意得，J(OJ:0)=(LLO)tC(2,O:C)?Z)(0.-LOX P(O,OJ).设平面一二二的法向量为 n n (x,y,z)(x,y,z)，贝 UUULT nPD0,|一匸 =0=UULT即.nP

25、C 0,.-令 r r = = 2 2- -. .所以n(1,2,2). .UUULUUU n PB3又PS= = (U.-l)(U.-l)，所以cos n,PBUUUn PB3所以直线一二三与平面 f f . .所成角的正弦值为 3第2020页共 1919 页(川)设-是棱三.二上一点，则存在 二.一 一.使得f. $. .因此点“m m m m因为 s.s. _平面 f f 二，所以:邈：平面m当且仅当BMMno，即:-:，解得一 4所以在棱 三：上存在点；使得 平面匸二，此时 - AP 4【考点】空间线面垂直的判定定理与性质定理；线面角的计算；空间想象能力，推理论证能力【名师点睛】平面与

26、平面垂直的性质定理的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个平面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直( (必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系) )，构造( (寻找) )二面角的平面角或得到点到面的距离等 2020 .已知函数f(x) alnx(a R). .(1 1)若函数g(x)2x f (x)的最小值为 0 0，求a的值；2 2(2)设h(x) f (x) ax a 2 x,求函数h(x)的单调区间；1 x(3)设函数y f (x)与函数u(x)的图像的一个公共点为P,若过点P有且仅2x有一条公切线，求点P的坐标及实数a的值 【答案】(1 1)a12

27、e； (2 2)单调区间见解析；(3 3)P(1,0),a-2第 1515 页共1919 页【解析】(1 1)分类讨论参数a的值，利用导数得出函数g(x)的单调性，根据最值求出a的值；(2 2)函数整理为h(x) alnx ax2a22 x，分类讨论参数a的值，禾U用导数求函数的单调性即可；(3 3)设出点 P P 坐标，求出坐标间的关系得出In m m 1 0,构造函数(x) In m m 1,讨论函数(x)的单调性解方程即可. .【详解】(1 1)首先x 0，因g(x) 2x alnx,故g (x)2 -2x a,x x注意到x 0，故当a 0时，g (x)0，则函数g (x) 2x f

28、(x)在(0,)单调递第2222页共 1919 页增，函数g(x)2x al nx无最小值;当 a a 0 0 时，若xa,g(x)20，若xa2,g(x) 0所以函数g(x)2x f (x)在a0,2单调递减，在单调递增故函数g(x)2xf(x)在xa2处取最小值,alna0，即2(2)因h(x)h(x)a小2ax ax2e;2ax2ax22 x(x 0),a22 x(2x a)(ax 1)若a0,则h(x)函数h(x)在(0,)上单调递增;当a212，即a a2，也即a.2时若h(x)0时，0 x1、或xaa2若h(x)10时，丄axa2所以函数h(x)在区间1 aJ单调递增，在a 2a,

29、单调递减;2若 a a0 010,a第 1515 页共1919 页1a当a 2时，函数h(x)的单调递减区间是(0,)；m2m构造函数(x) In m m 1，(m0)，(x) - 1 m当m 1时,(x)0；当0 m1时，(x) 0所以函数(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，而所以方程In i m m 10有唯一解,即m1,a1(1) 0当a1，即a22，也即.2 a 0时2a若h(x)0时，0 xa或x-2a若h(x)0时，ax12a2,彳，单调减区间是0,2和右当a ,2时，h (x)0所以函数h(x)的单调递减区间是(0,)综上：当a 0,函数h(x)的单调递区间是(0

30、,)；当.2 a 0时，函数h(x)的单调区间是a 1a2 a,单调减区间是0,-和当a, 2时，函数h(x)的单调递增区间是丄，a;单调递减区间是0,-和a2a(3)设点P m, n，u (x)12x2由题意得f(m) f(m)u(m)，即u (m)2maa In，解得In m m 10所以函数h(x)的单调区间是所以ai a2Lanmdm(m 1)dm 1L 2d24第2424页共 1919 页所以P(1,0)【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数的单调性，已知最值求参数，属于较难题 2121 .设m,n为正整数，一个正整数数列ai,a2丄Q满足m aAa2L1. .对i 1,2,L ,m，定义集合Bij 1,2, L ,n| ai数列b,丄,bm中的b (i 1,2,L ,m)是集合B中元素的个数 (1)若数列a1,a,L ,an为 5 5, 3 3, 3 3, 2 2, 1 1, 1 1,写出数列db丄,bm；1(2)若n2m,m 3,44,L ,bm为公比为一的等比数列，求a1a?La.；2(3)对j1,2