2019届福建省福州市高三5月高考模拟数学(文)试题(解析版)

1、第1页共 20 页2019 届福建省福州市高三 5 月高考模拟数学(文)试题一、单选题1 集合A 1,2,3,B x|2x x20，则AI B()A 2B. 3C 1，2D 2，3【答案】D【解析】先求解集合B再求交集即可【详解】B x|x x 20 x|x 2或x 0,故AI B 2,3.故选：D.【点睛】本题主要考查了交集的运算，属于基础题2 .复数 z 满足z，那么z是()1 iB.2,2C. 2D . 、3A利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.2i 2i 1 i 1 i,1 i 1 i 1 iz血.故选 A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法

2、，是基础题.3 函数f(x) lnx (x 1)2零点个数是()A 3B. 2C 1D 0【答案】B【解析】数形结合分析函数y lnx的图象与函数y (x 1)2,x 0的图象的交点个数即可.A、2【答案】【解析】【详解】解：Q z第2页共 20 页【详解】第3页共 20 页2 2函数f(x) lnx (x 1)的零点个数即为方程Inx (x 1)0的解的个数,即为函数y lnx的图象与函数y (x 1)2,x 0的图象的交点个数，画出对应函数图象，易知有两个交点.2;/1 厶厂-1-1Y1/故选：B.【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题到交点个数属于基础题4把编号为 1, 2

3、, 3, 4 的四颗小球放入编号为1, 2, 3, 4的四个盒子，每个盒子放一颗小球.若小球不能放入与小球有相同编号的盒子，则率为()111A -B. C -234【答案】B【解析】分析1号小球所有可能放入的情况求解即可 【详解】 因为1号小球不能放入1号盒子，所以只能从 2,3,4 三个盒子选一个，且每种情况对应的情1况数相同.故放入2号盒子的概率为3故选：B.【点睛】本题主要考查了列举法求解古典概型的问题，属于基础题5.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为()，需要根据题意画出两个函数图像1 号小球放入 2 号盒子的概4故选：D.第 3 页共 20 页OAB是等边三角形，渐近

4、线的斜率为.3,所以-3-,ba 3所以双曲线的离心率【答案】B【解析】经过第一次循环得到s 3, i 2,不满足i4,26 已知F是双曲线每a2xb21(a0,b0）的一个焦点，过F做y轴的垂线，与双曲线的两条渐近线分别相交于A, B两点.O为坐标原点，若OAB是等边三角形，则双曲线的离心率为（)A . 2B.3C. 2JD .二33【答案】D【解析】根据OAB是等边三角形可知渐近线的斜率为.3,进而根据渐近线的方程求出a3，再根据a,b,c的关系求解离心率即可b【详解】B. 0执行第s 4, i3,不满足 4,执行第s=1，i=4，不满足 4,，经过第四次循环得到s 0, i5,满足执行“

5、是”输出S0.故选 B./ 榆LU 3 /第5页共 20 页【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法，需要根据题意建立a, b,c的关系式求解7.AD是ABC的中线，若AD 3, BC 4,B贝yABC的面积为（3【答案】A积即可【详解】.属于基础A ,3B.2C 2.3【解析】在ABD中，由正弦定理可得nBAD，再根据 SABC2SABD求2ABC的面在ABD中,由正弦定理可得ADsin BBD32B，即亍 耐飞 AD，解得sin 3sin BADsin BAD 1,所以BAD贝V AB BD2AD21,SABC2SABD3.故选：A.【点本题主要考查了正弦定理与面积公式在解三角形中的应用，

6、需要根据边角关系确定所的正弦定理与面积公式属于基础题.8 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积第6页共 20 页【答案】C【解析】先画出直观图【详C.12nD.16n，再根据该几何体外接的正方体的外接球半径的求法求解即还原该几何体的直观图,如图所示所以外接球的半径就为-1.3,所以外接球的表面积为12n.2故选：C.【点睛】【答案】【详解】本题主要考查了根据三视图求解外接球表面积的问题，需要根据题意确定正方体的外球半径属于基础题.9.F为抛物线y24x的焦点，过F的直线I与抛物线交于A,B两点，AB中点M（Xo，y。），若|，则（B.yoC.yo13D.yo2【解利用点差法求解弦

7、AB的斜率，进而求得AB方程,再代入X。3求解即可.2设A(Xi, yi), B(X2, y2),故2yi2y24X1，相减可得4X2y12y224 X1X2，%y2X-IX2yiy22,即焦点弦AB的斜率为，又F 1,o.yoyo2故AB方程是yX 1,化简可得 2Xyoyoy 2 o,3将 M（2, yo）代入该直线方程可得yo1.故选：C.【点本题主要考查了点差法求解焦点弦方程的问题，属于中档题.2 的正方体的顶点第 5 页共 2o 页第9页共 20 页10 函数 f(x) 2si n(2xn)的图象与g(x)图象关于点(0, f(0)对称，则当x 0,62时，g(x)的值域为()A 1

8、,4B.1,3C 2,1D. 1,1【答案】A【解析】根据函数关于点对称的性质可得g(x)的解析式,再根据三角函数图像求解值域即可【详解】由题意函数 f(x) 2si n(2x -)的图象与g(x)图象关于点(0,1)对称，6满足1,. g(x) 2 2si n( 2xn)2 2si n(2x -),26 6当x 0,扌时,.2xng(x) 1,426 6 6故选：A.【点睛】本题主要考查了根据函数的性质求解解析式的问题，同时也考查了根据三角函数的定义域求值域的问题属于中档题11. 一批学生(既有男生也有女生)报名参加志愿者公益活动.2 倍比男生人数至多多 8 人，男生人数的 2 倍比女生人数

9、至多多6A .7【答案】D【解析】 设女生人数为x,男生人数为y.再根据题意列出关于x, y满足的不等式，再画男生人数出可行域,根据女生人数的几何意义求解即可【详解】设女生人数为x,男生人数为y.因为有男生和女生，所以男生女生至少有一个人，又因2xy82yx 5为人数必须是正整数，所以满足此约束条件，作出可行域如图所示x1(xN )y1(yN )初步估计女生人数的5 人，则参加活动的男生人数女生人数的最大值为(7B.4第10页共 20 页故选：D.【点睛】本题主要考查了线性规划的实际运用，需要根据题意画出可行域中的整点，再根据所求量的几何意义求解即可属于中档题112 若函数f(x) log2(

10、x2ax 1)的定义域为R，且当x时，f(1 x) f (x)，则2实数a的取值范围是()A ( 2,2)B.( 2,1)C (,1)D ( 1,2)【答案】B【解析】根据二次函数以及对数函数的性质可知a24 0,再根据函数的性质可得1对称轴与x的位置关系，再列式求解不等式即可 2【详解】由题知x2ax 1 0在R上恒成立，故a24 0, 2 a 2.容易得知 f (x)有a11a 1对称轴，即x 2，又当x 2时，f (1 x) f(x),所以对称轴在x-左侧，-,即a 1.故选：B.【点睛】本题主要考查了函数的性质运用，包括值域以及二次函数的恒成立问题，以及对称轴与单调性和函数值大小的问题

11、.属于中档题二、填空题13已知e1,e2是两个单位向量，a 2 e2,b 2e2e 若a b，则向量e1,e2的夹第11页共 20 页角为_6第12页共 20 页2r rir in【解析】根据a b可知a b 0，计算可得 eioa0，进而可得向量ei,e2的夹角【详解】rrrriruuinirir2irnui2irina b a b(2eie2)(2e2e1)2e13e1ea2e23e1ea0，ir rnumn所以 e,e20 ,故 e ,e2的夹角为一.2n故答案为：上2【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，同时也考查了垂直的数量积表示 属于基础题.14 f(x)与g(x)都是定义在

12、R上的函数，f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，g( 1)0,则 f(g(1) _ 【答案】0【解析】根据奇偶函数的性质代入求解即可【详解】f(x)定义在R上的奇函数，所以f(0)0,由题知g(1) g( 1) 0, f (g(1)f(0)0.故答案为：0【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性求解抽象函数值的问题属于基础题n15已知2cos2曲3sin cos，则C0S(26)【详解】ncos(2n)故答案为:【答【解析】看利用降幕公式化简可得3cos2.3sin 21,再根据辅助角公式求解即可因为2cos2sin23sin cos，二cos2cos22仝 sin223cos2.3sin21,

13、则23(cos2ncos6sin 2 sin6第13页共 20 页【点睛】 本题主要考查了降幕公式与辅助角公式求解三角函数值的问题的公式，属于中档题.度为【答案】、.2求出长度即可【详解】16上，所以P的轨迹长度为圆(x 2)2(y 4)2的直径一2故答案为：、2【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解以及直线的斜率与圆的方程等需要根据题意代入斜率公式化简求解，并根据直线与圆的位置关系确定轨迹长度属于中档题三、解答题，需要根据题意确定所16 .已知A1, 1),B(1,1)，动点p(m, n)是圆(x2)2(y4)22内(含边界)一点.记直线PA, PB的倾斜角分别为，且满足 tan(2tan(n

14、4)，则点P的轨迹长【解析】根据斜率的公式可得kPA与kPB,再代入 tan(得点P的轨迹方程，继而根据动点P(m,n)是圆(x 2)2n-)化简求解即可4nJ2tan(设直线PA的斜率为kpA,直线PB的斜率为kPB,二kPAtan，kPBm 1又因为 tan(nn2tan(n 1tan,m 1ntan1),知:41 tan2(tan 1)1 tan口 1 即也1 口m 1(一 1)2 m 11 口m 1因为动点P(m, n)是圆(x 2)2(y4)212内一点，故m n.2,化简可得n 6,即P(m,n)的轨迹为方程x y 6.又圆心(2, 4)在x y第14页共 20 页317.数列an

15、满足：印-,2an 1ann 2 .2(1) 求 as；5第15页共 20 页【点睛】比数列的求和.属于中档题.(2)记bnann，求证：数列bn为等比数列;(3)记Sn为数列an的前n项和，求Sn.25【答案】(1); (2)见解析;82(3)n n 2【解析】根据 2an 1ann 2 ,分别代入n 1,2求解即可.根据bnann,在等号左侧构造出 bn 1an 1(n 1)再证明即可.1n(1)Ta!1 222 2252 8(2)v2an 1ann1(n1)ann,bn 1bn1,.数列bn是以 b1 12 公比为 亍的等比数列.(3)由(2)知 bnan(2)，二anJ、n(2)n,S

16、na1a2a3Lan12n1 1(1L)22nn(n 1)212n本题主要考查了根据递推公式证明等比数列的问题,同时也考查了分组求和以及等差等第16页共 20 页AB AC 2,BC 2.2, PA PB .5，面PAB面ABC.(2) 求三棱锥体积;(1)求PC长;5第17页共 20 页（3）PAC内（含边界）上是否存在H点，使BH面PAC若存在H点，求出H点的位置；若不存在H点，说明理由.【答案】（1）3 ；（ 2）4；（ 3）H存在，在棱PA上，且AH乙535【解析】（1）根据勾股定理可得CA AB,进而可得CAP 90，再用勾股定理计算PC即可作AB的中点M，连接 PM 可知PM平面A

17、BC,再求解体积即可作BH PA于H,再证明BH面PAC即可【详解】(J：AB2AC2BC2, -CAB90 ,CA AB.平面PAB丄平面ABC,平面PAB平面ABC AB,CA平面ABC,且CA AB,可知CA平面PAB,CAP 90二PCAC2AP23.(3)作BHPA于H,H在PA上.25AH ABsinABHAB sin APM5/CA平面PAB,BH平面PAB, BHCA,且BHPA,CA平面PAC,PA平面PAC,CAI PAA, BH平面PAC,即H存在,在棱PA上,且AH2襄（2）作AB的中点M,连接 PM,由题意知PM平面ABC, VSABCPM343.第18页共 20 页

18、【点睛】本题主要考查了立体几何中的线面线线与面面垂直的证明和性质直求解线段长度以及体积的问题等属于中档题19 现从某学校中选出M名学生，统计了M名学生一周的户外运动时间(分钟)总 和，得到如图所示的频率分布直方图和统计表格.(1)写出 M,m,n 的值，并估计该学校人均每周的户外运动时间(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；(2)假设a 2,b 2，则户外运动时长为90,110)的学生中，男生人数比女生人数多的概率.(3)若a 4,b 6，完成下列2 2列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少运动 130 分钟与性别有关”？每周户外运动时间不少于钟130 分每周户外运动时间少于钟130

19、 分合计男女合甘齢菁I厂外加曲时悅吋如中卄布门；常70 90 110 I3U ISO UO时闻IWI0)LI0J30)150470需生人敕1a512:女住人数b)0厂1卄运功时长的卯I01：.分布总，同时也考查了根据第19页共 20 页计2P K2k。0.100.050.0250.010.005k02.7063.8415.0246.6357.8793【答案】(1)M 20, n 0.005 , m 0.01 , 112 分钟；(2); (3)列联表详见解析，7没有 90%的把握认为“每周至少运动130 分钟与性别有关”.【解析】根据频率分布直方图的面积和为1 以及区间110,130与130,1

20、50间的比例关系列式求解即可利用枚举法将所有可能的情况列举再求解即可(3)根据图表补全列联表，再求出K2分析即可【详解】(1) 由人数比可得m 2n, 20(3n m) 0.5, n 0.005, m 0.01 .2M200.005 20该校人均户外运动时间为80 0.1 100 0.5 120 0.2 140 0.1 160 0.1 112 分钟.(2)设“户外运动时长为90,110)的男女人数分布”为总事件，(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2)共 7 种,“男生人数比女生人数多”为事件A,包含(8,2),(7,3),(6,4)共三个，小3则 P

21、(A)-.7(3)每周户外运动时间不少于130 分钟每周户外运动时间少于130 分钟合计附：K2n ad beabed a e b d，其中nabed.第20页共 20 页男3811女189合计416202220 3 8 18K0.8082.706,4 16 11 9所以没有 90%的把握认为“每周至少运动130 分钟与性别有关”.【点睛】本题主要考查了枚举法解决古典概型的问题，同时也考查了频率分布直方图的应用以及独立性检验的问题属于中档题.120 .动点M(x, y)与定点F(1,0)的距离和该动点到直线x 4的距离的比是常数 -(1)求动点M轨迹方程C;(2)已知点A( 2,0)，问在x轴

22、上是否存在一点P，使得过P点的任一条斜率不为02(2)设 P(t,0),再讨论当MN丄x轴时可得 t1-,即若存在定点，则定点坐标为72 2P( 7,0).再讨论斜率存在时，设MN的方程为 y k(x -),联立椭圆方程，求出韦达定理uuu uuu证明AM AN 0即可.【详解】2 2解得曲线C的方程为1.的弦交曲线C于M,N两点，都有uuuruuuAM2 2【答案】(1) -1; (2)存在，坐标为432-,07【解析】(1)根据题意列出点M (x, y)满足的关系式，再化简方程即可(1)由题意，知(X 1)2y2|x 4|丄，即4 (x 1)2y22(x 4)2.第21页共 20 页43(

23、2)法一：设 P(t,0),易知|t| 2,第22页共 20 页uuuAN 0,此时 M (t,2 t),满足椭圆方程P(2,0).2uuur uuu7，0)，使得AM AN 0.(2)(解法二)设 P(t,O),易知|t| 2,设皿化，)小区2).若MN不垂直x轴，MN的斜率为k,则直线MN的方程为y k(x t),2 2y1k(X1t),y2k(X2t),y1y2k x1x2t(x1X2)t ,uuuu urnrAM AN 0(x2)(x22) y1y20,即是(1 k2)x1x2(2 k2t)(X x2) k2t24 0,2 2 2 2 2k2t)(8k2t) (k2t24)(3 4k2

24、)整理得k27t216t 40，uuu uuu22为使AM AN0与斜率k无关，由式得出7t216t40,解得 t17，t22(舍)- 7t216t 40,解得 t12 (舍)，可知若存在定点，则定点坐标为uuur若MN丄x轴时，由AM当直线MN斜率存在时,设斜率为k,M(Xi,y!), N(x2,y2)设MN的方程为 yk(x7),联立椭圆方程x22y_31,消去y得(3 4k2)x2気249120 5XiX2X1X216/k73 4k2162k21249_3 4k2uuuuuuAM (xi2,y1),ANuuu2,y2), AMuuuANx1x22(x1x2)4X1X22(XiX2)4k2

25、(X12)(X22)772162(1 k)(49k 12)23 4k(216222(尹 k2)7-73 4k4 k249O综合可知，存在点P(y k(x t)3x24y212,得(32 24k2)x22 2 28k2tx 4k2t2120,X|X228k2t2 24k2t2123 4k2，X1X23 4k2,代入式得2 2 2(1 k2)(4k2t212) (20化简,第23页共 20 页7uuur uuu这说明MN与x轴不垂直时，MN是过 P( - ,0)的弦，恒有AMAN 0，2若MN丄x轴时，MN:x - ,AMN是等腰三角形，AM AN,72 122412 M( 7,7)，|MN |

26、，I AM |7,2,|MN| ,2|AM |,可见AMN是等腰直角三角形，AM AN,，宀，、亠2uuur uuu综上，过 P( -,0)的弦MN总有AM AN 0【点睛】本题主要考查了轨迹方程求解，以及联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求解定点的问题需要根据题意讨论直线没有斜率时定点坐标，再根据定点坐标分析当斜率不存在时是否满足条件属于难题21 .定义在0,上的函数 f(x) (sinx cosx)exacosx ,a 2.(1) 讨论函数 f(x)的单调性；(2)若函数 f (x)有且仅有一个零点，求a的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)a20扌或 a enaa【解析】(1)求导可得

27、 f (x) (2exa) sinx，再求得极值点x In,并分析x In 22与区间0,端点的大小关系，进而求得在区间0,上导函数的正负以及原函数的单调性即可；(2)根据(1)所得的单调性，分析极值点的正负或等于0 是否满足条件，再结合区间端点的正负，禾 U 用零点存在性定理求解即可【详解】xxxf (x) (cosx sin x)e (sinx cosx)e asinx (2e a) sinx.a(1) x 0,n时，si nx 0恒成立，令 2exa 0，得 x ln 0.1当ln|0，即a 2时，2exa 0 在0,上恒成立，则f (x)0在0,恒成立，f(x)在0,n上单调递增；a2

28、当ln2n，即 a 2e 时，2exa 0 在0,n上恒成立，则f (x)0在0,恒成立，f(x)在0，上单调递减；第24页共 20 页aa3当 0 Inn,即 2 a 2en时，若 x 0,ln,2exa 0,第25页共 20 页o，ln 二时,f (x) o， f(x)单调递减;一零点.【点睛】解决函数的零点问题，属于难题222 在直角坐标系xOy中，曲线0的普通方程为xx t cos为(t为参数)，其中0,.以坐标O为极点，以x轴非负半轴为y tsi n极轴，建立极坐标系.(1) 求曲线 G 的极坐标方程和直线 I 的普通方程；(2)设点P(4,0),C2的极坐标方程为4sin，直线I与

29、GC?的交点分别为O, A,O,B.当PAB为等腰直角三角形时，求直线I的方程.【答案】(1)C1的极坐标方程为4cos，直线|的普通方程y X tan；(2)若 x (Ina,n,2exa o，即 x (In ,n时，f (x)0, f(x)单调递增.综上所述,当a 2时，f(x)在o,上单调递增;2en时，f(x)在0,上单调递减；当 2 a2en时，f (x)在o,ln 2】上单调递减，在(哼n上单调递增;(2)当 a2时，f(x)在0,上单调递增，而f(o) 1 a o,此时 f (x)无零点;a当 2 a 2en时，f(x)在o,l n 才上单调递减，在(ln ,n上单调递增.若函数

30、 f(x)在o,上有唯一零点，则有f (In?)2o 或 f(no.f(|n|)解得 ln 2aaIA|osi n(ln)cos( In )e223n3n4a 2e .4a cos In -2aaasin(ln)cos(In ) o,222f( noena 0，解得 a en，故 en2e当 a 2e时，f (x)在0,上单调递减,f(0)o,f(no, f(x)在o,上存在唯综上可知,3n ,a 2e4或 a en.本题主要考查同时也考查了利用导数结合函数的单调性2y 4x 0，直线I的参数方程第26页共 20 页1 y x.2【解析】(1)根据极坐标以及直角坐标的关系化简G，再相除消去t可得直线I的普通方程；(2)画图结合极坐标的几何意义可知ABP是直角三角形，BP是斜边，再分o,4与 牯两种情况求解即可【详解】(1)22 2x y,Xcos，故x2y24x 0即24 cos0,C14cos,又因为0,，故丫2xt sintan,y x ta n.t cosIdl I所以, 直线l的普通方程为y xtan；(2) 由题可知OA 4